Энергия в колебательном контуре: формулы и задачи

Колебательный контур из конденсатора и катушки - это электрический аналог пружинного маятника: в нём ничего не движется механически, но энергия так же ритмично перекачивается из одной формы в другую. Конденсатор запасает её в электрическом поле, катушка - в магнитном, и пока контур идеален (без сопротивления), их сумма не меняется. Большинство задач на эту тему сводятся к одному закону сохранения и паре формул, которые удобно сразу проверить на калькуляторе ниже: задайте параметры контура и посмотрите, как доли энергии перетекают туда и обратно.

Что запасает энергию в контуре

В контуре есть ровно два хранилища энергии. Заряженный конденсатор держит энергию в электрическом поле между обкладками:

$W_C = \frac{q^2}{2C} = \frac{C U^2}{2},$

где $q$ - заряд на обкладках, $U$ - напряжение, $C$ - ёмкость. Катушка с током запасает энергию в магнитном поле:

$W_L = \frac{L i^2}{2},$

где $i$ - мгновенный ток, $L$ - индуктивность. Заряд и ток в контуре меняются по гармоническому закону (это разбирается в теме про гармонические колебания):

$q(t) = q_m \cos(\omega t), \qquad i(t) = -\omega q_m \sin(\omega t) = -I_m \sin(\omega t),$

причём амплитуда тока связана с амплитудой заряда через циклическую частоту: $I_m = \omega q_m$. Сама частота задаётся формулой Томсона $\omega = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$, а период колебаний $T = 2\pi\sqrt{LC}$.

Закон сохранения энергии в контуре

Подставим законы изменения заряда и тока в формулы для энергий. Энергия конденсатора оказывается пропорциональна $\cos^2$, а энергия катушки - $\sin^2$:

$W_C(t) = \frac{q_m^2}{2C}\cos^2(\omega t), \qquad W_L(t) = \frac{L I_m^2}{2}\sin^2(\omega t).$

Здесь и кроется главная идея темы. Амплитудные значения обеих энергий равны между собой, потому что $\dfrac{q_m^2}{2C} = \dfrac{L I_m^2}{2}$ (это легко проверить, подставив $I_m = \omega q_m$ и $\omega^2 = 1/LC$). Обозначим эту общую величину через $W$. Тогда полная энергия в любой момент:

$W = W_C + W_L = W\cos^2(\omega t) + W\sin^2(\omega t) = W = \text{const}.$

Поскольку $\cos^2 + \sin^2 = 1$, сумма не зависит от времени: энергия не исчезает и не появляется, она лишь перетекает из конденсатора в катушку и обратно. Это и есть закон сохранения энергии для идеального контура. Полную энергию удобно считать в тот момент, когда вся она в одном хранилище:

$W = \frac{q_m^2}{2C} = \frac{C U_m^2}{2} = \frac{L I_m^2}{2}.$

Рассчитать для своей задачи

В реальном контуре есть активное сопротивление, и часть энергии уходит в тепло - амплитуды постепенно спадают. Этот случай разбирается отдельно в теме про затухающие колебания, а здесь мы считаем контур идеальным.

Период обмена энергией: почему вдвое быстрее

Удобная для задач тонкость: энергия колеблется не с тем же периодом, что заряд и ток, а вдвое быстрее. Причина - квадрат в формулах. Используя тождество $\cos^2(\omega t) = \dfrac{1 + \cos(2\omega t)}{2}$, перепишем энергию конденсатора:

$W_C(t) = \frac{W}{2}\big(1 + \cos 2\omega t\big).$

Видно, что энергия меняется на удвоенной частоте $2\omega$, то есть период колебаний энергии равен $T/2$. За один период колебаний заряда конденсатор успевает дважды полностью зарядиться и дважды разрядиться, и столько же раз энергия перекачивается туда-обратно.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно и второй важный момент: кривые $W_C$ и $W_L$ пересекаются на уровне $W/2$. Это значит, что бывают моменты, когда энергия поделена поровну между конденсатором и катушкой. Первый такой момент наступает при $\omega t = \pi/4$, то есть через $t = T/8$ после полного заряда конденсатора. В эти моменты $W_C = W_L = W/2$, а заряд на конденсаторе равен $q = q_m/\sqrt{2}$.

