Входное сопротивление антенны: формула и расчёт

Входное сопротивление антенны - это комплексная величина $Z_{вх} = R_{вх} + jX_{вх}$, которую видит передатчик или фидер на зажимах антенны. Активная часть $R_{вх}$ отвечает за излучённую и потерянную мощность, реактивная $X_{вх}$ - за энергию, запасённую в ближнем поле и не уходящую в эфир. Согласовать антенну с линией передачи можно, только зная обе части: если они не совпадают с сопротивлением фидера, часть мощности отражается обратно и растёт КСВ. Ниже разберём, из чего складывается входное сопротивление вибратора, как получается каноническое значение $73 + j42{,}5$ Ом у полуволнового диполя, как найти резонансную длину и посчитать КСВ. Чтобы сразу почувствовать связь длины, толщины провода и импеданса, покрути калькулятор ниже: он показывает $R$ и $X$ как функции длины и сам вектор $Z$, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое входное сопротивление антенны

Любая антенна для передатчика - это нагрузка. Подавая на её зажимы переменное напряжение $U$ и измеряя ток $I$, мы получаем отношение $Z_{вх} = U / I$, которое в общем случае комплексное. Записывают его в виде

$Z_{вх} = R_{вх} + jX_{вх},$

где $R_{вх}$ - входное сопротивление (активная часть), $X_{вх}$ - входная реактивность. Активную часть, в свою очередь, делят на сопротивление излучения $R_\Sigma$ и сопротивление потерь $R_п$:

$R_{вх} = R_\Sigma + R_п.$

Сопротивление излучения - это «полезная» доля: на нём как бы рассеивается мощность, которая на самом деле уходит в эфир. Сопротивление потерь учитывает нагрев проводника и диэлектрика. У хорошей металлической антенны $R_п$ мало, и тогда $R_{вх} \approx R_\Sigma$. Реактивность $X_{вх}$ мощности не излучает: она описывает энергию, которая колеблется между антенной и ближним полем, перегружая фидер реактивным током.

Рассчитать для своей задачи

Формула входного сопротивления вибратора

Симметричный вибратор (диполь), запитанный в центре, - базовая модель для расчёта. Считают, что ток вдоль плеча распределён синусоидально:

$I(z) = I_0 \sin\!\big(k(l - |z|)\big), \qquad k = \frac{2\pi}{\lambda},$

где $l = L/2$ - половина полной длины $L$, а $k$ - волновое число. По методу наведённых ЭДС активная и реактивная части сначала вычисляются относительно пучности (максимума) тока. Сопротивление излучения в пучности выражается через интегральный косинус $\mathrm{Ci}$ и интегральный синус $\mathrm{Si}$:

$R_m = \frac{\eta}{2\pi}\Big[ C + \ln(kL) - \mathrm{Ci}(kL) + \tfrac12\sin(kL)\big(\mathrm{Si}(2kL) - 2\,\mathrm{Si}(kL)\big) + \tfrac12\cos(kL)\big(C + \ln\tfrac{kL}{2} + \mathrm{Ci}(2kL) - 2\,\mathrm{Ci}(kL)\big) \Big],$

где $\eta = 120\pi \approx 377$ Ом - волновое сопротивление свободного пространства, $C \approx 0{,}5772$ - постоянная Эйлера. Реактивность в пучности зависит ещё и от радиуса провода $a$:

$X_m = \frac{\eta}{4\pi}\Big[ 2\,\mathrm{Si}(kL) + \cos(kL)\big(2\,\mathrm{Si}(kL) - \mathrm{Si}(2kL)\big) - \sin(kL)\big(2\,\mathrm{Ci}(kL) - \mathrm{Ci}(2kL) - \mathrm{Ci}(\tfrac{2ka^2}{L})\big) \Big].$

Эти значения отнесены к пучности тока. Чтобы получить именно входное сопротивление, ток в точке питания пересчитывают: в центре он равен $I_{вх} = I_0 \sin(kl)$, поэтому

$R_{вх} = \frac{R_m}{\sin^2(kl)}, \qquad X_{вх} = \frac{X_m}{\sin^2(kl)}.$

Именно множитель $\sin^2(kl)$ объясняет, почему при длине, близкой к целой волне, входное сопротивление резко растёт: ток в центре стремится к нулю, и отношение напряжения к нему уходит вверх.

Полуволновый диполь: откуда 73 + j42,5 Ом

Подставим в формулы длину $L = \lambda/2$. Тогда $kL = \pi$, $kl = \pi/2$ и $\sin^2(kl) = 1$ - пересчёт ничего не меняет, входные величины совпадают с величинами в пучности. Численный расчёт даёт классический результат:

$Z_{вх} = 73{,}1 + j\,42{,}5\ \text{Ом}.$

Активная часть около $73$ Ом - это и есть сопротивление излучения полуволнового диполя, не зависящее от толщины провода. Положительная реактивность $+42{,}5$ Ом означает, что точно полуволновый вибратор слегка индуктивен: он чуть «длиннее» резонанса.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно, как обе части ведут себя при изменении длины. Активная часть $R_{вх}$ монотонно растёт от единиц ом у короткого вибратора до десятков и сотен ом. Реактивная часть $X_{вх}$ у короткого диполя сильно отрицательна (ёмкостный характер), пересекает ноль вблизи $L = 0{,}475\,\lambda$ и дальше становится положительной.

