Полное сопротивление RLC-цепи: формула и резонанс

Полное сопротивление последовательной RLC-цепи, или импеданс, показывает, насколько цепь с резистором, катушкой и конденсатором сопротивляется переменному току. В отличие от обычного сопротивления постоянному току, оно зависит от частоты: индуктивность и ёмкость по-разному реагируют на колебания, и их вклад меняется по мере того, как частота растёт или падает. Ниже разберём, из чего складывается импеданс, как вывести формулу полного сопротивления через активное и реактивные сопротивления, что происходит на резонансе и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу увидеть, как Z зависит от частоты и параметров элементов, покрутите калькулятор ниже: он считает импеданс, сдвиг фаз и резонансную частоту и строит график Z(f) вместе с треугольником сопротивлений.

Из чего складывается полное сопротивление

В последовательной RLC-цепи через все три элемента течёт один и тот же ток, но напряжения на них ведут себя по-разному. На резисторе напряжение совпадает по фазе с током, на катушке опережает его на четверть периода, а на конденсаторе отстаёт на ту же четверть. Из-за этого сопротивления нельзя просто сложить арифметически, как для постоянного тока. Каждый элемент описывается своим сопротивлением переменному току:

• активное сопротивление резистора $R$, оно не зависит от частоты;
• индуктивное сопротивление катушки $X_L = 2\pi f L = \omega L$, оно растёт с частотой;
• ёмкостное сопротивление конденсатора $X_C = \dfrac{1}{2\pi f C} = \dfrac{1}{\omega C}$, оно падает с частотой.

Величины $X_L$ и $X_C$ называют реактивными сопротивлениями: они не рассеивают энергию, а лишь запасают её в магнитном и электрическом полях. Активное сопротивление $R$, наоборот, отвечает за реальные потери. Именно разное поведение реактивных сопротивлений с частотой и делает импеданс величиной, зависящей от $f$.

Формула полного сопротивления RLC-цепи

Поскольку напряжения на катушке и конденсаторе противоположны по фазе, их реактивные сопротивления вычитаются, а с активным складываются по теореме Пифагора. Полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{R^2 + \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)^2}.$

Разность $X_L - X_C$ называют реактивностью цепи. Если она положительна, цепь ведёт себя как индуктивная, если отрицательна, как ёмкостная. Наглядно это удобно изображать треугольником сопротивлений: один катет равен активному сопротивлению $R$, второй катет равен реактивности $X_L - X_C$, а гипотенуза и есть полное сопротивление $Z$. Угол между гипотенузой и катетом $R$ задаёт сдвиг фаз между током и напряжением:

$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{X_L - X_C}{R}.$

Рассчитать для своей задачи

На рисунке видно, почему импеданс всегда не меньше активного сопротивления: гипотенуза прямоугольного треугольника не может быть короче катета. Чем сильнее различаются $X_L$ и $X_C$, тем длиннее вертикальный катет и тем больше полное сопротивление. Угол $\varphi$ показывает, опережает ток напряжение или отстаёт от него: при индуктивном характере цепи ток отстаёт, при ёмкостном опережает.

Как импеданс зависит от частоты

Поскольку $X_L$ растёт, а $X_C$ падает с ростом частоты, при некоторой частоте они сравниваются, и реактивность обнуляется. Тогда полное сопротивление становится минимальным и равным чистому активному сопротивлению $Z = R$. На графике зависимости Z(f) это выглядит как провал: с обеих сторон от особой точки импеданс растёт, а в ней достигает дна.

Рассчитать для своей задачи

Левая часть кривой соответствует ёмкостному режиму: на низких частотах $X_C$ велико, реактивность отрицательна, и ток опережает напряжение. Правая часть отвечает индуктивному режиму: на высоких частотах преобладает $X_L$, реактивность положительна, и ток отстаёт. Ровно в нижней точке провала наступает резонанс, и цепь ведёт себя как чисто активная. Эта зависимость от частоты роднит RLC-цепь с механической колебательной системой: формально она описывается тем же уравнением, что и затухающие колебания, только роль массы играет индуктивность, роль жёсткости пружины ёмкость, а роль трения активное сопротивление.

Резонансная частота

Условие резонанса $X_L = X_C$ позволяет найти частоту, при которой импеданс минимален. Приравняв реактивные сопротивления, получаем:

$2\pi f_0 L = \frac{1}{2\pi f_0 C} \quad\Longrightarrow\quad f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}.$

Эта величина называется резонансной частотой контура, а соответствующая ей круговая частота равна $\omega_0 = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}$. На резонансе полное сопротивление падает до $Z = R$, ток в последовательной цепи становится максимальным, а сдвиг фаз обращается в ноль: напряжение и ток колеблются синхронно. Именно поэтому последовательный RLC-контур называют последовательным резонансом, или резонансом напряжений, при котором напряжения на катушке и конденсаторе могут многократно превышать напряжение источника, хотя в сумме компенсируют друг друга.

