Потенциал бесконечной заряженной нити: формула и вывод

Бесконечная равномерно заряженная нить - одна из базовых моделей электростатики: к ней сводят длинный проводник, заряженный стержень или жилу кабеля, когда расстояние до точки наблюдения много меньше длины. Поле такой нити легко берётся теоремой Гаусса, а вот потенциал ставит студентов в тупик: привычный приём «ноль на бесконечности» здесь не работает, и формула получается логарифмической, а не степенной. Ниже разберём, откуда берётся потенциал бесконечной заряженной нити, как его вывести строго, почему опорную точку выбирают на конечном радиусе и как считать разность потенциалов и работу. Чтобы сразу увидеть связь плотности заряда, расстояния и потенциала, покрутите калькулятор ниже: он строит обе кривые - поля и потенциала - и пересчитывает все величины мгновенно.

Поле нити через теорему Гаусса

Начинать всегда удобнее с напряжённости, а не с потенциала: поле бесконечной нити находится в одну строчку. Возьмём воображаемый цилиндр радиуса $r$ и длины $L$, ось которого совпадает с нитью. По симметрии поле направлено радиально и одинаково на всей боковой поверхности, а через торцы поток равен нулю. Теорема Гаусса даёт:

$E \cdot 2\pi r L = \frac{\lambda L}{\varepsilon_0},$

где $\lambda$ - линейная плотность заряда (заряд на единицу длины), а $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная. Длина $L$ сокращается, и остаётся знаменитая формула поля бесконечной нити:

$E(r) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0 r}.$

Главное здесь - зависимость $E \sim 1/r$, а не $1/r^2$, как у точечного заряда. Поле нити спадает медленнее именно потому, что источник «размазан» вдоль линии. Эта разница и приводит к тому, что потенциал получается логарифмическим.

Рассчитать для своей задачи

Потенциал бесконечной заряженной нити

Потенциал связан с полем через интегрирование: разность потенциалов между точками $r_1$ и $r_2$ равна работе поля по перемещению единичного положительного заряда, взятой с обратным знаком:

$V(r_1) - V(r_2) = \int_{r_1}^{r_2} E\,dr = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r} = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\frac{r_2}{r_1}.$

Чтобы получить сам потенциал $V(r)$, а не разность, нужно зафиксировать точку отсчёта - радиус $r_0$, где потенциал считаем нулевым. Тогда:

$V(r) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\frac{r_0}{r}.$

Это и есть формула потенциала бесконечной заряженной нити. Обратите внимание: при $r = r_0$ потенциал равен нулю по определению, ближе к нити ($r < r_0$) для положительной нити он положителен, а дальше ($r > r_0$) - отрицателен. Знак потенциала здесь условен и полностью задаётся выбором $r_0$ - физический смысл имеет только разность потенциалов.

Почему ноль нельзя взять на бесконечности

С точечным зарядом мы привыкли принимать $V(\infty) = 0$, и формула $V = kq/r$ выходит сама собой. С нитью этот трюк не проходит. Подставим в выражение для разности потенциалов $r_2 \to \infty$: логарифм $\ln(r_2/r_1)$ уходит в бесконечность. Потенциал расходится, потому что бесконечно длинная нить несёт бесконечный полный заряд, и работа по уносу пробного заряда на бесконечность бесконечна.

Поэтому опорную точку выбирают на конечном расстоянии $r_0$: это может быть радиус заземлённого экрана, поверхность проводника или просто удобное расстояние из условия задачи. Физический результат - поле и любые разности потенциалов - от выбора $r_0$ не зависит, меняется лишь «нулевая отметка» отсчёта. На графике потенциала в калькуляторе синяя пунктирная линия как раз отмечает $r_0$: сдвигая её, вы поднимаете или опускаете всю кривую, не меняя её формы.

