Тензор энергии-импульса электромагнитного поля

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля - это объект, который собирает в одну ковариантную таблицу всё, что поле «несёт» в механическом смысле: плотность энергии, поток энергии, плотность импульса и поток импульса. В нерелятивистской электродинамике эти величины выглядят как разрозненные формулы - плотность $w$, вектор Пойнтинга $\mathbf{S}$, максвелловские натяжения. Тензор $T^{\mu\nu}$ показывает, что все они - компоненты одной геометрической сущности, а законы сохранения энергии и импульса - следствие одного уравнения $\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0$. Ниже разберём, как он строится из тензора поля, что означают его компоненты и почему его след равен нулю.

Тензор электромагнитного поля как исходный объект

Всё начинается с антисимметричного тензора электромагнитного поля $F^{\mu\nu} = \partial^\mu A^\nu - \partial^\nu A^\mu$, где $A^\mu = (\varphi/c, \mathbf{A})$ - 4-потенциал. Его компоненты - это привычные поля: $F^{0i} = E^i/c$ и $F^{ij} = -\varepsilon^{ijk} B_k$. Тензор энергии-импульса строится именно из $F^{\mu\nu}$ как квадратичная по полю комбинация.

Канонический способ - варьировать действие свободного поля $S = -\tfrac{1}{4\mu_0}\int F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\, d^4x$ по метрике (тензор Гильберта) либо по координатам (канонический тензор Нётер). Канонический тензор для электромагнитного поля получается несимметричным и неинвариантным относительно калибровки, поэтому его симметризуют процедурой Белинфанте-Розенфельда. Результат - симметричный калибровочно-инвариантный тензор, который и называют тензором энергии-импульса электромагнитного поля.

Явный вид тензора

Симметричный тензор энергии-импульса электромагнитного поля записывается через $F^{\mu\nu}$ так:

$T^{\mu\nu} = \frac{1}{\mu_0}\left( F^{\mu\alpha} F^{\nu}{}_{\alpha} - \frac{1}{4}\, \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta} F^{\alpha\beta} \right).$

Здесь $\eta^{\mu\nu} = \mathrm{diag}(+,-,-,-)$ - метрика Минковского, а $F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta} = 2(B^2 - E^2/c^2)$ - первый инвариант поля. Первый член «склеивает» поле само с собой по одному индексу, второй вычитает след так, чтобы тензор стал бесследовым (см. ниже). Структура «произведение минус четверть следа» типична для тензоров энергии-импульса безмассовых полей.

Тензор симметричен: $T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}$. Это не случайность - симметрия необходима, чтобы момент импульса поля сохранялся, и чтобы тензор мог служить источником в правой части уравнений Эйнштейна. Несимметричный канонический тензор для этого непригоден.

Плотность энергии: компонента T⁰⁰

Временная-временная компонента $T^{00}$ - это плотность энергии электромагнитного поля:

$T^{00} = w = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} + \frac{B^2}{2\mu_0}.$

Первое слагаемое - энергия электрического поля, второе - магнитного. Это та самая величина, которую в школьной электродинамике вводят отдельно для конденсатора ($\varepsilon_0 E^2/2$) и катушки ($B^2/2\mu_0$). В тензорном языке она оказывается всего лишь одной из шестнадцати компонент. Размерность $T^{00}$ - Дж/м³, как и положено плотности энергии.

Вектор Пойнтинга: компоненты T⁰ⁱ

Смешанные компоненты $T^{0i}$ описывают поток энергии - и одновременно плотность импульса поля:

$c\, T^{0i} = S^i, \qquad \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0}\, \mathbf{E} \times \mathbf{B}.$

Вектор $\mathbf{S}$ - это вектор Пойнтинга, поток энергии через единичную площадку в единицу времени (Вт/м²). Та же компонента, делённая на $c^2$, даёт плотность импульса поля $\mathbf{g} = \mathbf{S}/c^2$. Единство этих двух интерпретаций - прямое следствие релятивистской связи энергии и импульса: то, что в одной системе отсчёта поток энергии, в другой содержит импульс. Симметрия $T^{0i} = T^{i0}$ как раз и кодирует равенство «поток энергии $= c^2 \times$ плотность импульса».

Тензор натяжений Максвелла: компоненты Tⁱʲ

Чисто пространственный блок $T^{ij}$ (с точностью до знака) - это тензор напряжений Максвелла, описывающий поток импульса:

$\sigma_{ij} = \varepsilon_0\left(E_i E_j - \tfrac{1}{2}\delta_{ij} E^2\right) + \frac{1}{\mu_0}\left(B_i B_j - \tfrac{1}{2}\delta_{ij} B^2\right).$

Диагональные элементы дают давление и натяжение вдоль силовых линий, недиагональные - сдвиговые напряжения. Физический смысл: вдоль силовых линий поле «натянуто» (тянет), поперёк - «распирает» (давит). Именно через интеграл $\oint \sigma_{ij}\, dA_j$ по замкнутой поверхности вычисляют силу, действующую на заряды и токи внутри неё, не зная деталей распределения внутри - только поле на границе.

