Форма связности расслоения: что это и как считать

Форма связности - это способ задать «правило параллельного переноса» на расслоении одной геометрической величиной. Если на гладком многообразии связность описывается символами Кристоффеля, то на главном расслоении её удобнее упаковать в единый объект: дифференциальную 1-форму со значениями в алгебре Ли структурной группы. Эта форма решает базовую задачу - как отличить «горизонтальное» направление (движение вдоль базы) от «вертикального» (движение вдоль слоя). Ниже разбираем определение, локальный вид через калибровочный потенциал, формулу кривизны и закон преобразования при смене карты. Если нужно разобрать конкретный пример или вывод - соберите запрос в форме ниже.

Что задаёт связность на расслоении

Главное расслоение $P \xrightarrow{\pi} M$ со структурной группой $G$ устроено так: над каждой точкой базы $M$ висит слой, изоморфный группе $G$, и $G$ действует на $P$ справа, переставляя точки внутри слоя. Касательное пространство $T_pP$ в каждой точке $p$ распадается естественным образом на вертикальную часть $V_p$ - направления вдоль слоя (их $\dim G$ штук), которые проектируются в ноль на базе.

Проблема в том, что «горизонтальных» направлений - то есть дополнения к $V_p$ - у голого расслоения нет: их нужно выбрать. Связность как раз и есть согласованный выбор горизонтального подпространства $H_p$ в каждой точке так, чтобы $T_pP = V_p \oplus H_p$ и чтобы это разложение было $G$-инвариантным. Форма связности - это аналитический способ записать такой выбор.

Рассчитать для своей задачи

Определение формы связности

Пусть $\mathfrak{g}$ - алгебра Ли группы $G$. Форма связности - это дифференциальная 1-форма $\omega$ на тотальном пространстве $P$ со значениями в $\mathfrak{g}$:

$\omega \colon TP \to \mathfrak{g},$

удовлетворяющая двум аксиомам.

Первая: на вертикальных векторах $\omega$ воспроизводит сам генератор. Каждому элементу $X \in \mathfrak{g}$ отвечает фундаментальное векторное поле $X^*$ (производная действия группы вдоль однопараметрической подгруппы $\exp(tX)$), и требуется

$\omega(X^*) = X.$

Вторая: при действии группы форма ведёт себя присоединённо. Для $g \in G$ обозначим $R_g$ правый сдвиг; тогда

$R_g^* \omega = \operatorname{Ad}(g^{-1}) \omega.$

Горизонтальное подпространство восстанавливается как ядро формы: $H_p = \ker \omega_p$. Вертикальные векторы форма «видит» (аксиома 1), горизонтальные - обнуляет. Каноническим примером нетривиального главного расслоения, на котором всё это считается явно, служит расслоение Хопфа со структурной группой $U(1)$.

Локальный вид: калибровочный потенциал

Работать с формой на всём $P$ неудобно - обычно её опускают на базу через сечение. Локальное сечение $s \colon U \to P$ над областью $U \subset M$ задаёт калибровку, и обратная подтяжка формы связности

$A = s^* \omega$

• это уже 1-форма на $U$ со значениями в $\mathfrak{g}$, называемая локальной формой связности или калибровочным потенциалом. Именно $A$ физики называют векторным потенциалом, а в электродинамике $G = U(1)$ и $A$ - это привычный 4-потенциал $A_\mu$.

Рассчитать для своей задачи

В координатах базы $A = A_\mu \, dx^\mu$, где каждый $A_\mu$ - элемент алгебры Ли. Для матричных групп это просто матрица в каждой точке. Ковариантная производная сечения ассоциированного расслоения принимает знакомый вид

$D_\mu = \partial_\mu + A_\mu,$

и именно $A_\mu$ показывает, как «подкручивается» внутреннее пространство при сдвиге вдоль базы.

Кривизна как внешняя ковариантная производная

Связность сама по себе ещё не геометрия - геометрию несёт её кривизна. Форма кривизны $\Omega$ - это 2-форма на $P$ со значениями в $\mathfrak{g}$, заданная структурным уравнением Картана:

$\Omega = d\omega + \tfrac{1}{2}[\omega, \omega].$

Скобка $[\omega,\omega]$ здесь - внешнее произведение форм, объединённое со скобкой Ли алгебры $\mathfrak{g}$. На горизонтальных векторах это совпадает с внешней ковариантной производной $\Omega = D\omega$. В локальной калибровке кривизна выглядит как напряжённость поля:

$F = dA + A \wedge A, \qquad F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu + [A_\mu, A_\nu].$

Для абелевой группы $U(1)$ коммутатор обнуляется и остаётся $F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$ - тензор электромагнитного поля. Для неабелевых $SU(N)$ остаётся квадратичный член $[A_\mu, A_\nu]$, и поле взаимодействует само с собой - это и есть нелинейность теории Янга–Миллса.

