Преобразование электрического и магнитного поля в СТО

Деление электромагнитного поля на электрическое и магнитное оказывается относительным: то, что в одной системе отсчёта выглядит чисто электрическим полем, в движущейся системе обретает ещё и магнитную компоненту. Преобразование электрического и магнитного поля связывает значения $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в разных инерциальных системах и показывает, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ - две стороны единого электромагнитного поля. Покрутите калькулятор ниже: задайте поля в покоящейся системе и скорость наблюдателя и посмотрите, как поля перемешиваются, а инвариант остаётся прежним.

Что значит, что поля относительны

В классической электродинамике мы привыкли считать электрическое и магнитное поля разными сущностями: одно действует на покоящийся заряд, другое - только на движущийся. Специальная теория относительности показывает, что это разделение зависит от системы отсчёта. Перейдём из одной инерциальной системы $K$ в другую $K'$, движущуюся равномерно, - и численные значения $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ изменятся, причём электрическое поле частично «перельётся» в магнитное и наоборот.

Самый наглядный случай - покоящийся точечный заряд. В его системе отсчёта есть только радиальное электрическое поле, а магнитного нет вовсе. Но в системе, где этот же заряд движется, появляется и магнитное поле: ведь движущийся заряд - это ток, а ток создаёт магнитное поле. Никакого нового физического механизма при этом не возникает: магнитное поле движущегося заряда - прямое следствие преобразования полей при смене наблюдателя.

Формулы преобразования полей

Пусть система $K'$ движется относительно $K$ со скоростью $\mathbf{v}$ вдоль оси $x$. Введём привычные обозначения $\beta = v/c$ и лоренц-фактор $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$. Поля удобно разложить на продольные компоненты (вдоль скорости) и поперечные (перпендикулярно ей). Тогда преобразование электрического и магнитного поля выглядит так:

$E'_\parallel = E_\parallel, \qquad B'_\parallel = B_\parallel,$

$\mathbf{E}'_\perp = \gamma\left(\mathbf{E}_\perp + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right)_\perp, \qquad \mathbf{B}'_\perp = \gamma\left(\mathbf{B}_\perp - \frac{1}{c^2}\,\mathbf{v}\times\mathbf{E}\right)_\perp.$

Продольные компоненты не меняются вовсе. А вот поперечные перемешиваются: новое электрическое поле зависит и от старого магнитного (через слагаемое $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$), а новое магнитное - от старого электрического. Именно это «перетекание» и означает, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ - компоненты одного объекта.

Рассчитать для своей задачи

Удобно записать формулы в симметричной форме, измеряя магнитное поле в тех же единицах, что и электрическое, то есть рассматривая величину $cB$. Тогда для поперечных компонент

$E'_\perp = \gamma\left(E_\perp - \beta\, cB_\perp\right), \qquad cB'_\perp = \gamma\left(cB_\perp - \beta\, E_\perp\right).$

В этом виде преобразование напоминает «поворот» в плоскости $(E, cB)$ - только гиперболический, как и положено лоренц-преобразованию. Те же формулы заложены в калькулятор выше: подставьте $cB_\perp = 0$ и любую скорость, и вы получите $E'_\perp = \gamma E_\perp$ и $cB'_\perp = -\gamma\beta E_\perp$ - то самое появившееся магнитное поле движущегося заряда.

Инварианты электромагнитного поля

Хотя сами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ зависят от системы отсчёта, из них можно собрать комбинации, одинаковые во всех инерциальных системах. Таких независимых инвариантов два:

$E^2 - c^2 B^2 = \text{inv}, \qquad \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = \text{inv}.$

Первый инвариант - разность квадратов полей, второй - их скалярное произведение. Проверить инвариантность первого несложно прямой подстановкой: в нормировке $cB$ имеем $E'^2 - (cB')^2 = \gamma^2\big[(E-\beta\, cB)^2 - (cB-\beta E)^2\big] = \gamma^2(1-\beta^2)(E^2 - (cB)^2) = E^2 - (cB)^2$, поскольку $\gamma^2(1-\beta^2)=1$.

Рассчитать для своей задачи

На графике видно главное: обе кривые $E'_\perp$ и $cB'_\perp$ растут с увеличением скорости, но пунктирная линия инварианта $E^2-(cB)^2$ держится строго постоянной. Это и есть «ага»-момент темы: поля меняются по отдельности, но их инвариантная комбинация - нет. Инварианты позволяют сразу ответить на качественные вопросы. Если $E > cB$ хоть в одной системе, то ни в какой системе нельзя обратить электрическое поле в ноль - поле «преимущественно электрическое». Если же $E < cB$, найдётся система, где останется только магнитное поле. А если $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}\ne 0$, то ни в одной системе одно из полей не исчезнет.

