Энергия заряженного конденсатора: формулы и задачи

Заряженный конденсатор хранит энергию в электрическом поле между обкладками: именно поэтому он умеет отдавать накопленное мгновенной вспышкой в фотовспышке или дефибрилляторе. Чтобы решать задачи, достаточно одной формулы энергии в трёх эквивалентных видах и понимания, откуда в ней берётся множитель одна вторая. Покрутите калькулятор ниже: задайте ёмкость и напряжение и посмотрите, как растёт запасённая энергия и насколько больше работа источника.

Что такое энергия заряженного конденсатора

Конденсатор с зарядом $q$ на обкладках, напряжением $U$ между ними и ёмкостью $C$ запасает энергию

$W = \frac{q^2}{2C} = \frac{C U^2}{2} = \frac{q U}{2}.$

Все три выражения дают одно и то же число и переходят друг в друга через определение ёмкости $q = CU$. Какое из них применять, зависит от того, что дано в задаче: известно напряжение - удобна форма $CU^2/2$, известен заряд при отключённом источнике - форма $q^2/(2C)$, а форма $qU/2$ хорошо показывает связь с работой источника.

Эта энергия не «висит» на обкладках, а запасена в электрическом поле в пространстве между ними. Поэтому если поле исчезает (конденсатор разрядили), энергия высвобождается и может совершить работу или выделиться в виде тепла и света.

Откуда берётся множитель одна вторая

Главный вопрос, на котором спотыкаются: почему энергия равна $qU/2$, а не $qU$? Ответ - в процессе зарядки. Конденсатор заряжают, перенося заряд малыми порциями с одной обкладки на другую. Пока заряд мал, напряжение между обкладками тоже мало, и перенести первые порции легко. По мере накопления заряда напряжение растёт линейно по закону $U = q/C$, и каждую следующую порцию приходится переносить против всё большего напряжения.

Рассчитать для своей задачи

Работа по переносу заряда равна площади под графиком зависимости напряжения от заряда. Для линейной зависимости это площадь треугольника:

$W = \frac{1}{2} q U.$

Отсюда и множитель: средняя «цена» переноса заряда - половина конечного напряжения, ведь в начале напряжение было нулевым. Если же конденсатор подключён к источнику постоянного напряжения $U$, то источник совершает полную работу $qU$, но в поле конденсатора запасается лишь половина $qU/2$. Вторая половина неизбежно теряется в тепло на сопротивлении проводов и внутреннем сопротивлении источника - это фундаментальный факт, не зависящий от величины сопротивления.

Энергия и напряжение: квадратичная зависимость

Из формулы $W = CU^2/2$ видно, что энергия растёт не пропорционально напряжению, а как его квадрат. Это частый источник ошибок в задачах: увеличишь напряжение вдвое - и энергия вырастет не в два, а в четыре раза.

Рассчитать для своей задачи

На графике хорошо видно, что точка $2U$ соответствует энергии $4W$. Та же квадратичная зависимость работает и для заряда: при фиксированной ёмкости энергия пропорциональна квадрату заряда. Это объясняет, почему пробой конденсатора при превышении напряжения так опасен - запасённая энергия растёт очень быстро. Похожий обмен и хранение энергии в полях разбирается в теме про энергию в колебательном контуре, где она ритмично перетекает между конденсатором и катушкой.

Энергия электрического поля и её плотность

Поскольку энергия запасена в самом поле, её можно выразить через характеристики поля, а не цепи. Для плоского конденсатора напряжённость поля $E = U/d$ (где $d$ - расстояние между обкладками), а объём поля равен $V = S d$ (где $S$ - площадь обкладок). Подставив ёмкость плоского конденсатора $C = \varepsilon_0 \varepsilon S / d$ в формулу энергии, получаем объёмную плотность энергии - энергию в единице объёма поля:

$w = \frac{W}{V} = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon E^2}{2},$

где $\varepsilon_0$ - электрическая постоянная, а $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость вещества между обкладками. Эта формула универсальна: плотность энергии в любой точке поля пропорциональна квадрату напряжённости. Полную энергию тогда можно найти как $W = w \cdot V$, что удобно в задачах, где заданы геометрия и поле, а не заряд напрямую.

Что меняется при движении обкладок

Каверзный класс задач - когда у заряженного конденсатора меняют расстояние между обкладками. Результат принципиально зависит от того, отключён конденсатор от источника или нет.

