Заряд в однородном электрическом поле: траектория и формулы

Движение заряженной частицы в однородном электрическом поле - одна из базовых задач электростатики и одновременно прямой аналог броска тела в поле тяжести. На частицу с зарядом $q$ действует постоянная сила $F = qE$, а постоянная сила даёт постоянное ускорение, поэтому частица движется по параболе ровно так же, как камень, брошенный горизонтально. Разберём, откуда берётся формула ускорения, как частица смещается между пластинами конденсатора, как найти угол вылета и работу поля, и где студенты чаще всего теряют баллы. Чтобы сразу почувствовать связь поля, скорости и смещения, покрутите калькулятор ниже: он строит параболу траектории и показывает, успеет ли частица проскочить между пластинами или упрётся в одну из них.

Сила и ускорение частицы в поле

Однородное электрическое поле - это поле, у которого вектор напряжённости $\vec E$ одинаков во всех точках по величине и направлению. Самый частый его источник в задачах - плоский конденсатор: между двумя параллельными пластинами поле почти идеально однородно. На внесённый заряд $q$ поле действует с силой

$\vec F = q\vec E.$

Для положительного заряда сила направлена вдоль поля, для отрицательного (например электрона) - против него. По второму закону Ньютона $\vec F = m\vec a$, поэтому ускорение частицы

$a = \frac{F}{m} = \frac{qE}{m}.$

Это и есть ключевая формула: ускорение пропорционально напряжённости поля и заряду и обратно пропорционально массе. У электрона при поле в несколько тысяч вольт на метр ускорение достигает $10^{14}$ м/с² - на четырнадцать порядков больше, чем $g$. Именно поэтому гравитацией в таких задачах пренебрегают: электрическая сила несравнимо сильнее.

Рассчитать для своей задачи

Траектория как сумма двух движений

Удобнее всего рассматривать случай, когда частица влетает в поле со скоростью $v_0$, направленной перпендикулярно полю (вдоль пластин). Тогда движение распадается на два независимых:

• Вдоль пластин (ось x) силы нет, поэтому движение равномерное: $x(t) = v_0 t$.
• Вдоль поля (ось y) действует постоянная сила, поэтому движение равноускоренное без начальной скорости: $y(t) = \dfrac{a t^2}{2}$.

Это полная копия горизонтального броска, где роль ускорения свободного падения играет $a = qE/m$. Исключив время $t = x/v_0$, получаем уравнение траектории:

$y = \frac{a}{2 v_0^2}\, x^2 = \frac{qE}{2 m v_0^2}\, x^2.$

Это парабола, ветвь которой загибается в сторону действия силы. Чем сильнее поле и чем медленнее частица, тем круче загиб. Калькулятор выше строит именно эту параболу и подсвечивает красным, если её ветвь дотягивается до пластины - то есть частица не вылетит, а осядет на электроде.

Смещение, скорость и угол вылета

Пусть длина пластин (область поля вдоль движения) равна $L$. Время пролёта частицы сквозь поле находится из равномерного движения по x:

$t = \frac{L}{v_0}.$

Подставив его в закон движения по y, получаем смещение частицы поперёк поля на выходе из конденсатора:

$y_L = \frac{a t^2}{2} = \frac{qE L^2}{2 m v_0^2}.$

К моменту вылета у частицы появляется поперечная составляющая скорости:

$v_y = a t = \frac{qE L}{m v_0}.$

Скорость вдоль пластин $v_0$ при этом не меняется (по оси x сила не действует), поэтому полная скорость на выходе равна $v = \sqrt{v_0^2 + v_y^2}$, а угол вылета к первоначальному направлению задаётся отношением составляющих:

$\tan\theta = \frac{v_y}{v_0} = \frac{qE L}{m v_0^2}.$

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание: смещение растёт как квадрат длины пластин и обратно пропорционально квадрату скорости входа, а угол - линейно по $L$ и обратно по квадрату скорости. Поэтому небольшое увеличение начальной скорости резко уменьшает и смещение, и угол: быстрая частица проскакивает поле, едва успев отклониться.

