Поле бесконечного заряженного цилиндра: формула по Гауссу

Поле бесконечного заряженного цилиндра - это классическая задача электростатики, которую почти всегда решают через теорему Гаусса. Цилиндр заряжен равномерно по поверхности, поэтому система обладает осевой симметрией: поле в каждой точке направлено радиально, по нормали к оси, и зависит только от расстояния до оси. Именно эта симметрия позволяет обойтись без интегрирования по всем зарядам и получить ответ в одну строку. Главное, что отличает цилиндр от точечного заряда и даже от заряженной нити, - это поведение поля внутри: там оно строго равно нулю, а на границе делает скачок. Ниже разберём вывод формулы напряжённости снаружи, объясним нулевое поле внутри, найдём потенциал и решим типовую задачу. Чтобы сразу увидеть, как меняется поле при разной плотности заряда и радиусе, покрути калькулятор ниже.

Симметрия задачи и выбор гауссовой поверхности

Бесконечный цилиндр радиуса $R$ заряжен равномерно. Удобнее всего задавать заряд через поверхностную плотность $\sigma$ (заряд на единицу площади боковой поверхности) или через линейную плотность $\lambda$ (заряд на единицу длины). Эти величины связаны простым соотношением: на участке длины $L$ площадь боковой поверхности равна $2\pi R L$, значит,

$\lambda = \sigma \cdot 2\pi R.$

Из-за осевой симметрии поле $\vec{E}$ всюду направлено радиально и по модулю одинаково на любой окружности данного радиуса вокруг оси. Это подсказывает выбор гауссовой поверхности: берём коаксиальный цилиндр радиуса $r$ и длины $L$ с осью, совпадающей с осью заряженного цилиндра. Через торцы такого цилиндра поток нулевой (поле параллельно торцам), а через боковую поверхность поток равен $E \cdot 2\pi r L$, потому что $E$ постоянно на ней и перпендикулярно ей.

Рассчитать для своей задачи

Вывод формулы напряжённости по теореме Гаусса

Теорема Гаусса связывает поток вектора напряжённости через замкнутую поверхность с охваченным ею зарядом:

$\oint \vec{E} \cdot d\vec{S} = \frac{q_{вн}}{\varepsilon_0 \varepsilon}.$

Для точки снаружи ($r \ge R$) гауссов цилиндр охватывает весь заряд участка длины $L$: $q_{вн} = \lambda L = \sigma \cdot 2\pi R L$. Поток равен $E \cdot 2\pi r L$, поэтому

$E \cdot 2\pi r L = \frac{\sigma \cdot 2\pi R L}{\varepsilon_0 \varepsilon}.$

Длина $L$ и множитель $2\pi$ сокращаются, и напряжённость поля снаружи бесконечного заряженного цилиндра получается равной

$E(r) = \frac{\sigma R}{\varepsilon_0 \varepsilon\, r} = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon\, r}, \qquad r \ge R.$

Снаружи цилиндр действует как заряженная нить с той же линейной плотностью $\lambda$: поле спадает как $1/r$ - медленнее, чем $1/r^2$ у точечного заряда, но быстрее, чем у бесконечной заряженной плоскости (где поле вообще не зависит от расстояния). Если вам нужна та же формула, но через линейную плотность отдельной нити, её удобно сверить в материале про поле равномерно заряженной бесконечной нити.

Почему внутри цилиндра поле равно нулю

Теперь возьмём точку внутри ($r < R$). Гауссов цилиндр такого радиуса не охватывает ни одного заряда: весь заряд сидит на поверхности при $r = R$, а внутри его нет. Значит, $q_{вн} = 0$, и из теоремы Гаусса сразу следует

$E \cdot 2\pi r L = 0 \;\Rightarrow\; E(r) = 0, \qquad r < R.$

Поле внутри равномерно заряженного цилиндра тождественно равно нулю в любой точке. Это прямое следствие того, что заряд распределён по поверхности симметрично: вклады от разных участков взаимно компенсируются. На самой границе $r = R$ напряжённость скачком вырастает от нуля до максимального значения

$E_{max} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}.$

Рассчитать для своей задачи

Именно эта ступенька - главная особенность задачи, которую часто упускают. График напряжённости выглядит как ноль на участке $0 \le r < R$, затем разрыв при $r = R$, а дальше гипербола $E \sim 1/r$. В калькуляторе выше передвиньте точку наблюдения через границу радиуса - значение в карточке скачком переключится с нуля на максимум.

