Расслоение Хопфа: $S^3\to S^2$ со слоем $S^1$

В 1931 году Хайнц Хопф опубликовал короткую заметку, в которой построил непрерывное отображение трёхмерной сферы $S^3$ на двумерную сферу $S^2$, у которого прообразом каждой точки служила окружность $S^1$. До этого считалось, что нетривиальных отображений между сферами разных размерностей быть не может - все они должны стягиваться в точку. Хопф показал обратное: его отображение нельзя продеформировать в постоянное, потому что любые две окружности-прообраза зацеплены, как звенья цепи. Этот пример стал первым нетривиальным элементом гомотопической группы $\pi_3(S^2)$ и отправной точкой целого раздела топологии - теории расслоений.

Определение через комплексные координаты

Удобнее всего расслоение Хопфа задаётся в комплексных координатах. Представим $S^3$ как множество пар $(z_1, z_2) \in \mathbb{C}^2$ с условием $|z_1|^2 + |z_2|^2 = 1$. Это действительно трёхмерная сфера: $\mathbb{C}^2 \cong \mathbb{R}^4$, а единичная сфера в $\mathbb{R}^4$ - это $S^3$.

Двумерную сферу удобно отождествить с комплексной проективной прямой $\mathbb{CP}^1$, то есть с множеством одномерных комплексных подпространств в $\mathbb{C}^2$. Отображение Хопфа $h \colon S^3 \to S^2$ задаётся формулой

$h(z_1, z_2) = [z_1 : z_2] \in \mathbb{CP}^1 \cong S^2.$

Прообраз точки $[z_1 : z_2]$ - это все пары $(\lambda z_1, \lambda z_2)$ с $|\lambda| = 1$, то есть $\lambda \in U(1) = S^1$. Получаем структуру расслоения: тотальное пространство $S^3$, база $S^2$, слой $S^1$. Записывают это короткой строкой $S^1 \hookrightarrow S^3 \to S^2$.

Явные формулы через вещественные координаты

Чтобы увидеть, куда именно отображается точка, перепишем то же самое в вещественных координатах. Пусть $z_1 = x_1 + i x_2$, $z_2 = x_3 + i x_4$. Тогда стандартная формула для отображения в $\mathbb{R}^3 \supset S^2$ такова:

$h(x_1, x_2, x_3, x_4) = \bigl(2(x_1 x_3 + x_2 x_4),\ 2(x_2 x_3 - x_1 x_4),\ x_1^2 + x_2^2 - x_3^2 - x_4^2\bigr).$

Прямая проверка показывает, что сумма квадратов координат образа равна $(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2)^2 = 1$ - точка действительно лежит на единичной сфере $S^2 \subset \mathbb{R}^3$. Прообраз любой точки $S^2$ - окружность, и любые две такие окружности зацеплены ровно один раз: это и есть знаменитое «зацепление Хопфа».

Главное $U(1)$-расслоение и связь с физикой

Группа $U(1)$ действует на $S^3$ умножением: $\lambda \cdot (z_1, z_2) = (\lambda z_1, \lambda z_2)$, $|\lambda| = 1$. Действие свободное и транзитивное на слоях, фактор-пространство $S^3 / U(1)$ - это $\mathbb{CP}^1 \cong S^2$. Таким образом расслоение Хопфа - главное $U(1)$-расслоение над $S^2$, и оно нетривиально: $S^3$ не диффеоморфно прямому произведению $S^2 \times S^1$ (у произведения две независимые петли в фундаментальной группе, у $S^3$ - ни одной).

Именно эта конструкция описывает магнитный монополь Дирака. На сфере вокруг монополя нельзя задать единую гладкую функцию векторного потенциала - он определён на двух картах, и переход между картами задаётся $U(1)$-калибровочным преобразованием. Топологически это в точности нетривиальное $U(1)$-расслоение над $S^2$, классифицируемое первым числом Чёрна $c_1 \in H^2(S^2, \mathbb{Z}) = \mathbb{Z}$, который для главного $U(1)$-расслоения совпадает с эйлеровым классом ассоциированного $\mathbb{R}^2$-расслоения - конструкцией, родственной теореме Гаусса–Бонне для двумерных поверхностей. Расслоение Хопфа отвечает $c_1 = 1$ - минимальному заряду магнитного монополя.

