Поле двух разноимённо заряженных плоскостей: формула и вывод

Поле двух разноимённо заряженных плоскостей - одна из опорных моделей электростатики: на ней проще всего понять, как работает принцип суперпозиции и откуда берётся однородное поле плоского конденсатора. Каждая бесконечная плоскость создаёт удивительно простое поле: оно одинаково в любой точке и не зависит от расстояния. Когда таких плоскостей две и заряжены они противоположными знаками, их поля в одних областях складываются, а в других гасят друг друга. В итоге всё поле собирается в узкий зазор между плоскостями, а снаружи его нет вовсе. Ниже разберём, как получить напряжённость одной плоскости через теорему Гаусса, как сложить два поля, почему результат именно $E = \sigma/\varepsilon_0$ внутри и ноль снаружи, и как это связано с напряжением на конденсаторе. Чтобы сразу увидеть зависимость поля и напряжения от плотности заряда, покрути калькулятор ниже.

Поле одной бесконечной плоскости

Начнём с одной равномерно заряженной плоскости с поверхностной плотностью заряда $\sigma$. Из симметрии задачи поле может быть направлено только перпендикулярно плоскости, причём по обе стороны одинаково по модулю. Чтобы найти его величину, применим теорему Гаусса: возьмём замкнутую поверхность в виде цилиндра (или параллелепипеда), пронизывающего плоскость, с основаниями площадью $S$ по обе стороны от неё.

Поток через боковую поверхность равен нулю (поле параллельно ей), а через два основания - $2ES$. Заряд внутри гауссовой поверхности равен $\sigma S$. По теореме Гаусса:

$2ES = \frac{\sigma S}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0}.$

Ключевая особенность: $E_1$ не зависит от расстояния до плоскости. У точечного заряда поле спадает как $1/r^2$, у бесконечной нити - как $1/r$, а у бесконечной плоскости оно вообще постоянно. Физически это потому, что при удалении от плоскости «работает» всё больший её участок, и убывание вклада ближних зарядов компенсируется ростом числа дальних. Та же логика, что у поля заряженной нити, только на ступень выше по симметрии - про спадание поля нити можно почитать в разборе поля бесконечной заряженной нити.

Суперпозиция: складываем два поля

Теперь поставим рядом две параллельные плоскости: левую с зарядом $+\sigma$, правую с зарядом $-\sigma$. Каждая по отдельности создаёт своё однородное поле $E_1 = \sigma/(2\varepsilon_0)$. Поле положительной плоскости направлено от неё в обе стороны, поле отрицательной - к ней с обеих сторон. По принципу суперпозиции полное поле в любой точке равно векторной сумме этих двух полей.

Рассчитать для своей задачи

Разберём три области по очереди. Слева от обеих плоскостей поле $+\sigma$ направлено влево, а поле $-\sigma$ - вправо (к отрицательному заряду). Они равны по модулю и противоположны, поэтому гасятся: $E = 0$. Справа от обеих плоскостей картина зеркальная - снова встречные равные поля и снова ноль. Между плоскостями поле $+\sigma$ направлено вправо (от плюса) и поле $-\sigma$ тоже вправо (к минусу) - они смотрят в одну сторону и складываются.

Важно, что суперпозиция здесь работает безо всяких приближений: поле каждой плоскости само по себе строго однородно, поэтому и их сумма однородна в каждой из трёх областей. Никаких «переходных зон» с плавным изменением поля между областями нет - на самой плоскости вклад этой плоскости в нормальную компоненту поля скачком меняет знак, и поэтому напряжённость резко изменяется ровно на величину $\sigma/\varepsilon_0$ при переходе через каждую заряженную плоскость. Это общее свойство любой заряженной поверхности: нормальная компонента поля терпит на ней разрыв, равный $\sigma/\varepsilon_0$.

Формула поля между плоскостями

В зазоре между разноимёнными плоскостями два одинаковых поля складываются:

$E = E_1 + E_1 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} + \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}.$

Это и есть главная формула: поле двух разноимённо заряженных плоскостей внутри равно $E = \sigma/\varepsilon_0$, оно однородно (одинаково по всему объёму между плоскостями) и направлено от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поле равно нулю. Получается, что вся электрическая энергия системы сосредоточена в узком зазоре, а окружающее пространство «электрически тихое».

Рассчитать для своей задачи

График напряжённости вдоль оси, перпендикулярной плоскостям, выглядит как прямоугольная ступенька: ноль слева, резкий скачок до $\sigma/\varepsilon_0$ на первой плоскости, постоянная полка в зазоре и резкий спад до нуля на второй плоскости. Именно такое поле называют однородным - силовые линии параллельны, равноотстоят и нигде не искривляются.