Работа поля и энергия

Электрическое поле, разгоняя частицу поперёк, совершает над ней работу. Для однородного поля работа равна произведению силы на перемещение вдоль силы:

$W = F\, y_L = qE\, y_L.$

По теореме о кинетической энергии эта работа равна приросту кинетической энергии частицы. Поскольку движение вдоль пластин не меняется, весь прирост приходится на поперечную составляющую:

$W = \Delta E_к = \frac{m v_y^2}{2}.$

Эти два выражения дают один и тот же результат - это удобная самопроверка в задачах. В калькуляторе выше нижний график показывает обе величины бок о бок: полоска работы поля и полоска прироста кинетической энергии равны по длине, тогда как энергия движения вдоль пластин остаётся неизменной. Если же частица влетает вдоль линий поля (а не поперёк), то всё движение одномерное и равноускоренное, а работа поля удобно выражается через разность потенциалов: $W = qU$, где $U$ - пройденная разность потенциалов.

Чем поле отличается от магнитного

Частая путаница - смешивать движение в электрическом и в магнитном поле. В однородном электрическом поле сила $qE$ постоянна по направлению, поэтому траектория - парабола, а скорость по модулю растёт (поле совершает работу). В однородном магнитном поле сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости, работы не совершает, модуль скорости постоянен, а траектория - окружность или винтовая линия. Если в задаче сказано «частица движется по окружности» - речь о магнитном поле; «по параболе» или «отклоняется к пластине» - об электрическом. Электрическое поле меняет энергию частицы, магнитное - только направление.

Частые ошибки

• Забывают про знак заряда. Электрон отклоняется в сторону, противоположную $\vec E$, положительный ион - вдоль $\vec E$. Само смещение по модулю одинаково, но направление загиба зависит от знака.
• Учитывают силу тяжести. Для электрона $qE/m \sim 10^{14}$ м/с², а $g \approx 10$ м/с². Гравитация меньше на десяток порядков, и её включение в баланс сил - лишнее усложнение.
• Путают $L$ и полную траекторию. В формулу смещения подставляют именно длину области поля $L$ (длину пластин), а не наклонный путь частицы.
• Берут не ту скорость в энергии. Прирост кинетической энергии связан только с поперечной скоростью $v_y$, ведь $v_0$ не меняется. Брать в $\Delta E_к$ полную скорость на выходе как начальную ноль - ошибка.
• Не проверяют, влезает ли частица. Если расчётное смещение $y_L$ больше полузазора между пластинами, частица оседает на электроде и из конденсатора не выходит - ответ про угол вылета теряет смысл.

FAQ

По какой траектории движется заряд в однородном электрическом поле? Если начальная скорость направлена под углом к полю (в частности, перпендикулярно), траектория - парабола, как при горизонтальном броске: вдоль поля частица движется равноускоренно, поперёк - равномерно. Если начальная скорость параллельна полю или равна нулю, движение прямолинейное равноускоренное.

Как найти ускорение заряженной частицы в электрическом поле? По формуле $a = qE/m$: умножаем заряд частицы на напряжённость поля и делим на массу. Если задано напряжение $U$ на конденсаторе с зазором $d$, то напряжённость $E = U/d$, и ускорение $a = qU/(md)$.

Чему равна работа электрического поля над частицей? Работа равна $W = qE\,y$ для перемещения $y$ вдоль силы или, что то же самое, $W = qU$ через пройденную разность потенциалов. По теореме о кинетической энергии эта работа равна приросту кинетической энергии частицы.

Коротко

Заряженная частица в однородном электрическом поле движется с постоянным ускорением $a = qE/m$. При входе поперёк поля траектория - парабола $y = \dfrac{qE}{2mv_0^2}x^2$; смещение на выходе $y_L = \dfrac{qEL^2}{2mv_0^2}$, поперечная скорость $v_y = \dfrac{qEL}{mv_0}$, угол вылета $\tan\theta = v_y/v_0$. Работа поля $W = qE\,y_L$ в точности равна приросту кинетической энергии. Электрическое поле, в отличие от магнитного, меняет энергию частицы и гнёт траекторию в параболу, а не в окружность.