Ёмкость сферического конденсатора: формула и вывод

Сферический конденсатор - это две концентрические проводящие сферы радиусов $a$ и $b$, между которыми создаётся радиальное электрическое поле. Это одна из немногих систем, где ёмкость считается точно и в пару строк: поле между обкладками легко находится теоремой Гаусса, а интеграл потенциала берётся аналитически. Поэтому задача про ёмкость сферического конденсатора - классика первого семестра электростатики и удобный тренажёр для теоремы Гаусса. Ниже выведем формулу ёмкости через радиусы обкладок и диэлектрическую проницаемость, разберём поле и потенциал в зазоре, покажем предельный переход к уединённому шару и пройдём типовую задачу. Чтобы сразу увидеть, как ёмкость зависит от радиусов и заполнения, покрутите калькулятор - он пересчитывает ёмкость, заряд, энергию и поле у обкладок мгновенно.

Что такое сферический конденсатор

Сферический конденсатор образуют две концентрические металлические сферы: внутренняя радиуса $a$ несёт заряд $+Q$, внешняя радиуса $b$ - заряд $-Q$. Между ними - вакуум или диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$. Заряды притягиваются и распределяются так, что весь $+Q$ садится на внешнюю поверхность внутренней сферы, а весь $-Q$ - на внутреннюю поверхность внешней сферы. Из-за этого электрическое поле существует только в зазоре $a \le r \le b$: внутри полости и снаружи конденсатора оно равно нулю. Именно эта локализация поля делает систему конденсатором - устройством, которое запасает энергию в ограниченном объёме между обкладками.

Рассчитать для своей задачи

Симметрия здесь сферическая, поэтому поле в каждой точке направлено строго по радиусу и зависит только от расстояния $r$ до центра. Это и есть тот случай, ради которого придумана теорема Гаусса: она превращает поиск поля в одно простое уравнение.

Поле и потенциал в зазоре

Чтобы найти поле, окружим внутреннюю сферу воображаемой гауссовой сферой радиуса $r$ из зазора ($a \le r \le b$). По теореме Гаусса поток вектора через неё равен заключённому заряду, делённому на $\varepsilon_0\varepsilon$:

$E(r)\cdot 4\pi r^2 = \frac{Q}{\varepsilon_0\varepsilon}, \qquad E(r) = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon\, r^2}.$

Поле спадает как $1/r^2$ - точно так же, как поле точечного заряда, помещённого в центр. У внутренней обкладки оно максимально, у внешней - заметно слабее.

Рассчитать для своей задачи

Разность потенциалов между обкладками - это работа поля по переносу единичного заряда от внутренней сферы к внешней, то есть интеграл напряжённости по радиусу:

$U = \int_a^b E(r)\,dr = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\int_a^b \frac{dr}{r^2} = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon}\left(\frac{1}{a} - \frac{1}{b}\right).$

Это центральный результат: напряжение на сферическом конденсаторе прямо пропорционально заряду, а коэффициент пропорциональности зависит только от геометрии и заполнения. Отсюда один шаг до ёмкости.

Формула ёмкости сферического конденсатора

Ёмкость по определению - это отношение заряда обкладки к разности потенциалов между обкладками: $C = Q/U$. Подставляя найденное $U$, заряд $Q$ сокращается, и остаётся чистая геометрия:

$C = \frac{Q}{U} = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,\frac{ab}{b - a}.$

Это и есть формула ёмкости сферического конденсатора. Здесь $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная, $\varepsilon$ - проницаемость заполнения, $a$ и $b$ - радиусы внутренней и внешней обкладок в метрах. Удобно держать в голове три свойства формулы:

• Ёмкость не зависит от заряда и напряжения - только от радиусов и диэлектрика. Это общее свойство всех конденсаторов.
• Чем тоньше зазор $b - a$, тем больше ёмкость: знаменатель уменьшается, дробь растёт. Тонкая прослойка между близкими сферами запасает больше заряда при том же напряжении.
• Заполнение диэлектриком с $\varepsilon > 1$ увеличивает ёмкость ровно в $\varepsilon$ раз.

В калькуляторе выше при $a = 5$ см, $b = 10$ см и вакууме ёмкость выходит около $11{,}1$ пФ. Подвиньте внешний радиус ближе к внутреннему - и увидите, как ёмкость резко растёт при сужении зазора.

Предельный переход к уединённому шару

У формулы есть красивый частный случай. Устремим внешнюю обкладку на бесконечность, $b \to \infty$. Тогда отношение $ab/(b-a)$ стремится к $a$, и ёмкость принимает вид:

$C_0 = \lim_{b\to\infty} 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,\frac{ab}{b-a} = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\, a.$

Это ёмкость уединённого проводящего шара радиуса $a$. Физический смысл прозрачен: если убрать внешнюю обкладку далеко, роль второй пластины играет бесконечность с нулевым потенциалом. Сравнение этих двух величин - удобная проверка: ёмкость сферического конденсатора всегда больше ёмкости уединённого шара того же радиуса, потому что близкая внешняя обкладка усиливает поле и позволяет запасти больше заряда. Нижний график калькулятора как раз сопоставляет $C$ и $C_0$: при $b = 2a$ конденсатор имеет ровно вдвое большую ёмкость.