Число Хопфа и $\pi_3(S^2)$

Долго после Брауэра считалось, что все непрерывные отображения $S^n \to S^m$ при $n > m$ стягиваются. Хопф разрушил это убеждение, придумав инвариант, ныне называемый числом Хопфа. Для гладкого $f \colon S^3 \to S^2$ возьмём две регулярные точки $p, q \in S^2$ и посмотрим на прообразы $f^{-1}(p)$ и $f^{-1}(q)$ - это пара непересекающихся замкнутых кривых в $S^3$. Число Хопфа $H(f)$ - их коэффициент зацепления.

Для отображения Хопфа $H(h) = 1$. Это означает, что $h$ нельзя продеформировать в постоянное отображение, то есть не существует гомотопической эквивалентности между $h$ и константой, и $[h] \neq 0$ в $\pi_3(S^2)$. Более того, доказано, что $\pi_3(S^2) = \mathbb{Z}$, и изоморфизм задаётся именно числом Хопфа: $[f] \mapsto H(f)$. Это первый нетривиальный пример того, что гомотопические группы сфер $\pi_n(S^m)$ при $n > m$ не обязаны быть нулевыми - на сегодня эти группы являются центральным и в значительной мере открытым объектом топологии.

Кватернионное и октонионное обобщения

Конструкция Хопфа повторяется ровно тогда, когда у нас есть нормированная алгебра с делением. По теореме Гурвица таких алгебр над $\mathbb{R}$ всего четыре: $\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$, $\mathbb{H}$, $\mathbb{O}$. Каждая даёт своё Hopf-расслоение:

• $S^0 \hookrightarrow S^1 \to S^1$ (вещественное, тривиальное двулистное накрытие);
• $S^1 \hookrightarrow S^3 \to S^2$ (классическое комплексное расслоение Хопфа);
• $S^3 \hookrightarrow S^7 \to S^4$ (кватернионное: точки $S^7$ - пары $(q_1, q_2) \in \mathbb{H}^2$ с $|q_1|^2 + |q_2|^2 = 1$, проекция $(q_1, q_2) \mapsto [q_1 : q_2] \in \mathbb{HP}^1 \cong S^4$, слой - единичные кватернионы $S^3 \cong SU(2)$);
• $S^7 \hookrightarrow S^{15} \to S^8$ (октонионное; так как $\mathbb{O}$ неассоциативна, проективная прямая $\mathbb{OP}^1$ существует, но $\mathbb{OP}^n$ при $n \geq 3$ - уже нет).

По теореме Адамса (1960) только эти размерности дают расслоения сфер сферами со сферическим слоем. Доказательство опирается на $K$-теорию и операции Адамса - это один из первых триумфов современной алгебраической топологии. Каждое из этих расслоений даёт нетривиальный класс: $\pi_7(S^4) \supset \mathbb{Z}$ и $\pi_{15}(S^8) \supset \mathbb{Z}$ за счёт кватернионного и октонионного числа Хопфа соответственно.

Физическая интерпретация: сфера Блоха

В квантовой механике состояние одного кубита - это единичный вектор в $\mathbb{C}^2$, $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ с $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$. Множество таких векторов и есть $S^3$. Но физически наблюдаемое состояние определено с точностью до глобального фазового множителя $e^{i\theta}$ - то есть с точностью до действия $U(1)$. Фактор - это сфера Блоха $S^2$, а проекция $S^3 \to S^2$ - расслоение Хопфа в чистом виде.

Координаты сферы Блоха $(x, y, z) = (\langle\sigma_x\rangle, \langle\sigma_y\rangle, \langle\sigma_z\rangle)$ как раз совпадают с приведённой выше формулой для $h$ через вещественные компоненты $\alpha, \beta$. Поэтому каждый раз, когда физик рисует кубит как точку на сфере Блоха, он молча применяет отображение Хопфа. Связано это и с понятием геометрической фазы Берри: накопленная фаза при адиабатическом обходе петли на $S^2$ - половина телесного угла - есть голономия связности на этом самом расслоении.

