Тензор кривизны Римана: формулы, симметрии и роль в ОТО

Тензор кривизны Римана - главный объект римановой геометрии и геометрической стороны общей теории относительности. Он отвечает на простой вопрос: «отличается ли это пространство от плоского и насколько?» Все остальные кривизны (Риччи, скалярная, секционная) получаются из него свёртками. Ниже разберём, откуда он берётся, как считается через символы Кристоффеля, какие у него симметрии и зачем он нужен в уравнениях Эйнштейна.

Мотивация: как измерить неевклидовость пространства

В плоском пространстве параллельный перенос вектора по замкнутому контуру возвращает его в исходное состояние. На сфере - нет: пронесите вектор по треугольнику с тремя прямыми углами, и он повернётся на 90°. Этот «дефект поворота» и есть локальное проявление кривизны. Тензор кривизны Римана формализует его как линейный отклик: насколько вектор изменился при бесконечно малом параллельном переносе вокруг площадки, образованной двумя направлениями.

Именно поэтому риманова геометрия удобна для теории относительности: гравитация в ней - не сила, а свойство искривлённого пространства-времени, и тензор Римана даёт количественную меру этой искривлённости в каждой точке.

Определение через коммутатор ковариантных производных

Самое инвариантное определение тензора Римана - через коммутатор ковариантных производных, действующий на векторное поле:

$[\nabla_c, \nabla_d]\, V^a = R^a_{bcd}\, V^b.$

Здесь $\nabla_c$ - ковариантная производная по координате $x^c$. В плоском пространстве частные производные коммутируют, и коммутатор обнуляется. В искривлённом - нет, и мера некоммутативности - это в точности $R^a_{bcd}$. Индексы читаются так: верхний $a$ - куда «откатывается» вектор $V^b$ после переноса; нижние $c, d$ - направления, по которым обходим бесконечно малый контур.

Аналогичное выражение есть и для ковекторов: $[\nabla_c, \nabla_d]\, \omega_b = -R^a_{bcd}\, \omega_a$. Это удобно проверять формулами при ручном счёте.

Формула через символы Кристоффеля

На практике тензор Римана редко считают «через коммутатор» - гораздо проще выразить его через символы Кристоффеля $\Gamma^a_{bc}$, связности, согласованной с метрикой $g_{ab}$:

$R^a_{bcd} = \partial_c \Gamma^a_{bd} - \partial_d \Gamma^a_{bc} + \Gamma^a_{ce}\Gamma^e_{bd} - \Gamma^a_{de}\Gamma^e_{bc}.$

Алгоритм счёта вручную:

1. Записать метрику $g_{ab}$ и найти обратную $g^{ab}$.
2. Посчитать символы Кристоффеля $\Gamma^a_{bc} = \tfrac{1}{2} g^{ad}(\partial_b g_{dc} + \partial_c g_{db} - \partial_d g_{bc})$.
3. Подставить в формулу выше, аккуратно выписывая каждую компоненту.
4. Использовать симметрии (см. ниже), чтобы не считать дубли.

В двумерных задачах независимых компонент всего одна; в четырёхмерных (как в ОТО) - двадцать. Это уже много, но симметрии и тождества Бианки сильно сокращают работу.

Симметрии тензора Римана

Если опустить верхний индекс - $R_{abcd} = g_{ae} R^e_{bcd}$ - у полностью ковариантного тензора появляются три алгебраические симметрии:

$R_{abcd} = -R_{bacd}, \qquad R_{abcd} = -R_{abdc}, \qquad R_{abcd} = R_{cdab}.$

Первые две - антисимметрия по первой и по второй паре. Третья - симметрия при перестановке пар. Из них следует, что количество независимых компонент в $n$-мерном пространстве равно $n^2(n^2-1)/12$: в двух измерениях - 1, в трёх - 6, в четырёх - 20.

К ним добавляется первое (алгебраическое) тождество Бианки:

$R_{a[bcd]} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad R_{abcd} + R_{acdb} + R_{adbc} = 0.$

Здесь квадратные скобки - полная антисимметризация по индексам внутри. Это тождество и связывает 20 независимых компонент в 4D - без него их было бы больше.

Второе тождество Бианки и его следствия

Дифференциальное (второе) тождество Бианки касается ковариантной производной тензора Римана:

$\nabla_{[e} R_{ab]cd} = 0 \quad \Leftrightarrow \quad \nabla_e R_{abcd} + \nabla_a R_{becd} + \nabla_b R_{eacd} = 0.$

Из него после двойной свёртки получается дивергентное тождество для тензора Эйнштейна $G_{ab} = R_{ab} - \tfrac{1}{2} g_{ab} R$: $\nabla^a G_{ab} = 0$. Именно поэтому правая часть уравнений Эйнштейна - тензор энергии-импульса $T_{ab}$ - обязана быть бездивергентной. Закон сохранения энергии-импульса в ОТО - прямое следствие второго тождества Бианки.

Тензор Риччи и скалярная кривизна

Свёртка тензора Римана по первому и третьему индексам даёт тензор Риччи:

$R_{bd} = R^a_{bad}.$

В силу симметрий $R_{bd}$ симметричен: $R_{bd} = R_{db}$. Дальнейшая свёртка с обратной метрикой даёт скалярную кривизну (она же скаляр Риччи):

$R = g^{bd} R_{bd} = g^{bd} R^a_{bad}.$

Скаляр $R$ - инвариант: один и тот же в любой системе координат. На сфере радиуса $R_0$ он равен $2/R_0^2$, на гиперболической плоскости постоянной кривизны $k<0$ - $2k$, на плоскости - нулю. Связь интегральной кривизны с топологией двумерной поверхности даёт теорема Гаусса-Бонне. По одному значению $R$ восстановить полный $R^a_{bcd}$ в общем случае нельзя - он несёт меньше информации, - но в двумерии полный тензор кривизны выражается через $R$ полностью.

