Ёмкость плоского конденсатора: формула и задачи

Ёмкость плоского конденсатора целиком определяется его геометрией и тем, что находится между обкладками: достаточно знать площадь пластин, зазор и диэлектрик, чтобы посчитать ёмкость по одной формуле. Большинство школьных и вузовских задач именно про это: дано две из трёх величин, найти третью или итоговую ёмкость. Покрутите калькулятор ниже: задайте площадь, зазор и диэлектрик и посмотрите, как ёмкость растёт с площадью и падает с зазором.

Формула ёмкости плоского конденсатора

Плоский конденсатор - это две параллельные проводящие пластины площадью $S$, разделённые зазором $d$, в котором находится диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$. Его ёмкость равна

$C = \frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d},$

где $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная, $\varepsilon$ - безразмерная диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками (для вакуума и воздуха $\varepsilon \approx 1$).

Ключевая идея: ёмкость не зависит ни от заряда, ни от напряжения - это свойство самого конденсатора как устройства. Сколько заряда он удержит на каждый вольт, определяют только три параметра: площадь, зазор и диэлектрик. Поэтому ёмкость плоского конденсатора нельзя путать с запасённой в нём энергией: ёмкость - постоянная характеристика, а энергия зависит ещё и от приложенного напряжения. Если нужна именно энергия, смотрите разбор про энергию заряженного конденсатора.

Зависимость ёмкости от зазора

Из формулы видно, что зазор $d$ стоит в знаменателе - значит, ёмкость обратно пропорциональна расстоянию между обкладками. Это самая важная зависимость для задач, и её удобно запомнить как гиперболу.

Рассчитать для своей задачи

Сдвиньте обкладки ближе - и при той же площади ёмкость возрастёт. Именно поэтому в реальных конденсаторах стремятся сделать диэлектрик как можно тоньше: тонкий слой даёт большую ёмкость в малом объёме. Ограничение здесь - пробой: при слишком малом зазоре поле $E = U/d$ становится настолько сильным, что пробивает диэлектрик.

Сама формула $C = \varepsilon \varepsilon_0 S / d$ предполагает идеализацию: поле между обкладками считается строго однородным, а краевыми эффектами на границах пластин пренебрегают. Это оправдано, пока зазор много меньше размеров пластин - обычное условие в задачах. Если же зазор сравним с размером обкладок, у краёв поле «выпучивается» наружу и истинная ёмкость оказывается чуть больше расчётной. В стандартных учебных задачах краевыми эффектами пренебрегают и пользуются формулой без поправок.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видно: точка $2d$ даёт ёмкость $C/2$. Эта обратная пропорция - частый сюжет задач: «расстояние увеличили в три раза, во сколько раз изменилась ёмкость?» Ответ читается сразу из формулы: ёмкость уменьшится в три раза.

Зависимость от площади и диэлектрика

Площадь $S$ и проницаемость $\varepsilon$ стоят в числителе, поэтому ёмкость прямо пропорциональна и тому, и другому. Удвоили площадь обкладок - ёмкость выросла вдвое. Залили вместо воздуха диэлектрик с $\varepsilon = 5$ - ёмкость выросла в пять раз при той же геометрии.

Диэлектрик увеличивает ёмкость, потому что его молекулы поляризуются в поле и частично ослабляют его внутри конденсатора: при том же заряде напряжение оказывается ниже, а значит, на каждый вольт приходится больше заряда. Типичные значения $\varepsilon$: воздух - около 1, бумага - 2-3, слюда - 6-7, керамика - десятки и сотни. Подстановка диэлектрика - самый простой способ резко поднять ёмкость, не меняя размеров.

В задачах все три зависимости работают вместе. Если меняется несколько параметров сразу, удобно считать отношением: новая ёмкость относится к старой как произведение отношений $S$, $\varepsilon$ и обратного отношения $d$. Например, при удвоении площади и утроении зазора ёмкость изменится в $2/3$ раза.

Отдельный частый случай - конденсатор, заполненный диэлектриком лишь частично. Если между обкладками вставлена пластина диэлектрика толщиной меньше зазора, конденсатор разбивают на последовательно соединённые слои (диэлектрик и оставшийся воздух) и считают каждый слой по своей формуле. Если же диэлектрик закрывает только часть площади, слои оказываются параллельными. Этот приём - «разрезать» конденсатор на простые куски и сложить их ёмкости по правилам соединений - закрывает большинство усложнённых задач на геометрию.