Стереографическая проекция и визуализация

Сферу $S^3$ нельзя нарисовать в $\mathbb{R}^3$ целиком, но можно стереографически спроецировать её на $\mathbb{R}^3$ с выколотой точкой и посмотреть, во что превратятся слои. Окружности-прообразы $h^{-1}(p)$ под стереографической проекцией становятся либо окружностями в $\mathbb{R}^3$, либо прямыми (если слой проходил через точку проекции).

Получается красивая картина: семейство вложенных торов, заметаемых окружностями, любые две из которых зацеплены ровно один раз. Эти торы - образы $h^{-1}(\text{параллель } S^2)$. Полюса $S^2$ дают слой-прямую и слой-окружность вокруг неё. Такие изображения называют «волокнами Хопфа» и часто используют для иллюстрации топологии главных $U(1)$-расслоений в учебниках.

Типовые задачи и где это нужно

Расслоение Хопфа всплывает в курсе топологии и геометрии при изучении следующих тем: гомотопические группы сфер и точные последовательности расслоений; характеристические классы (число Хопфа = первое число Чёрна = эйлеров класс ассоциированного $\mathbb{R}^2$-расслоения); классификация главных $G$-расслоений над сферами; теория струнных конфигураций и инстантонов в калибровочных теориях; квантовая информация. Типовые задачи - посчитать число Хопфа явной формулой, описать слой над заданной точкой, проверить, что два цикла зацеплены, найти связность Эресмана и форму кривизны на полном пространстве.

Частые ошибки

• Путают слой и базу: записывают расслоение как $S^2 \to S^3$ со слоем $S^1$. Правильно - тотальное пространство $S^3$ проектируется на базу $S^2$.
• Считают, что $S^3 \cong S^2 \times S^1$. Это неверно: расслоение Хопфа нетривиально, у произведения была бы нетривиальная фундаментальная группа $\mathbb{Z}$, у $S^3$ она нулевая.
• Сводят $\mathbb{CP}^1$ к $\mathbb{C}$. На самом деле $\mathbb{CP}^1$ - это $\mathbb{C}$ плюс бесконечно удалённая точка, то есть в точности $S^2$ (сфера Римана).
• Пытаются построить «октонионную $S^{31} \to S^{16}$»: такого расслоения нет - теорема Адамса запрещает.

FAQ

Почему именно $S^3 \to S^2$, а не другие размерности? Конструкция требует нормированной алгебры с делением; над $\mathbb{R}$ их четыре, и они дают четыре известных Hopf-расслоения. Невозможность других доказана Адамсом через $K$-теорию.

Что такое число Хопфа простыми словами? Это коэффициент зацепления двух окружностей-прообразов разных точек базы. Для отображения Хопфа $H = 1$, для постоянного отображения $H = 0$; число Хопфа полностью различает классы в $\pi_3(S^2)$.

Где это используют физики? Сфера Блоха в квантовой механике, монополь Дирака в электродинамике, инстантоны и солитоны Скирма в калибровочных теориях, описание поляризации света, $\mathrm{BPST}$-инстантон в $SU(2)$-теории Янга–Миллса (кватернионная фибрация).

Коротко

Расслоение Хопфа $S^1 \hookrightarrow S^3 \to S^2$ - это первый нетривиальный пример непрерывного отображения сферы на сферу меньшей размерности, который нельзя стянуть в точку. Через комплексные координаты оно записывается как проекция $(z_1, z_2) \mapsto [z_1 : z_2] \in \mathbb{CP}^1$, слой - окружность глобальных фаз $U(1)$. Хопф породил $\pi_3(S^2) = \mathbb{Z}$, своё число-инвариант, главное $U(1)$-расслоение, описывающее монополь Дирака, и геометрию сферы Блоха для кубита. Обобщения на кватернионы и октонионы дают $S^7 \to S^4$ и $S^{15} \to S^8$ - и больше, по теореме Адамса, ничего.