Бесследовость и её физический смысл

Свёртка тензора по обоим индексам - его след - равна нулю:

$T^\mu{}_\mu = \eta_{\mu\nu} T^{\mu\nu} = 0.$

Это легко проверить: при свёртке $\eta_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu} = 4$, и член $-\tfrac{1}{4}\cdot 4 \cdot F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta}$ точно сокращает $F^{\mu\alpha}F^\mu{}_\alpha$, свёрнутый по $\mu$. Бесследовость - глубокое свойство: она отражает безмассовость фотона и масштабную (конформную) инвариантность свободного электромагнитного поля. У массивных полей след не нулевой, и именно он связан с массой. Для электромагнитного поля $T^\mu{}_\mu = 0$ означает, в частности, что давление электромагнитного излучения равно трети плотности энергии: $p = w/3$ - отсюда уравнение состояния фотонного газа в космологии.

Закон сохранения и сила Лоренца

В отсутствие зарядов 4-дивергенция тензора равна нулю - это закон сохранения энергии-импульса свободного поля:

$\partial_\mu T^{\mu\nu} = 0.$

Временная компонента ($\nu = 0$) этого уравнения - теорема Пойнтинга $\partial w/\partial t + \nabla\cdot\mathbf{S} = 0$, пространственные ($\nu = i$) - сохранение импульса поля. Когда есть заряды и токи, поле обменивается с ними энергией-импульсом, и дивергенция становится ненулевой:

$\partial_\mu T^{\mu\nu} = -F^{\nu}{}_\lambda\, j^\lambda / c,$

где $j^\lambda = (c\rho, \mathbf{j})$ - 4-ток. Правая часть - это плотность 4-силы Лоренца. Так замыкается баланс: поле теряет ровно столько энергии-импульса, сколько получают заряды, и наоборот. Связь поля с зарядами через $F^{\mu\nu}$ и $j^\lambda$ опирается на уравнения Максвелла в среде, которые задают, как поля порождаются источниками.

Сводная структура тензора

Все шестнадцать компонент удобно представить как матрицу $4\times 4$:

$T^{\mu\nu} = \begin{pmatrix} w & S_x/c & S_y/c & S_z/c \\ S_x/c & -\sigma_{xx} & -\sigma_{xy} & -\sigma_{xz} \\ S_y/c & -\sigma_{yx} & -\sigma_{yy} & -\sigma_{yz} \\ S_z/c & -\sigma_{zx} & -\sigma_{zy} & -\sigma_{zz} \end{pmatrix}.$

Верхний левый угол - энергия, первая строка и столбец - поток энергии и импульса, внутренний блок $3\times 3$ - тензор натяжений. Эта картина наглядно показывает, почему все «механические» свойства поля - одно целое.

Частые ошибки

• Путают плотность импульса $\mathbf{g} = \mathbf{S}/c^2$ и поток энергии $\mathbf{S}$: это одна компонента $T^{0i}$, но в разных единицах - делить нужно либо на $c$, либо на $c^2$.
• Берут канонический (нётеровский) тензор и удивляются, что он несимметричен и калибровочно-зависим; для физики нужен симметризованный тензор Белинфанте.
• Забывают знак минус перед $\sigma_{ij}$ в пространственном блоке - он возникает из метрики Минковского при опускании индексов.
• Считают, что след $T^\mu{}_\mu$ можно сделать ненулевым выбором калибровки; бесследовость - инвариантное свойство, она не зависит ни от калибровки, ни от системы отсчёта.
• Применяют формулу $T^{00} = \varepsilon_0 E^2/2 + B^2/2\mu_0$ внутри среды без поправок: в диэлектрике/магнетике появляется неоднозначность Абрагама-Минковского, и выражение меняется.

FAQ

Почему тензор энергии-импульса должен быть симметричным? Симметрия $T^{\mu\nu} = T^{\nu\mu}$ гарантирует сохранение полного момента импульса (включая спин поля) и позволяет тензору служить источником гравитации в уравнениях Эйнштейна, где правая часть симметрична по построению. Несимметричный канонический тензор для этого непригоден и требует симметризации.

Что физически означает бесследовость $T^\mu{}_\mu = 0$? Она отражает безмассовость фотона и конформную инвариантность свободного электромагнитного поля. Практическое следствие - уравнение состояния излучения $p = w/3$: давление электромагнитного «газа» равно трети его плотности энергии.

Как связан тензор с вектором Пойнтинга и плотностью энергии? Компонента $T^{00}$ - это плотность энергии $w$, компоненты $T^{0i}$ пропорциональны вектору Пойнтинга ($S^i = c\,T^{0i}$) и плотности импульса, а блок $T^{ij}$ - тензор натяжений Максвелла. Все привычные «энергетические» величины электродинамики - части одного объекта.

Коротко

Тензор энергии-импульса электромагнитного поля $T^{\mu\nu} = \tfrac{1}{\mu_0}(F^{\mu\alpha}F^\nu{}_\alpha - \tfrac14 \eta^{\mu\nu} F_{\alpha\beta}F^{\alpha\beta})$ - симметричный бесследовый объект, собирающий плотность энергии ($T^{00}=w$), вектор Пойнтинга ($T^{0i}\propto S^i$) и тензор натяжений Максвелла ($T^{ij}$) в одну ковариантную таблицу. Его 4-дивергенция даёт закон сохранения энергии-импульса: $\partial_\mu T^{\mu\nu}=0$ для свободного поля и плотность силы Лоренца при наличии зарядов. Бесследовость кодирует безмассовость фотона и приводит к уравнению состояния излучения $p = w/3$.