Как решать задачи на энергию контура

Почти все задачи укладываются в короткий алгоритм. Сначала по данным находят полную энергию через то хранилище, для которого известна амплитуда: если дано напряжение на конденсаторе - берут $W = CU_m^2/2$, если ток в катушке - $W = LI_m^2/2$. Эта величина дальше работает как «бюджет», который распределяется между конденсатором и катушкой.

Если нужно найти энергию или ток в конкретный момент, пользуются тем, что сумма энергий постоянна. Например, зная мгновенный заряд $q$, сразу получают энергию конденсатора $W_C = q^2/(2C)$, а энергию катушки - как остаток $W_L = W - W_C$, откуда находят ток: $i = \sqrt{2W_L/L}$. Этот приём «полная минус известная» избавляет от возни с фазами и тригонометрией. Задачи на колебательный контур в цепи с источником и сопротивлением, где важны амплитуды и сдвиги фаз, ближе к теме про полное сопротивление RLC-цепи.

Когда требуется время, переходят к гармоническим законам $W_C(t) = W\cos^2(\omega t)$ и $W_L(t) = W\sin^2(\omega t)$ и решают простое тригонометрическое уравнение. Типичный вопрос «когда энергии сравняются» даёт $\cos^2(\omega t) = 1/2$, то есть $\omega t = \pi/4$ и $t = T/8$.

Частые ошибки

• Путать период колебаний и период обмена энергией. Энергия колеблется с периодом $T/2$, а не $T$: из-за квадрата в формулах её частота вдвое выше частоты заряда и тока.
• Складывать амплитуды энергий. Полная энергия равна не сумме максимумов $W_C$ и $W_L$, а одному из них: когда конденсатор полностью заряжен, ток в катушке равен нулю, и наоборот. Максимумы достигаются не одновременно.
• Брать энергию катушки как $LI_m^2/2$ в произвольный момент. Амплитудная формула $W = LI_m^2/2$ верна только для максимума тока. В промежуточный момент нужно $W_L = Li^2/2$ с мгновенным током $i$, либо остаток $W - W_C$.
• Забывать про множитель в $W_C = CU^2/2$. Энергия конденсатора пропорциональна квадрату напряжения, поэтому при половинном напряжении в нём остаётся лишь четверть энергии, а не половина.
• Считать, что в реальном контуре энергия сохраняется. Закон $W = \text{const}$ верен только для идеального контура без сопротивления; активное сопротивление переводит энергию в тепло.

FAQ

Почему энергия в контуре колеблется в два раза быстрее заряда? Потому что энергия зависит от квадрата заряда и квадрата тока. Квадрат косинуса раскладывается как $\cos^2(\omega t) = (1 + \cos 2\omega t)/2$, то есть содержит удвоенную частоту $2\omega$. За один период заряда конденсатор дважды заряжается и дважды разряжается, поэтому период колебаний энергии равен $T/2$.

Чему равна полная энергия колебательного контура? Полная энергия равна максимальной энергии любого из двух элементов: $W = \dfrac{q_m^2}{2C} = \dfrac{C U_m^2}{2} = \dfrac{L I_m^2}{2}$. Все три выражения дают одно и то же число, потому что амплитуды энергий конденсатора и катушки равны. В любой момент времени $W_C + W_L = W$.

Когда энергия конденсатора равна энергии катушки? Когда $\cos^2(\omega t) = 1/2$, то есть впервые через $t = T/8$ после полного заряда конденсатора, а затем через каждые $T/4$. В эти моменты $W_C = W_L = W/2$, а заряд равен $q_m/\sqrt{2}$ и ток равен $I_m/\sqrt{2}$.

Коротко

В идеальном колебательном контуре полная энергия $W = \dfrac{q_m^2}{2C} = \dfrac{C U_m^2}{2} = \dfrac{L I_m^2}{2}$ постоянна и непрерывно перетекает между электрическим полем конденсатора $W_C = W\cos^2(\omega t)$ и магнитным полем катушки $W_L = W\sin^2(\omega t)$. Их сумма всегда равна $W$, а сам обмен идёт на удвоенной частоте - с периодом $T/2$, где $T = 2\pi\sqrt{LC}$. Чтобы решать задачи, находят полную энергию по известной амплитуде, а мгновенные значения получают из закона сохранения «полная минус известная»; момент равенства энергий наступает при $t = T/8$, когда $W_C = W_L = W/2$.