Рассчитать для своей задачи

Разность потенциалов и работа поля

В большинстве задач спрашивают именно разность потенциалов между двумя точками или работу по перемещению заряда - и тут расходимость уже не мешает. Разность потенциалов между точками на расстояниях $r_1$ и $r_2$ от нити:

$U = V(r_1) - V(r_2) = \frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\frac{r_2}{r_1}.$

Работа сил поля по перемещению точечного заряда $q$ из точки $r_1$ в точку $r_2$ равна произведению заряда на эту разность:

$A = q\,(V(r_1) - V(r_2)) = \frac{q\,\lambda}{2\pi \varepsilon_0} \ln\frac{r_2}{r_1}.$

Эти формулы не содержат $r_0$, поэтому ответ однозначен независимо от того, где назначен ноль. Если заряд удаляют от положительной нити ($r_2 > r_1$), поле совершает положительную работу - именно так и проверяется правильность знака.

Пример решения типовой задачи

Бесконечная нить заряжена с линейной плотностью $\lambda = 5$ нКл/м. Найдём потенциал на расстоянии $r = 0{,}3$ м, приняв нулевым потенциал на $r_0 = 1$ м. Сначала вынесем общий множитель:

$\frac{\lambda}{2\pi \varepsilon_0} = \frac{5 \cdot 10^{-9}}{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12}} \approx 89{,}9\ \text{В}.$

Теперь подставим радиусы в логарифм:

$V(0{,}3) = 89{,}9 \cdot \ln\frac{1}{0{,}3} = 89{,}9 \cdot \ln 3{,}33 \approx 89{,}9 \cdot 1{,}204 \approx 108\ \text{В}.$

Потенциал положителен, потому что точка ближе к нити, чем опорный радиус. Заодно посчитаем поле в той же точке:

$E(0{,}3) = \frac{5 \cdot 10^{-9}}{2\pi \cdot 8{,}85 \cdot 10^{-12} \cdot 0{,}3} \approx 300\ \text{В/м}.$

Те же числа выдаёт калькулятор выше при λ = 5 нКл/м, r0 = 1 м и r = 0,3 м - можно сверить расчёт по шагам и сразу увидеть обе кривые.

Частые ошибки

• Попытка взять ноль на бесконечности. Для нити это даёт бесконечность. Всегда фиксируйте конечный опорный радиус $r_0$ из условия задачи или назначьте его сами.
• Степенная формула вместо логарифма. У точечного заряда потенциал $\sim 1/r$, у нити - $\sim \ln r$. Поле спадает как $1/r$, а не $1/r^2$. Путать эти зависимости нельзя.
• Забыли перевести плотность в Кл/м. Линейную плотность часто дают в нКл/м или мкКл/м. Перед подстановкой переведите её в Кл/м, иначе ошибётесь в множителях $10^9$.
• Перепутан порядок радиусов в логарифме. В $V(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r_0/r)$ опорный радиус стоит в числителе. Перевёрнутая дробь даёт неверный знак потенциала.
• Ищут абсолютный потенциал там, где нужна разность. Если в задаче две точки, считайте сразу разность $U$ - она не зависит от $r_0$ и не расходится.

FAQ

Почему потенциал нити логарифмический, а у точечного заряда - нет? Потому что поле нити спадает как $1/r$, а у точки - как $1/r^2$. Интеграл от $1/r$ даёт логарифм, а интеграл от $1/r^2$ - функцию вида $1/r$. Разная геометрия источника (линия против точки) приводит к разному закону спада и, как следствие, к разной форме потенциала.

Как выбрать опорный радиус r0? Берите его из физики задачи: радиус заземлённого цилиндрического экрана, поверхность коаксиального проводника или указанное в условии расстояние с известным потенциалом. Если ничего не задано, удобно принять $r_0 = 1$ м - результат для разностей потенциалов от этого выбора не зависит.

Зависит ли потенциал нити от её длины? Сама модель предполагает бесконечную нить, поэтому в формулу длина не входит - сократилась ещё на этапе теоремы Гаусса. На практике формула применима, пока расстояние до точки много меньше длины нити; у концов реального стержня она перестаёт работать.

Коротко

Поле бесконечной заряженной нити даёт теорема Гаусса: $E(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0 r}$, оно спадает как $1/r$. Потенциал получается интегрированием и выходит логарифмическим: $V(r) = \frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r_0/r)$, где $r_0$ - конечный опорный радиус, поскольку ноль на бесконечности даёт расходимость. Разность потенциалов и работа поля от выбора $r_0$ не зависят и считаются по $\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0}\ln(r_2/r_1)$ - именно эти величины и нужны в большинстве задач.