Как посчитать заряд и поле

Ёмкость - это мост между геометрией и электрическими величинами. Зная ёмкость и напряжение $U$, сразу находят заряд на обкладках по определению ёмкости:

$q = C U.$

Напряжённость поля между обкладками плоского конденсатора однородна и равна

$E = \frac{U}{d}.$

Эти две формулы замыкают типовую задачу: по геометрии считаем ёмкость, по напряжению - заряд и поле. Например, для воздушного конденсатора с $S = 100$ см² и $d = 1$ мм ёмкость равна примерно 88,5 пФ; при напряжении 100 В он несёт заряд около 8,9 нКл, а поле составляет 100 кВ/м. Все эти величины показывает калькулятор выше - подставьте свои числа и сверьте.

Полезно заранее прикинуть масштаб ответа. Ёмкость плоского конденсатора разумных размеров - это единицы и десятки пикофарад: чтобы получить ёмкость в 1 микрофарад при зазоре 1 мм, потребовалась бы площадь около ста квадратных метров. Поэтому если в задаче для небольших пластин выходит ёмкость в фарады или микрофарады, почти наверняка где-то потерян множитель при переводе единиц. Привычка прикидывать порядок величины ловит такие ошибки до того, как они попадут в ответ.

Как решать задачи на ёмкость плоского конденсатора

Почти все задачи сводятся к короткому плану. Сначала переведите все величины в СИ: площадь в квадратные метры (1 см² = $10^{-4}$ м²), зазор в метры (1 мм = $10^{-3}$ м). Это место, где теряют множители чаще всего.

Дальше определите, что ищется. Если нужна ёмкость - прямо подставляйте в $C = \varepsilon \varepsilon_0 S / d$. Если ищется один из геометрических параметров (например, площадь по заданной ёмкости), выразите его из той же формулы: $S = C d / (\varepsilon \varepsilon_0)$.

Если параметры меняют (раздвигают обкладки, вдвигают диэлектрик), удобнее работать отношением, а не пересчитывать всё заново: $C_2 / C_1$ равно произведению отношений изменившихся величин. Наконец, если в задаче фигурирует заряд или поле, добавьте $q = CU$ и $E = U/d$. Для геометрии других конденсаторов формула ёмкости иная - например, у цилиндрического конденсатора она содержит логарифм отношения радиусов.

Частые ошибки

• Не переводить единицы в СИ. Площадь в см² и зазор в мм без перевода дают ёмкость, ошибочную на несколько порядков. Сначала переведите в метры.
• Путать ёмкость с энергией или зарядом. Ёмкость зависит только от геометрии и диэлектрика, но не от напряжения. Заряд и энергия - от напряжения зависят.
• Забывать диэлектрик. Множитель $\varepsilon$ увеличивает ёмкость в $\varepsilon$ раз. Пропуск диэлектрической проницаемости занижает ответ.
• Считать зависимость от зазора прямой. Ёмкость обратно пропорциональна $d$: увеличение зазора уменьшает ёмкость, а не увеличивает.
• Брать $\varepsilon_0$ с неверным порядком. Электрическая постоянная равна $8{,}85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м; ошибка в степени даёт неверный масштаб ёмкости.

FAQ

От чего зависит ёмкость плоского конденсатора? Только от площади обкладок $S$, зазора $d$ и диэлектрической проницаемости $\varepsilon$: $C = \varepsilon \varepsilon_0 S / d$. От заряда и напряжения ёмкость не зависит - это постоянная характеристика конденсатора.

Как изменится ёмкость, если раздвинуть пластины? Ёмкость обратно пропорциональна зазору, поэтому при увеличении расстояния в $n$ раз ёмкость уменьшится в $n$ раз. Поле и заряд при этом меняются по-разному в зависимости от того, подключён конденсатор к источнику или отключён.

Зачем между обкладками ставят диэлектрик? Диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$ увеличивает ёмкость в $\varepsilon$ раз и одновременно повышает напряжение пробоя. Это позволяет получить большую ёмкость в малом объёме без увеличения площади пластин.

Коротко

Ёмкость плоского конденсатора равна $C = \dfrac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{d}$ и определяется только геометрией и диэлектриком: растёт прямо пропорционально площади $S$ и проницаемости $\varepsilon$ и обратно пропорционально зазору $d$. Для решения задач переведите величины в СИ, подставьте в формулу или выразите искомый параметр, а при изменении геометрии считайте отношением $C_2/C_1$. Заряд и поле находят через $q = CU$ и $E = U/d$. Ёмкость не зависит от напряжения - это её главное отличие от запасённого заряда и энергии.