Ёмкость цилиндрического конденсатора: формула и вывод

Цилиндрический конденсатор - это два коаксиальных проводящих цилиндра радиусов $a$ и $b$, между которыми создаётся радиальное электрическое поле. Это одна из систем, где ёмкость считается точно и в пару строк: поле между обкладками находится теоремой Гаусса, а интеграл потенциала по зазору берётся аналитически. Именно поэтому задача про ёмкость цилиндрического конденсатора - классика первого семестра электростатики и заодно рабочая модель коаксиального кабеля. Ниже выведем формулу ёмкости через радиусы обкладок, длину и диэлектрическую проницаемость, разберём поле и потенциал в зазоре, посчитаем удельную ёмкость и пройдём типовую задачу. Чтобы сразу увидеть, как ёмкость зависит от геометрии и заполнения, покрутите калькулятор - он пересчитывает ёмкость, заряд, энергию и поле у обкладок мгновенно.

Что такое цилиндрический конденсатор

Цилиндрический конденсатор - это пара коаксиальных (вложенных по общей оси) проводящих цилиндров. Внутренний цилиндр радиуса $a$ заряжают зарядом $+Q$, внешний радиуса $b$ - зарядом $-Q$; длина обоих равна $L$. Между обкладками - вакуум или диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$. Если длина намного больше зазора ($L \gg b - a$), краевыми эффектами у торцов можно пренебречь и считать поле строго радиальным: силовые линии расходятся от оси, как спицы колеса.

Эта геометрия - не абстракция: коаксиальный кабель, ствол ионизационной камеры, многие проходные изоляторы устроены именно так. Поэтому формула ёмкости цилиндрического конденсатора работает и как учебный пример, и как инженерный расчёт удельной ёмкости линии передачи.

Поле в зазоре по теореме Гаусса

Чтобы найти ёмкость, сначала нужно поле между обкладками. Возьмём воображаемый коаксиальный цилиндр радиуса $r$ (где $a < r < b$) и длины $\ell$ как гауссову поверхность. По симметрии поле $E$ всюду направлено по радиусу и одинаково на всей боковой поверхности, а через торцы поток равен нулю. Тогда теорема Гаусса даёт:

$E \cdot 2\pi r \ell = \frac{q_{внутр}}{\varepsilon_0 \varepsilon} = \frac{\lambda \ell}{\varepsilon_0 \varepsilon},$

где $\lambda = Q/L$ - линейная плотность заряда. Отсюда напряжённость в зазоре:

$E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon\, r} = \frac{Q}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L\, r}.$

Главное наблюдение: поле спадает как $1/r$. У внутренней обкладки оно максимально, у внешней - в $b/a$ раз слабее. Снаружи внешнего цилиндра и внутри полого внутреннего поле равно нулю - весь заряд заключён в зазоре.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы ёмкости

Разность потенциалов между обкладками - это интеграл поля по радиусу от $a$ до $b$:

$U = \int_a^b E(r)\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int_a^b \frac{dr}{r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln\frac{b}{a}.$

Логарифм здесь - прямое следствие спада поля как $1/r$: первообразная $1/r$ есть $\ln r$. Ёмкость по определению $C = Q/U$, а заряд $Q = \lambda L$, поэтому:

$C = \frac{Q}{U} = \frac{\lambda L \cdot 2\pi\varepsilon_0\varepsilon}{\lambda \ln(b/a)} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\ln(b/a)}.$

Это и есть формула ёмкости цилиндрического конденсатора. Линейная плотность $\lambda$ сократилась - ёмкость от заряда не зависит, как и положено: она определяется только геометрией ($a$, $b$, $L$) и заполнением ($\varepsilon$). Чем ближе обкладки (меньше $b/a$), тем меньше логарифм в знаменателе и тем больше ёмкость.

Рассчитать для своей задачи

Удельная ёмкость и коаксиальный кабель

Ёмкость пропорциональна длине, поэтому для длинных линий удобнее говорить об удельной ёмкости - ёмкости на единицу длины:

$\frac{C}{L} = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}{\ln(b/a)}.$

Эта величина от длины не зависит и характеризует сам кабель: её указывают в справочниках в пикофарадах на метр. Для типичного коаксиала с полиэтиленовой изоляцией ($\varepsilon \approx 2{,}3$) и отношением радиусов около $3{,}6$ удельная ёмкость получается порядка ста пикофарад на метр - отсюда и стандартное волновое сопротивление 50 или 75 ом. В правом графике калькулятора видно, как $C/L$ растёт с внешним радиусом $b$, но всё медленнее: логарифм насыщает рост, поэтому раздвинуть обкладки и заметно снизить ёмкость не так-то просто.