Классические примеры

Плоское пространство. Декартовы координаты дают $g_{ab} = \mathrm{diag}(1,1,\dots)$, все производные нулевые, $\Gamma^a_{bc} = 0$, и $R^a_{bcd} \equiv 0$. Обнуление тензора Римана в одной системе координат означает обнуление в любой - это инвариантный признак плоскости.

Сфера $S^2$ радиуса $R_0$. Метрика $ds^2 = R_0^2(d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2)$. Единственная независимая компонента $R_{\theta\varphi\theta\varphi} = R_0^2 \sin^2\theta$, скалярная кривизна $R = 2/R_0^2$. Кривизна постоянна и положительна - пространство всюду «выпукло».

Гиперболическая плоскость $H^2$. Метрика в модели Пуанкаре $ds^2 = (dx^2 + dy^2)/y^2$. Скалярная кривизна $R = -2$. Постоянная отрицательная кривизна - параллельные расходятся.

Метрика Шварцшильда. Описывает поле вокруг сферически-симметричной массы. Все компоненты тензора Риччи в вакууме равны нулю ($R_{ab} = 0$), но тензор Римана $R^a_{bcd}$ ненулевой - что физически означает: гравитационные приливные силы существуют там, где «обычная гравитация» в ньютоновском смысле скомпенсирована свободным падением. Инвариант Кречмана $K = R_{abcd} R^{abcd} = 48 G^2 M^2 / (c^4 r^6)$ - расходится при $r \to 0$, что и есть истинная сингулярность.

Связь с уравнениями Эйнштейна

Уравнения общей теории относительности в стандартной форме:

$R_{ab} - \tfrac{1}{2} g_{ab} R = 8\pi T_{ab}.$

Слева - геометрия (через свёртки тензора Римана), справа - материя. Тензор кривизны Римана сам в уравнения напрямую не входит, но именно из него получаются $R_{ab}$ и $R$. Без него уравнения не имеют смысла: они утверждают, что распределение энергии-импульса задаёт кривизну пространства-времени, а кривизна - это в точности то, что измеряет $R^a_{bcd}$.

В вакууме ($T_{ab} = 0$) уравнения сводятся к $R_{ab} = 0$ - но это не значит, что пространство плоское. Тензор Римана может оставаться ненулевым - что и происходит во внешнем поле Шварцшильда или у плоской гравитационной волны.

Типовые задачи

• Доказать, что данное пространство плоское - посчитать $R^a_{bcd}$ и показать, что все компоненты нулевые.
• Найти секционную кривизну в заданной площадке: $K(X,Y) = R(X,Y,Y,X) / (g(X,X)g(Y,Y) - g(X,Y)^2)$.
• Проверить, что метрика - вакуумное решение Эйнштейна: посчитать $R_{ab}$ и убедиться, что равен нулю.
• Найти инвариант Кречмана и убедиться, что он конечен - отличить координатную особенность от истинной.

Частые ошибки

• Путают индексы: положение и порядок $a, b, c, d$ в $R^a_{bcd}$ строго фиксированы, перестановка меняет знак или сам тензор.
• Забывают квадратичные члены $\Gamma\Gamma$ при счёте - берут только $\partial\Gamma - \partial\Gamma$. В криволинейных координатах вклад от $\Gamma\Gamma$ обычно ненулевой.
• Считают «тензор Риччи равен нулю $\Rightarrow$ пространство плоское» - нет, это вакуумное условие Эйнштейна, а тензор Римана может быть ненулевым.
• Используют свёртку по «не тем» индексам при определении тензора Риччи - берут $R_{ba}^a$ вместо $R^a_{bad}$ и получают другой знак.
• Применяют формулы для координатного базиса в неголономном (тетрадном) - там добавляются коэффициенты неголономности, и связность считается иначе.

FAQ

Чем тензор Римана отличается от тензора Риччи? Тензор Римана $R^a_{bcd}$ - полный объект с четырьмя индексами, описывающий всю локальную кривизну. Тензор Риччи $R_{bd}$ - его свёртка $R^a_{bad}$, в нём меньше информации: в 4D у Римана 20 независимых компонент, у Риччи - 10. В уравнения Эйнштейна входит именно Риччи и его след - скаляр $R$.

Когда тензор Римана равен нулю? Тогда и только тогда, когда пространство локально изометрично евклидову (или псевдоевклидову, если сигнатура смешанная). Это инвариантный признак: достаточно проверить в одной системе координат - он автоматически выполнен во всех.

Зачем нужны тождества Бианки? Первое (алгебраическое) сокращает число независимых компонент тензора Римана. Второе (дифференциальное) даёт закон $\nabla^a G_{ab} = 0$ - то есть автоматическое сохранение энергии-импульса в ОТО. Без него правая часть уравнений Эйнштейна была бы переопределена.

Коротко

Тензор кривизны Римана $R^a_{bcd}$ измеряет некоммутативность ковариантных производных и считается через символы Кристоффеля связности, согласованной с метрикой. У него три алгебраические симметрии и два тождества Бианки, сокращающие 256 компонент в 4D до 20 независимых. Свёртки дают тензор Риччи и скалярную кривизну, входящие в уравнения Эйнштейна. Обнуление $R^a_{bcd}$ - точный признак плоского пространства; обнуление только $R_{ab}$ - признак вакуумного гравитационного поля, в котором приливные эффекты сохраняются.