Резонансная частота зависит только от индуктивности и ёмкости и не зависит от активного сопротивления. А вот острота резонанса, то есть насколько узким и глубоким получается провал на кривой Z(f), определяется величиной $R$: чем оно меньше, тем резче выражен резонанс и выше добротность контура.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: в последовательной RLC-цепи $R = 50$ Ом, $L = 100$ мГн $= 0{,}1$ Гн, $C = 20$ мкФ $= 20\cdot10^{-6}$ Ф, частота источника $f = 70$ Гц. Нужно найти полное сопротивление, реактивные сопротивления, сдвиг фаз и резонансную частоту.

Сначала находим реактивные сопротивления на заданной частоте:

$X_L = 2\pi f L = 2\pi \cdot 70 \cdot 0{,}1 \approx 44{,}0\ \text{Ом}, \qquad X_C = \frac{1}{2\pi f C} = \frac{1}{2\pi \cdot 70 \cdot 20\cdot10^{-6}} \approx 113{,}7\ \text{Ом}.$

Реактивность отрицательна, $X_L - X_C \approx -69{,}7$ Ом, значит, на этой частоте цепь работает в ёмкостном режиме. Теперь полное сопротивление:

$Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2} = \sqrt{50^2 + (-69{,}7)^2} \approx 85{,}8\ \text{Ом}.$

Сдвиг фаз получается отрицательным, то есть ток опережает напряжение:

$\varphi = \operatorname{arctg}\frac{-69{,}7}{50} \approx -54^\circ.$

Наконец, резонансная частота этого контура:

$f_0 = \frac{1}{2\pi\sqrt{LC}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{0{,}1 \cdot 20\cdot10^{-6}}} \approx 112{,}5\ \text{Гц}.$

Заданная частота 70 Гц ниже резонансной, что и подтверждает ёмкостный характер цепи. Если бы частота была выше 112,5 Гц, реактивность стала бы положительной, и цепь работала бы в индуктивном режиме. Калькулятор выше собирает ровно такую цепочку: подставьте свои R, L, C и частоту и сверьте промежуточные значения.

Частые ошибки

• Арифметическое сложение сопротивлений. Нельзя писать $Z = R + X_L + X_C$. Реактивные сопротивления складываются с активным по теореме Пифагора, а между собой вычитаются: $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$.
• Путаница в формулах $X_L$ и $X_C$. Индуктивное сопротивление растёт с частотой ($X_L = \omega L$), ёмкостное падает ($X_C = 1/\omega C$). Если перепутать, резонанс сместится и знак реактивности окажется неверным.
• Забытый перевод единиц. Индуктивность в формулах нужна в генри, ёмкость в фарадах. Миллигенри и микрофарады переводят заранее: $1\ \text{мГн} = 10^{-3}$ Гн, $1\ \text{мкФ} = 10^{-6}$ Ф.
• Подстановка обычной частоты вместо круговой. В $X_L$ и $X_C$ стоит круговая частота $\omega = 2\pi f$. Если подставить $f$ напрямую без множителя $2\pi$, реактивные сопротивления получатся в $2\pi$ раз неверными.
• Знак сдвига фаз. При ёмкостном режиме угол $\varphi$ отрицателен (ток опережает), при индуктивном положителен (ток отстаёт). Терять знак нельзя, иначе теряется физический смысл.

FAQ

Чему равно полное сопротивление RLC-цепи на резонансе? На резонансе $X_L = X_C$, реактивность обнуляется, и полное сопротивление становится минимальным и равным активному сопротивлению $Z = R$. Ток в последовательной цепи при этом максимален, а сдвиг фаз равен нулю.

Как найти реактивное сопротивление цепи? Реактивное сопротивление последовательной цепи равно разности $X_L - X_C$, где $X_L = 2\pi f L$, а $X_C = 1/(2\pi f C)$. Если разность положительна, цепь индуктивная, если отрицательна, ёмкостная.

Зависит ли импеданс от частоты? Да. Активное сопротивление $R$ от частоты не зависит, но реактивные сопротивления зависят: $X_L$ растёт, $X_C$ падает. Поэтому полное сопротивление $Z$ меняется с частотой и достигает минимума на резонансной частоте $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$.

Коротко

Полное сопротивление последовательной RLC-цепи равно $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$, где $R$ активное сопротивление, $X_L = 2\pi f L$ и $X_C = 1/(2\pi f C)$ реактивные. Реактивности вычитаются, а с активным складываются по теореме Пифагора, что наглядно даёт треугольник сопротивлений с углом сдвига фаз $\varphi = \operatorname{arctg}\frac{X_L - X_C}{R}$. Импеданс зависит от частоты и минимален на резонансе $f_0 = 1/(2\pi\sqrt{LC})$, где $X_L = X_C$ и $Z = R$. При расчётах главное переводить единицы в СИ и не забывать множитель $2\pi$ в реактивных сопротивлениях.