Рассчитать для своей задачи

Переход между картами: закон калибровки

Если две области $U_\alpha$ и $U_\beta$ пересекаются, на пересечении сечения связаны функцией перехода $g_{\alpha\beta} \colon U_\alpha \cap U_\beta \to G$. Локальные потенциалы $A_\alpha$ и $A_\beta$ при этом связаны законом преобразования

$A_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1} A_\alpha \, g_{\alpha\beta} + g_{\alpha\beta}^{-1} \, dg_{\alpha\beta}.$

Первое слагаемое - присоединённое действие (поворот значения в алгебре Ли), второе - неоднородный член Маурера–Картана, из-за которого $A$ не является тензором. А вот кривизна преобразуется чисто присоединённо:

$F_\beta = g_{\alpha\beta}^{-1} F_\alpha \, g_{\alpha\beta},$

поэтому $F$ - настоящий тензор, и калибровочно-инвариантные величины (например $\operatorname{tr} F\wedge F$) строятся именно из кривизны. Этот неоднородный член - ровно та причина, по которой потенциал нельзя глобально обнулить на нетривиальном расслоении.

Параллельный перенос и голономия

Геометрический смысл связности проявляется в параллельном переносе. Пусть задан путь $\gamma$ в базе $M$; горизонтальное распределение $H$ позволяет единственным образом поднять его в путь $\tilde\gamma$ в тотальном пространстве $P$ так, чтобы касательный вектор поднятия всё время оставался горизонтальным (лежал в $\ker\omega$). Это и есть параллельный перенос вдоль $\gamma$: он переносит точку слоя над началом пути в точку слоя над концом.

Если путь замкнут, начало и конец лежат в одном слое, но перенос, как правило, возвращает не ту же точку, а сдвинутую на некоторый элемент $g \in G$. Множество всех таких элементов для всех петель образует группу голономии связности. Ключевой факт: связность плоская (кривизна $F \equiv 0$) тогда и только тогда, когда перенос вдоль любой стягиваемой петли тривиален. Так кривизна измеряет «несовместимость» переноса по разным путям - это прямой аналог того, что вектор, обнесённый по замкнутому контуру на искривлённой поверхности, поворачивается. В квантовой механике этот же поворот вдоль петли в пространстве параметров наблюдается как фаза Берри.

Связь с символами Кристоффеля

Чтобы не возникало ощущения двух разных теорий: связность Леви–Чивиты на римановом многообразии - это частный случай. Берём расслоение реперов $FM$ (структурная группа $GL(n)$ или $O(n)$), и форма связности на нём в локальной калибровке даёт матрицу 1-форм $\omega^i_{\ j} = \Gamma^i_{\ j\mu}\, dx^\mu$, компоненты которой - символы Кристоффеля. Тензор кривизны Римана $R^i_{\ jkl}$ при этом - компоненты формы кривизны $\Omega^i_{\ j}$. Так классический язык ковариантной производной и абстрактный язык форм связности описывают один объект.

Частые ошибки

• Путать связность $\omega$ на $P$ и потенциал $A$ на базе. $\omega$ живёт на всём тотальном пространстве и определена глобально; $A = s^*\omega$ - локальна и зависит от выбора сечения (калибровки).
• Считать $A$ тензором. Из-за члена $g^{-1}dg$ потенциал преобразуется неоднородно; тензор - только кривизна $F$.
• Забывать член $A\wedge A$ для неабелевых групп. Для $U(1)$ он нулевой, но для $SU(N)$ именно он даёт самодействие поля; формула $F = dA$ без него верна лишь в абелевом случае.
• Брать неверный знак в $\tfrac12[\omega,\omega]$. Множитель $\tfrac12$ появляется из-за антисимметризации внешнего произведения; в компонентной записи $F_{\mu\nu}$ его уже нет.
• Смешивать форму связности с формой Маурера–Картана. Последняя - это каноническая $\mathfrak{g}$-значная форма на самой группе $G$; связность совпадает с ней только вдоль слоя.

FAQ

Чем форма связности отличается от символов Кристоффеля? Это один объект на разных языках. Символы Кристоффеля - компоненты локальной формы связности на расслоении реперов в координатной калибровке. Форма связности обобщает их на произвольную структурную группу $G$, а не только на $GL(n)$, и формулируется без выбора координат.

Почему кривизна важнее самой связности? Связность зависит от калибровки и может быть локально обнулена; её неоднородный закон преобразования делает её «нефизической» по отдельности. Кривизна преобразуется присоединённо (тензорно), и именно из неё строятся калибровочно-инвариантные наблюдаемые и характеристические классы. Если кривизна нулевая всюду, связность называется плоской.

Где это применяется на практике? В калибровочных теориях поля: электромагнетизм - связность на $U(1)$-расслоении, слабые и сильные взаимодействия - на $SU(2)$ и $SU(3)$. В геометрии - теорема Гаусса–Бонне и характеристические классы Чженя, выраженные через интегралы от кривизны. В физике твёрдого тела - фаза Берри как голономия связности.

Коротко

Форма связности расслоения - это $\mathfrak{g}$-значная 1-форма $\omega$ на главном расслоении, которая задаёт горизонтальное распределение и правило параллельного переноса. Её подтяжка сечением даёт локальный калибровочный потенциал $A = s^*\omega$, а структурное уравнение $\Omega = d\omega + \tfrac12[\omega,\omega]$ - кривизну. Потенциал преобразуется неоднородно при смене калибровки, кривизна - тензорно, и именно через неё выражаются физические поля и топологические инварианты расслоения.