Потенциал поля заряженного цилиндра

Потенциал находят интегрированием напряжённости вдоль радиального пути. Для цилиндра, как и для нити, нельзя отсчитывать потенциал от бесконечности: интеграл логарифма расходится. Поэтому потенциал задают относительно некоторого опорного расстояния $r_0$. Снаружи цилиндра разность потенциалов между точками $r$ и $r_0$ равна

$U = \varphi(r) - \varphi(r_0) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\ln\frac{r_0}{r}, \qquad r, r_0 \ge R.$

Чем ближе к поверхности, тем выше потенциал (для положительного заряда). Внутри цилиндра поле нулевое, а значит, работа по перемещению заряда там равна нулю, и потенциал постоянен: он равен потенциалу поверхности $\varphi(R)$. Поэтому проводящий заряженный цилиндр представляет собой эквипотенциальный объём - весь его объём имеет один потенциал.

Соотношение для разности потенциалов между двумя коаксиальными цилиндрами лежит в основе расчёта ёмкости цилиндрического конденсатора: именно логарифм отношения радиусов задаёт там знаменатель формулы ёмкости.

Сравнение с точечным зарядом и нитью

Полезно держать в голове, как спадает поле у разных симметричных систем - это помогает не перепутать формулы в задачах:

• Точечный заряд: $E \sim 1/r^2$ (сферическая симметрия, поток через сферу).
• Бесконечный цилиндр и нить: $E \sim 1/r$ снаружи (осевая симметрия, поток через боковую поверхность цилиндра).
• Бесконечная заряженная плоскость: $E = \mathrm{const}$ (поле не зависит от расстояния).

Цилиндр снаружи неотличим от нити с линейной плотностью $\lambda = \sigma \cdot 2\pi R$. Разница в том, что у нити нет внутренней области, а у цилиндра есть полость с нулевым полем и конечное максимальное поле на поверхности. В калькуляторе нижний график показывает, что при удвоении расстояния от поверхности поле падает ровно вдвое - это и есть подпись закона $1/r$.

Частые ошибки

• Считают поле внутри по формуле для нити. Внутри заряженного цилиндра поле строго ноль, а не $\lambda/(2\pi\varepsilon_0 r)$. Формула $1/r$ работает только при $r \ge R$.
• Берут точечную формулу $1/r^2$. У цилиндра осевая, а не сферическая симметрия, поэтому поле спадает как $1/r$, а не как $1/r^2$. Подстановка закона Кулона для точечного заряда даёт неверный ответ.
• Путают $\sigma$ и $\lambda$. Поверхностная плотность измеряется в Кл/м², линейная - в Кл/м. Связь $\lambda = \sigma \cdot 2\pi R$; забыв про множитель $2\pi R$, легко промахнуться в разы.
• Отсчитывают потенциал от бесконечности. Для бесконечного цилиндра это невозможно: логарифм расходится. Всегда задавайте опорное расстояние $r_0$ и считайте разность потенциалов.
• Забывают про диэлектрик. Если цилиндр окружён средой с проницаемостью $\varepsilon$, поле и потенциал делятся на $\varepsilon$. В вакууме $\varepsilon = 1$.

FAQ

Чему равно поле внутри бесконечного заряженного цилиндра? Нулю. Гауссова поверхность внутри ($r < R$) не охватывает заряда, поэтому поток равен нулю и $E = 0$ в любой внутренней точке. Это верно для равномерно заряженного по поверхности цилиндра.

Как связаны поверхностная и линейная плотности заряда цилиндра? Через площадь боковой поверхности: $\lambda = \sigma \cdot 2\pi R$, где $R$ - радиус цилиндра. Снаружи поле можно считать по любой из двух формул, они дают одинаковый результат.

Почему поле цилиндра спадает как $1/r$, а не как $1/r^2$? Из-за осевой симметрии. Поток вектора напряжённости пропорционален площади боковой поверхности гауссова цилиндра $2\pi r L$, которая растёт линейно с $r$. У точечного заряда поток идёт через сферу площадью $4\pi r^2$, поэтому там спад быстрее.

Коротко

Снаружи бесконечного заряженного цилиндра напряжённость поля равна $E = \sigma R/(\varepsilon_0\varepsilon r) = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\varepsilon r)$ и спадает как $1/r$, то есть цилиндр действует как нить с линейной плотностью $\lambda = \sigma \cdot 2\pi R$. Внутри цилиндра поле строго равно нулю, а на границе $r = R$ оно скачком достигает максимума $E_{max} = \sigma/(\varepsilon_0\varepsilon)$. Потенциал отсчитывают от опорного цилиндра $r_0$: снаружи он меняется логарифмически, $U = \lambda/(2\pi\varepsilon_0\varepsilon)\ln(r_0/r)$, а внутри постоянен. Все формулы выводятся из теоремы Гаусса за счёт осевой симметрии задачи.