Энергия поля сферического конденсатора

Заряженный конденсатор запасает энергию в электрическом поле зазора. Через ёмкость и напряжение она выражается стандартно:

$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{Q^2}{2C} = \frac{Q U}{2}.$

Все три записи эквивалентны - какой пользоваться, зависит от того, что дано в задаче. Эту же энергию можно получить интегрированием плотности энергии поля $w = \frac{\varepsilon_0\varepsilon E^2}{2}$ по всему объёму зазора, и результат совпадёт с $CU^2/2$ - хорошее упражнение на самопроверку. При дефолтных значениях калькулятора ($U = 100$ В) энергия составляет около $56$ нДж, а заряд на обкладках - около $1{,}1$ нКл.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку. Сферический конденсатор образован сферами радиусов $a = 5$ см и $b = 10$ см, зазор - вакуум ($\varepsilon = 1$). Конденсатор заряжен до напряжения $U = 100$ В. Найти ёмкость, заряд обкладок и энергию поля.

Сначала переведём радиусы в метры: $a = 0{,}05$ м, $b = 0{,}10$ м. Считаем ёмкость по основной формуле:

$C = 4\pi\varepsilon_0\,\frac{ab}{b - a} = 1{,}11\cdot10^{-10}\cdot\frac{0{,}05\cdot0{,}10}{0{,}10 - 0{,}05} \approx 1{,}11\cdot10^{-11}\ \text{Ф} = 11{,}1\ \text{пФ}.$

Заряд обкладок находим из определения ёмкости:

$Q = C\,U = 1{,}11\cdot10^{-11}\cdot100 \approx 1{,}11\cdot10^{-9}\ \text{Кл} = 1{,}11\ \text{нКл}.$

Энергию поля - по формуле через ёмкость и напряжение:

$W = \frac{C U^2}{2} = \frac{1{,}11\cdot10^{-11}\cdot100^2}{2} \approx 5{,}6\cdot10^{-8}\ \text{Дж} = 56\ \text{нДж}.$

Проверка: ёмкость уединённого шара того же радиуса $C_0 = 4\pi\varepsilon_0 a \approx 5{,}6$ пФ, то есть конденсатор имеет ровно вдвое большую ёмкость - как и должно быть при $b = 2a$. Если ваши числа этой проверки не проходят, ищите ошибку в переводе единиц или в подстановке радиусов. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку, оставляя контроль над формулами и единицами за вами.

Частые ошибки

• Радиусы в сантиметрах. В формулу $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,ab/(b-a)$ радиусы подставляют в метрах. Сантиметры дают результат в сотню раз меньше нужного.
• Перепутаны $a$ и $b$. Внутренний радиус $a$ всегда меньше внешнего $b$. Если поставить наоборот, знаменатель $b - a$ станет отрицательным и ёмкость выйдет со знаком минус.
• Забыли диэлектрик. Заполнение увеличивает ёмкость в $\varepsilon$ раз. Множитель $\varepsilon$ нельзя ронять, если зазор не вакуум.
• Поле снаружи считают ненулевым. За внешней обкладкой суммарный заряд равен нулю, поэтому поле там тоже ноль. Интегрировать потенциал нужно только по зазору от $a$ до $b$.
• Складывают, как плоский конденсатор. Формула $C = \varepsilon_0\varepsilon S/d$ - для плоского конденсатора. Для сферического работает только $4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,ab/(b-a)$.

FAQ

Как меняется ёмкость, если уменьшить зазор между обкладками? Ёмкость растёт. В знаменателе формулы стоит $b - a$: при сближении обкладок он уменьшается, и ёмкость увеличивается. В пределе очень тонкого зазора сферический конденсатор ведёт себя почти как плоский с площадью $4\pi a^2$.

Почему ёмкость не зависит от заряда? Потому что заряд и напряжение растут пропорционально: $U = Q/C$. При увеличении заряда вдвое во столько же раз растёт напряжение, а их отношение $C = Q/U$ остаётся постоянным. Ёмкость задаётся только геометрией и диэлектриком.

Чему равна ёмкость, если убрать внешнюю обкладку? Получится уединённый шар радиуса $a$ с ёмкостью $C_0 = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon a$. Это предел общей формулы при $b \to \infty$. Ёмкость уединённого шара всегда меньше, чем у конденсатора с близкой внешней обкладкой.

Коротко

Ёмкость сферического конденсатора задаётся формулой $C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,ab/(b-a)$ и зависит только от радиусов обкладок и проницаемости заполнения. Поле в зазоре радиальное и спадает как $1/r^2$, напряжение равно интегралу поля по радиусу, а ёмкость - это отношение заряда к этому напряжению. При удалении внешней обкладки формула переходит в ёмкость уединённого шара $C_0 = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon a$, а энергия запасённого поля равна $W = CU^2/2$.