Магнитное поле движущегося заряда как следствие

Вернёмся к канонической задаче. В системе покоя заряда $q$ есть только электрическое поле $\mathbf{E}$, направленное радиально, и $\mathbf{B}=0$. Перейдём в систему, где заряд летит со скоростью $\mathbf{v}$. Подставляя $\mathbf{B}=0$ в формулу для $\mathbf{B}'_\perp$, получаем

$\mathbf{B}'_\perp = -\frac{\gamma}{c^2}\,(\mathbf{v}\times\mathbf{E})_\perp.$

Векторное произведение $\mathbf{v}\times\mathbf{E}$ закручивает поле вокруг направления движения - отсюда и кольцевая структура магнитного поля движущегося заряда. При малых скоростях $\gamma\approx 1$, и формула переходит в знакомый закон Био - Савара для точечного заряда $\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{q\,\mathbf{v}\times\mathbf{r}}{r^3}$. Таким образом, магнетизм оказывается релятивистским эффектом, скрытым внутри электростатики: достаточно посмотреть на электрическое поле из движущейся системы. Эта же логика лежит в основе того, как переносится энергия полем, - она количественно описывается вектором Пойнтинга.

Что меняется, а что нет

Полезно держать в голове короткую сводку. Продольные компоненты $E_\parallel$ и $B_\parallel$ при движении вдоль оси не меняются. Поперечные растут в $\gamma$ раз и смешиваются друг с другом через $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ и $\mathbf{v}\times\mathbf{E}$. Скорость самого света $c$ одинакова во всех системах, поэтому в инварианте $E^2-c^2B^2$ множитель $c$ можно безопасно использовать как переводной коэффициент между единицами полей.

Заряд частицы $q$ - тоже инвариант: он не зависит от системы отсчёта, в отличие от плотности заряда и тока, которые преобразуются вместе как 4-вектор. Понимание того, какие величины инвариантны, а какие зависят от наблюдателя, экономит массу времени в задачах. Похожая структура полей возникает и в стоячей электромагнитной волне, где узлы $\mathbf{E}$ совпадают с пучностями $\mathbf{B}$.

Как решать задачи на преобразование полей

Алгоритм почти всегда один. Сначала выбирают удобную систему отсчёта - обычно ту, где поле проще (например, систему покоя заряда, где $\mathbf{B}=0$). Затем раскладывают поля на продольную и поперечную части относительно скорости $\mathbf{v}$. Дальше применяют формулы: продольные компоненты переносят без изменений, поперечные умножают на $\gamma$ и добавляют смешивающие слагаемые $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ и $-\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2$.

Если в задаче спрашивают, можно ли обратить одно из полей в ноль или сделать поля параллельными, считают инварианты $E^2-c^2B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ - они сразу дают ответ, не требуя перебора систем. Глубже эта идея единого поля выражается через тензор энергии-импульса электромагнитного поля, где $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ собраны в один четырёхмерный объект.

Частые ошибки

• Менять продольные компоненты. Компоненты полей вдоль скорости $E_\parallel$, $B_\parallel$ остаются прежними. Множитель $\gamma$ действует только на поперечные части.
• Забывать множитель $1/c^2$ в формуле для $\mathbf{B}'$. В слагаемом $\mathbf{v}\times\mathbf{E}$ обязательно стоит $1/c^2$, иначе размерности не сойдутся, а ответ будет завышен в $c^2$ раз.
• Путать знаки в векторных произведениях. Знак в $\mathbf{v}\times\mathbf{B}$ положительный, а в $-\mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2$ - отрицательный. Перепутав их, легко получить поле, нарушающее инвариант.
• Считать магнитное поле «новой силой». Магнитное поле движущегося заряда - не отдельное явление, а проекция того же электромагнитного поля на другую систему отсчёта.
• Игнорировать инварианты. Многие задачи решаются в одну строку через $E^2-c^2B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$, без громоздкого пересчёта компонент.

FAQ

Почему у движущегося заряда появляется магнитное поле? Потому что электрическое и магнитное поля относительны. В системе покоя заряд создаёт только электрическое поле. При переходе в систему, где заряд движется, формула преобразования $\mathbf{B}'_\perp = -\gamma(\mathbf{v}\times\mathbf{E})/c^2$ даёт ненулевое кольцевое магнитное поле. Никакого нового источника не требуется - это то же поле, увиденное другим наблюдателем.

Какие величины электромагнитного поля одинаковы во всех системах отсчёта? Два инварианта: разность $E^2 - c^2 B^2$ и скалярное произведение $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$. Сами $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ зависят от системы, а эти комбинации - нет. Они позволяют, например, узнать, можно ли в какой-то системе обнулить одно из полей.

Чем продольное преобразование полей отличается от поперечного? Продольные компоненты (вдоль скорости) не меняются: $E'_\parallel = E_\parallel$, $B'_\parallel = B_\parallel$. Поперечные умножаются на лоренц-фактор $\gamma$ и смешиваются с другим полем через векторные произведения со скоростью. Поэтому эффект преобразования виден именно в поперечных компонентах.

Коротко

Преобразование электрического и магнитного поля показывает, что деление на $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ зависит от системы отсчёта. Продольные компоненты сохраняются, поперечные растут в $\gamma$ раз и перемешиваются: $\mathbf{E}'_\perp = \gamma(\mathbf{E}_\perp + \mathbf{v}\times\mathbf{B})_\perp$ и $\mathbf{B}'_\perp = \gamma(\mathbf{B}_\perp - \mathbf{v}\times\mathbf{E}/c^2)_\perp$. Инварианты $E^2-c^2B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ одинаковы во всех системах. Канонический результат - магнитное поле движущегося заряда возникает из чисто электрического поля при смене наблюдателя, что делает $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ проявлениями единого электромагнитного поля.