Поле бесконечной заряженной нити: напряжённость и потенциал

Поле равномерно заряженной бесконечной нити - одна из базовых моделей электростатики, на которой удобно отрабатывать теорему Гаусса. Реальная нить, конечно, не бесконечна, но если её длина намного больше расстояния до точки наблюдения, краевыми эффектами можно пренебречь, и поле вблизи нити с хорошей точностью совпадает с полем идеальной бесконечной нити. Главная особенность такой системы - поле спадает не как у точечного заряда, а медленнее, по закону $1/r$, и это сразу меняет вид формулы потенциала. Ниже разберём, как вывести напряжённость через цилиндрическую поверхность Гаусса, почему потенциал нельзя отсчитывать от бесконечности, как считать разность потенциалов и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу увидеть связь плотности заряда, расстояния и поля, покрути калькулятор ниже: он считает напряжённость, напряжение и силу на пробный заряд и рисует, как поле спадает с расстоянием.

Линейная плотность заряда и симметрия задачи

Заряд нити описывают линейной плотностью $\lambda$ - это заряд, приходящийся на единицу длины:

$\lambda = \frac{q}{L}, \qquad [\lambda] = \frac{\text{Кл}}{\text{м}}.$

Если нить заряжена равномерно, $\lambda$ одинакова по всей длине. Симметрия здесь ключевая: бесконечная прямая нить выглядит одинаково из любой точки на одном и том же расстоянии и не имеет выделенного направления вдоль себя. Отсюда сразу следует вид поля - вектор напряжённости $\vec{E}$ в каждой точке направлен строго радиально, перпендикулярно нити, а его модуль зависит только от расстояния $r$ до нити, но не от положения вдоль неё и не от угла. Эта осевая (цилиндрическая) симметрия и подсказывает, какую поверхность взять для теоремы Гаусса.

Вывод напряжённости через теорему Гаусса

Возьмём в качестве гауссовой поверхности коаксиальный нити цилиндр радиуса $r$ и длины $l$. Поток через торцы равен нулю: там вектор $\vec{E}$ скользит вдоль поверхности, а нормаль направлена вдоль нити. Остаётся только поток через боковую поверхность, где $\vec{E}$ всюду перпендикулярен ей и постоянен по модулю:

$\Phi_E = E \cdot S_{\text{бок}} = E \cdot 2\pi r l.$

Рассчитать для своей задачи

Заряд внутри цилиндра - это заряд участка нити длиной $l$, то есть $q_{\text{внутр}} = \lambda l$. По теореме Гаусса поток равен заряду, делённому на $\varepsilon_0\varepsilon$:

$E \cdot 2\pi r l = \frac{\lambda l}{\varepsilon_0 \varepsilon}.$

Длина $l$ сокращается, и мы получаем главную формулу поля бесконечной нити:

$E = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon\, r},$

где $\varepsilon_0 \approx 8{,}85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная, а $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды. Удобно ввести коэффициент $k_\text{л} = \dfrac{1}{2\pi\varepsilon_0} \approx 1{,}8 \cdot 10^{10}$, тогда $E = k_\text{л}\,\lambda/(\varepsilon r)$.

Почему поле спадает как 1 на r

Главное отличие нити от точечного заряда - закон спада. У точечного заряда поле падает как $1/r^2$, а у бесконечной нити - как $1/r$, то есть гораздо медленнее. Причина геометрическая: с ростом $r$ боковая поверхность цилиндра растёт пропорционально $r$ (а не $r^2$, как площадь сферы), поэтому для сохранения постоянного потока напряжённости достаточно ослабевать всего в $r$ раз.

Рассчитать для своей задачи

Практическое следствие: приближение к нити вдвое удваивает напряжённость, а удаление вдвое - делит её ровно пополам. В калькуляторе выше нижняя диаграмма показывает именно это: столбики поля на половинном, текущем и удвоенном расстоянии относятся как $2:1:0{,}5$. Для точечного заряда то же удвоение расстояния ослабило бы поле уже вчетверо.

Потенциал поля бесконечной нити

Потенциал находят как интеграл напряжённости вдоль радиуса. Поскольку $E \sim 1/r$, интеграл даёт логарифм:

$\varphi(r) - \varphi(r_0) = -\int_{r_0}^{r} E\,dr = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\ln\frac{r_0}{r}.$

Здесь и кроется важная тонкость: для бесконечной нити нельзя принять $\varphi(\infty) = 0$, как у точечного заряда. Логарифм при $r_0 \to \infty$ уходит в бесконечность, интеграл расходится. Поэтому нулевой уровень потенциала выбирают на каком-то конечном опорном расстоянии $r_0$, и физический смысл имеет именно разность потенциалов между двумя точками, а не «абсолютное» значение в одной. Это нормально: в электростатике измерима всегда только разность.