Резонансная длина и почему её укорачивают

Резонанс антенны - это длина, при которой реактивная часть обращается в ноль: $X_{вх} = 0$. В этой точке антенна ведёт себя как чисто активное сопротивление, и согласовать её с линией проще всего. Из формул следует, что для тонкого провода резонанс наступает не ровно при $L = \lambda/2$, а немного раньше - около $L \approx 0{,}475\,\lambda$. Чем толще провод, тем сильнее укорочение.

На практике поэтому полуволновый вибратор всегда делают чуть короче половины длины волны. Коэффициент укорочения зависит от отношения длины к диаметру: для тонких проводов он около $0{,}95$, для толстых трубок - до $0{,}90$. В калькуляторе двиньте толщину провода и посмотрите, как смещается точка пересечения нуля и как меняется реактивная часть полуволнового диполя.

Рассчитать для своей задачи

КСВ и согласование с фидером

Зачем вообще считать обе части $Z_{вх}$? Затем, что фидер имеет своё характеристическое сопротивление $Z_0$ (50 Ом у коаксиала, 75 Ом у телевизионного кабеля, 300 Ом у ленточной линии), и любое расхождение порождает отражённую волну. Степень рассогласования описывает коэффициент отражения

$\Gamma = \frac{Z_{вх} - Z_0}{Z_{вх} + Z_0},$

а через него - коэффициент стоячей волны:

$\text{КСВ} = \frac{1 + |\Gamma|}{1 - |\Gamma|}.$

Идеальное согласование (КСВ = 1) бывает только при $Z_{вх} = Z_0$ и $X_{вх} = 0$. Для полуволнового диполя $73 + j42{,}5$ Ом в линии $50$ Ом КСВ заметно больше единицы - мешает и разница активных частей, и реактивность. Поэтому вибратор укорачивают до резонанса (убирают $X$) и при необходимости ставят согласующее устройство. Калькулятор считает КСВ для выбранной линии: следите, чтобы он опускался ниже $2$ - это типичный практический порог.

Частые ошибки

• Путают входное сопротивление и сопротивление излучения. $R_\Sigma$ - это только активная часть, и то лишь при нулевых потерях. Входное сопротивление комплексное: $Z_{вх} = R_{вх} + jX_{вх}$, и реактивность игнорировать нельзя.
• Считают полуволновый диполь точно резонансным. При $L = \lambda/2$ реактивность не ноль, а $+42{,}5$ Ом. Резонанс наступает при чуть меньшей длине, около $0{,}475\,\lambda$.
• Берут длину волны в проводнике вместо свободного пространства. В формулах $k = 2\pi/\lambda$ длина волны вакуумная (или для воздуха). Коэффициент укорочения учитывают отдельно, а не подменяя им $\lambda$.
• Забывают про толщину провода в реактивности. Активная часть от радиуса почти не зависит, а вот $X_{вх}$ и резонансная длина - заметно. Тонкий и толстый вибраторы резонируют на разной длине.
• Согласовывают только по модулю $|Z|$. КСВ определяется и активной, и реактивной частями. Антенна с $|Z| = 50$ Ом, но большой реактивностью всё равно даст высокий КСВ.

FAQ

Чему равно входное сопротивление полуволнового диполя? Около $73 + j42{,}5$ Ом: активная часть (сопротивление излучения) примерно $73$ Ом, реактивная - около $+42{,}5$ Ом. После укорочения до резонанса реактивность исчезает и остаётся примерно $70$ Ом чисто активных.

Почему резонансная длина вибратора меньше половины длины волны? Из-за краевых эффектов и конечной толщины провода реактивная часть обращается в ноль при длине чуть меньше $\lambda/2$ - обычно около $0{,}475\,\lambda$. Чем толще провод, тем сильнее укорочение, поэтому вводят коэффициент укорочения $0{,}90$–$0{,}97$.

Как входное сопротивление связано с КСВ? КСВ считают через коэффициент отражения $\Gamma = (Z_{вх} - Z_0)/(Z_{вх} + Z_0)$. Чем ближе $Z_{вх}$ к сопротивлению линии $Z_0$ и чем меньше реактивность, тем меньше $|\Gamma|$ и тем ближе КСВ к единице.

Коротко

Входное сопротивление антенны - комплексная величина $Z_{вх} = R_{вх} + jX_{вх}$, где активная часть отвечает за излучение и потери, а реактивная - за запасённую в ближнем поле энергию. У симметричного вибратора их считают методом наведённых ЭДС через интегральные синус и косинус, а затем пересчитывают ко входу делением на $\sin^2(kl)$. Полуволновый диполь даёт каноническое $73 + j42{,}5$ Ом, резонанс (нулевая реактивность) наступает около $0{,}475\,\lambda$, а качество согласования с фидером оценивают по КСВ.