Заряд, напряжение и энергия поля

Когда конденсатор подключают к источнику напряжения $U$, на нём накапливается заряд

$Q = C\,U = \frac{2\pi\varepsilon_0\varepsilon L}{\ln(b/a)}\,U,$

а в поле зазора запасается энергия

$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{\pi\varepsilon_0\varepsilon L\, U^2}{\ln(b/a)}.$

Полезно помнить и о напряжённости у внутренней обкладки $E(a) = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\varepsilon a)$: именно там поле максимально, и именно там в реальном кабеле раньше всего наступает пробой. Чем тоньше центральная жила, тем выше поле у её поверхности при том же напряжении - поэтому слишком тонкая жила опасна. Калькулятор показывает $E(a)$ и $E(b)$ отдельно: разведите радиусы и проследите, как меняется запас по пробою.

Предельные случаи и проверка формулы

Хорошая проверка формулы - её поведение на краях. Если зазор тонкий, $b = a + d$ при $d \ll a$, то $\ln(b/a) = \ln(1 + d/a) \approx d/a$, и формула переходит в плоский конденсатор: $C \approx 2\pi a L\,\varepsilon_0\varepsilon / d = \varepsilon_0\varepsilon S / d$, где $S = 2\pi a L$ - площадь обкладки. Это логично: при малом зазоре кривизна не важна, и цилиндр выглядит как свёрнутый плоский конденсатор.

Если же внешний цилиндр уводят далеко ($b \to \infty$), логарифм растёт без предела и ёмкость стремится к нулю - уединённый цилиндр конечной ёмкости не имеет, в отличие от уединённого шара. Это ещё одно отличие цилиндрической геометрии от сферической: там предел $b \to \infty$ даёт конечную ёмкость шара, здесь - нет.

Частые ошибки

• Путают радиусы и диаметры. В формулу идут именно радиусы $a$ и $b$. Если в условии даны диаметры жилы и оплётки, поделите их на два до подстановки - иначе отношение $b/a$ останется верным, но переход к полю и заряду собьётся.
• Берут $\ln(b - a)$ вместо $\ln(b/a)$. Под логарифмом стоит безразмерное отношение радиусов, а не их разность. Разность зазора в знаменателе - это формула плоского конденсатора, а не цилиндрического.
• Забывают про $\varepsilon$ заполнения. Диэлектрик увеличивает ёмкость в $\varepsilon$ раз. Если зазор заполнен не вакуумом, проницаемость обязательно входит и в $C$, и в поле $E(r)$.
• Считают поле постоянным по зазору. В цилиндре поле спадает как $1/r$, а не одинаково, как в плоском конденсаторе. Поэтому потенциал даёт логарифм, а не линейную зависимость.
• Смешивают полную и удельную ёмкость. $C$ пропорциональна длине, $C/L$ - нет. В ответе следите за тем, что у вас просят: ёмкость всего конденсатора или ёмкость на метр.

FAQ

Чему равна ёмкость цилиндрического конденсатора? Ёмкость равна $C = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon L / \ln(b/a)$, где $a$ и $b$ - радиусы внутренней и внешней обкладок, $L$ - длина, $\varepsilon$ - проницаемость заполнения, $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м. Ёмкость растёт с длиной и проницаемостью и падает при увеличении отношения $b/a$.

Почему в формуле появляется логарифм? Потому что поле в зазоре спадает как $1/r$, а интеграл $1/r$ по радиусу даёт натуральный логарифм. Разность потенциалов получается через $\ln(b/a)$, и именно этот логарифм оказывается в знаменателе ёмкости. Линейного спада, как в плоском конденсаторе, здесь нет.

Как формула связана с коаксиальным кабелем? Коаксиальный кабель - это и есть длинный цилиндрический конденсатор: центральная жила радиуса $a$ и оплётка радиуса $b$. Его справочная характеристика - удельная ёмкость $C/L = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon / \ln(b/a)$, не зависящая от длины. Вместе с индуктивностью она задаёт волновое сопротивление кабеля.

Коротко

Ёмкость цилиндрического конденсатора - $C = 2\pi\varepsilon_0\varepsilon L / \ln(b/a)$. Она получается в три шага: поле в зазоре $E(r) = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\varepsilon r)$ из теоремы Гаусса, разность потенциалов $U = \lambda\ln(b/a)/(2\pi\varepsilon_0\varepsilon)$ интегрированием поля и ёмкость $C = Q/U$. Логарифм отношения радиусов - след спада поля как $1/r$, а удельная ёмкость $C/L$ от длины не зависит и описывает коаксиальный кабель. Подставьте свои радиусы, длину и проницаемость в калькулятор, чтобы сразу получить ёмкость, заряд, энергию и поле у обкладок.