Разность потенциалов и работа поля

На практике почти всегда нужна именно разность потенциалов (напряжение) между двумя точками на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от нити:

$U = \varphi(r_1) - \varphi(r_2) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\ln\frac{r_2}{r_1}.$

Если точка $r_1$ ближе к нити (поле положительного заряда сильнее), её потенциал выше, и $U > 0$. Работа поля по перемещению пробного заряда $q_0$ из первой точки во вторую равна:

$A = q_0 U = q_0\,\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\,\ln\frac{r_2}{r_1}.$

А сила, действующая на пробный заряд $q_0$ в точке на расстоянии $r$, выражается через напряжённость напрямую: $F = q_0 E = \dfrac{q_0\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon r}$. Именно эти три величины - напряжённость, напряжение и силу - и собирает калькулятор в начале статьи: задайте плотность заряда, расстояние и среду, и он покажет числа вместе с графиком спада.

Влияние среды и диэлектрика

Если нить погружена в однородный диэлектрик с проницаемостью $\varepsilon$, поле ослабевает в $\varepsilon$ раз: молекулы среды поляризуются и частично экранируют заряд. В формулах это уже учтено множителем $\varepsilon$ в знаменателе. Например, при переносе той же нити из вакуума ($\varepsilon = 1$) в керосин ($\varepsilon \approx 2$) напряжённость на любом расстоянии уменьшится вдвое, а вместе с ней - и напряжение, и сила на пробный заряд. В калькуляторе ползунок $\varepsilon$ позволяет сразу увидеть это: при росте проницаемости обе кривые опускаются пропорционально.

Частые ошибки

• Спутать закон спада с точечным зарядом. У нити поле падает как $1/r$, а не $1/r^2$. Если в задаче про нить появляется квадрат расстояния, формула почти наверняка перепутана с полем точечного заряда.
• Отсчитывать потенциал от бесконечности. Для бесконечной нити $\varphi(\infty)$ не определён, логарифм расходится. Нужно задавать конечное опорное расстояние $r_0$ и работать с разностью потенциалов.
• Забыть про множитель $2\pi$. В знаменателе формулы нити стоит $2\pi\varepsilon_0$, а не $4\pi\varepsilon_0$, как у точечного заряда. Эти $2\pi$ берутся из боковой поверхности цилиндра.
• Не перевести единицы. Линейную плотность задают часто в нКл/м или мкКл/м, расстояние - в сантиметрах. Перед подстановкой переводите всё в систему СИ: Кл/м и метры.
• Перепутать радиусы в логарифме. В $\ln(r_2/r_1)$ важен порядок: знак напряжения зависит от того, какая точка ближе к нити. Поменяете местами - получите неверный знак работы.

FAQ

Чему равна напряжённость поля бесконечной нити с плотностью 10 нКл/м на расстоянии 10 см? Подставляем в формулу: $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r} = \dfrac{10^{-8}}{2\pi\cdot 8{,}85\cdot10^{-12}\cdot 0{,}1} \approx 1800$ В/м. Поле направлено радиально от нити, если заряд положительный.

Почему у бесконечной нити поле спадает медленнее, чем у точечного заряда? Из-за геометрии гауссовой поверхности. У точечного заряда поток собирается со сферы площадью $4\pi r^2$, поэтому поле падает как $1/r^2$. У нити поток идёт через боковую поверхность цилиндра площадью $2\pi r l$, которая растёт лишь как $r$, поэтому поле спадает как $1/r$.

Можно ли применять формулу бесконечной нити к конечному отрезку? Приближённо да, если длина нити много больше расстояния до точки и точка находится не у самого края. Тогда краевыми эффектами можно пренебречь. У концов отрезка и на больших расстояниях формула $1/r$ перестаёт работать, и поле приближается к полю точечного заряда.

Коротко

Поле равномерно заряженной бесконечной нити выводится теоремой Гаусса через коаксиальный цилиндр и равно $E = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon r}$ - оно радиально и спадает как $1/r$, медленнее, чем $1/r^2$ у точечного заряда. Потенциал даёт логарифм, поэтому его нельзя отсчитывать от бесконечности: физический смысл имеет разность потенциалов $U = \dfrac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0\varepsilon}\ln(r_2/r_1)$ между двумя точками. Среда с проницаемостью $\varepsilon$ ослабляет и поле, и напряжение в $\varepsilon$ раз.