Это поле плоского конденсатора

Две разноимённо заряженные плоскости - это идеализированная модель плоского конденсатора. Поэтому формула $E = \sigma/\varepsilon_0$ сразу даёт напряжение между обкладками. Поскольку поле однородно, разность потенциалов равна произведению напряжённости на расстояние $d$ между плоскостями:

$U = E\,d = \frac{\sigma d}{\varepsilon_0}.$

Если выразить поверхностную плотность через полный заряд $q$ и площадь $S$ как $\sigma = q/S$, получим $U = qd/(\varepsilon_0 S)$, а отсюда - знакомую ёмкость плоского конденсатора $C = q/U = \varepsilon_0 S/d$. Так модель двух плоскостей напрямую выводит и поле, и напряжение, и ёмкость. Дальше из напряжения легко посчитать запасённую энергию - это разобрано в материале про энергию заряженного конденсатора.

В реальном конденсаторе плоскости не бесконечны, поэтому у краёв обкладок поле слегка «выпучивается» наружу - это краевой эффект. Но если линейные размеры пластин намного больше зазора $d$, краевыми искажениями можно пренебречь, и поле внутри с хорошей точностью совпадает с идеальным $\sigma/\varepsilon_0$.

Одноимённые плоскости: всё наоборот

Полезно сравнить с двумя плоскостями, заряженными одноимённо (обе $+\sigma$). Тогда между ними поля направлены навстречу и гасятся: $E = 0$. А снаружи они складываются и дают $E = \sigma/\varepsilon_0$. Картина буквально зеркальна случаю разноимённых зарядов: у разноимённых поле живёт внутри, у одноимённых - снаружи. Это удобный способ проверить себя: достаточно нарисовать направления двух полей в каждой области и сложить их векторно, а не запоминать готовые ответы.

Частые ошибки

• Путают $\sigma/2\varepsilon_0$ и $\sigma/\varepsilon_0$. Множитель $1/2$ относится к полю одной плоскости. Между двумя разноимёнными плоскостями поля складываются, и двойка сокращается - там $\sigma/\varepsilon_0$.
• Думают, что снаружи поле тоже есть. У разноимённых плоскостей снаружи поля гасятся в ноль. Поле есть только в зазоре.
• Считают, что поле зависит от расстояния. Поле бесконечной плоскости постоянно. Внутри конденсатора $E$ не меняется от обкладки к обкладке, а вот напряжение $U = Ed$ растёт с зазором.
• Забывают про знак и направление. Поле в зазоре направлено от плюса к минусу; для силы на пробный заряд знак заряда определяет, куда его потянет.
• Смешивают одноимённый и разноимённый случаи. Всегда рисуйте направления полей в каждой из трёх областей и складывайте векторно.

FAQ

Чему равно поле двух разноимённо заряженных плоскостей? Между плоскостями поле однородно и равно $E = \sigma/\varepsilon_0$, направлено от положительной плоскости к отрицательной. Снаружи поле равно нулю. Здесь $\sigma$ - поверхностная плотность заряда, $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная.

Почему между плоскостями поле в два раза больше, чем у одной плоскости? Каждая плоскость создаёт поле $\sigma/(2\varepsilon_0)$. В зазоре поля обеих плоскостей направлены в одну сторону, поэтому складываются и дают $\sigma/\varepsilon_0$ - вдвое больше поля одной плоскости.

Как найти напряжение между плоскостями? Поле однородно, поэтому напряжение равно $U = E\,d = \sigma d/\varepsilon_0$, где $d$ - расстояние между плоскостями. Через полный заряд и площадь: $U = qd/(\varepsilon_0 S)$, что даёт ёмкость плоского конденсатора $C = \varepsilon_0 S/d$.

Коротко

Поле двух разноимённо заряженных бесконечных плоскостей получается суперпозицией: каждая плоскость даёт однородное поле $\sigma/(2\varepsilon_0)$, между разноимёнными плоскостями эти поля складываются в $E = \sigma/\varepsilon_0$, а снаружи гасятся в ноль. Это в точности поле плоского конденсатора, поэтому напряжение между обкладками равно $U = \sigma d/\varepsilon_0$, а ёмкость $C = \varepsilon_0 S/d$. Главное - не путать поле одной плоскости с полем зазора и помнить, что напряжённость бесконечной плоскости не зависит от расстояния.