Если конденсатор отключён, сохраняется заряд $q$. При раздвижении обкладок ёмкость $C = \varepsilon_0 \varepsilon S / d$ уменьшается, а энергия $W = q^2/(2C)$ растёт. Откуда берётся прибавка? Её совершаем мы, раздвигая обкладки против сил притяжения разноимённых зарядов - механическая работа переходит в энергию поля.

Если конденсатор подключён к источнику, постоянным остаётся напряжение $U$. При раздвижении ёмкость падает, и энергия $W = CU^2/2$ уменьшается, а лишний заряд возвращается в источник. Эти два сценария дают противоположные ответы, поэтому первым делом в задаче определяют, какая величина сохраняется. Полезно помнить и про параллельное соединение конденсаторов: при перераспределении заряда между конденсаторами часть энергии тоже теряется.

Как решать задачи на энергию конденсатора

Почти все задачи укладываются в короткий план. Сначала выписывают, что дано и что сохраняется: если конденсатор подключён к источнику - постоянно напряжение $U$, если отключён - заряд $q$. Это сразу подсказывает, какую из трёх форм энергии брать.

Дальше при необходимости переводят одни величины в другие через $q = CU$ и считают энергию. Если в задаче меняют геометрию (раздвигают обкладки, вдвигают диэлектрик), пересчитывают ёмкость $C = \varepsilon_0 \varepsilon S / d$ и берут энергию в той форме, где зафиксированная величина стоит явно: $q^2/(2C)$ при постоянном заряде или $CU^2/2$ при постоянном напряжении.

Наконец, если спрашивают про работу или тепло, пользуются балансом: работа источника равна $qU$, запасённая энергия - половина от неё, а разница уходит в тепло. Для механической задачи (раздвигание обкладок отключённого конденсатора) изменение энергии поля равно работе внешней силы.

Частые ошибки

• Забывать про множитель одна вторая. Энергия равна $qU/2$, а не $qU$. Произведение $qU$ - это работа источника, и половина её теряется в тепло при зарядке.
• Считать энергию пропорциональной напряжению. Зависимость квадратичная: $W \sim U^2$. Удвоение напряжения учетверяет энергию, а не удваивает.
• Путать сценарии с источником. При движении обкладок отключённый конденсатор сохраняет заряд, а подключённый - напряжение. Это приводит к противоположным изменениям энергии.
• Применять не ту форму формулы. Если источник отключён и заряд фиксирован, удобнее $q^2/(2C)$; если фиксировано напряжение - $CU^2/2$. Смешивание форм при изменении ёмкости ведёт к ошибке.
• Игнорировать диэлектрик. Заполнение диэлектриком меняет ёмкость в $\varepsilon$ раз, а значит, и энергию при тех же условиях.

FAQ

Почему энергия конденсатора равна qU/2, а не qU? Потому что при зарядке напряжение растёт от нуля до $U$ линейно с зарядом. Работа равна площади под графиком $U(q)$ - это треугольник площадью $\tfrac12 qU$. Источник совершает полную работу $qU$, но половина теряется в тепло, а в поле запасается $qU/2$.

Где хранится энергия заряженного конденсатора? В электрическом поле между обкладками. Объёмная плотность энергии равна $w = \varepsilon_0 \varepsilon E^2/2$ и пропорциональна квадрату напряжённости поля. Полная энергия - это плотность, умноженная на объём поля.

Как изменится энергия, если раздвинуть обкладки заряженного конденсатора? Зависит от подключения. У отключённого конденсатора заряд постоянен, ёмкость падает, и энергия $q^2/(2C)$ растёт за счёт нашей работы против притяжения обкладок. У подключённого к источнику напряжение постоянно, и энергия $CU^2/2$ уменьшается.

Коротко

Энергия заряженного конденсатора запасена в электрическом поле и равна $W = \dfrac{q^2}{2C} = \dfrac{C U^2}{2} = \dfrac{q U}{2}$, где $q = CU$. Множитель одна вторая возникает из работы зарядки: напряжение растёт от нуля линейно, поэтому работа равна площади треугольника $\tfrac12 qU$, а источник тратит вдвое больше - половину теряет в тепло. Энергия растёт как квадрат напряжения, хранится в поле с плотностью $w = \varepsilon_0 \varepsilon E^2/2$, а при движении обкладок меняется по-разному в зависимости от того, фиксирован заряд (отключён) или напряжение (подключён к источнику).