Гомотопическая эквивалентность: суть и инварианты

В алгебраической топологии пространства обычно сравнивают не по точному совпадению формы, а по тому, можно ли одно непрерывно «продеформировать» в другое. Такое сравнение огрубляет геометрию до самого устойчивого скелета: остаются только дырки, петли и связные компоненты. Формализация этой интуиции - гомотопическая эквивалентность. Это более слабое, чем гомеоморфизм, отношение, но именно оно сохраняет почти все алгебраические инварианты топологии: фундаментальную группу, высшие гомотопические группы $\pi_n$, гомологии $H_n$, эйлерову характеристику $\chi$. Понимание гомотопической эквивалентности - обязательная отправная точка для теории CW-комплексов, расслоений и теоремы Уайтхеда.

Гомотопия двух отображений

Прежде чем сравнивать пространства, надо научиться сравнивать отображения. Пусть $X, Y$ - топологические пространства, $f, g \colon X \to Y$ - два непрерывных отображения. Гомотопия между $f$ и $g$ - это непрерывное отображение

$H \colon X \times [0, 1] \to Y, \qquad H(x, 0) = f(x), \quad H(x, 1) = g(x).$

Содержательно $H$ - это семейство непрерывных отображений $h_t(x) = H(x, t)$, параметризованное «временем» $t \in [0, 1]$, которое плавно переводит $f$ в $g$. Если такое $H$ существует, пишут $f \simeq g$ и говорят, что отображения гомотопны. Это отношение эквивалентности на множестве $C(X, Y)$ всех непрерывных отображений: рефлексивность - постоянная гомотопия $H(x, t) = f(x)$, симметричность - обращение времени $t \mapsto 1 - t$, транзитивность - склейка двух гомотопий на половинках отрезка.

Определение гомотопической эквивалентности

Гомотопически эквивалентны теперь сами пространства $X$ и $Y$, если существует пара непрерывных отображений $f \colon X \to Y$ и $g \colon Y \to X$, для которых

$g \circ f \simeq \mathrm{id}_X, \qquad f \circ g \simeq \mathrm{id}_Y.$

Иначе говоря, композиции в обе стороны не обязаны равняться тождественным отображениям, как при гомеоморфизме, - достаточно, чтобы их можно было непрерывно продеформировать в тождественные. Пара $(f, g)$ называется гомотопической эквивалентностью, а сами $X$ и $Y$ - пространствами одного гомотопического типа, что записывают $X \simeq Y$.

Чем гомотопическая эквивалентность отличается от гомеоморфизма

Гомеоморфизм - это биекция $\varphi \colon X \to Y$ такая, что $\varphi$ и $\varphi^{-1}$ непрерывны. Это «точное равенство» с точки зрения топологии: размерность, локальные свойства, число точек - всё совпадает. Гомотопическая эквивалентность - «резиновая геометрия»: можно сжимать, растягивать, склеивать или расклеивать ровно настолько, насколько это допускает непрерывная деформация в обе стороны.

Самый простой пример различия - $\mathbb{R}^n$ и точка $\{*\}$. Гомеоморфны они быть не могут: $\mathbb{R}^n$ при $n \geq 1$ бесконечно и связно, а точка - одноточечное пространство. Но гомотопически эквивалентны: отображение $f \colon \mathbb{R}^n \to \{*\}$ единственно, обратное $g \colon \{*\} \to \mathbb{R}^n$ - это выбор любой точки, скажем нуля, и линейная гомотопия $H(x, t) = (1 - t) x$ деформирует $\mathrm{id}_{\mathbb{R}^n}$ в постоянное отображение $x \mapsto 0$. Любое стягиваемое пространство (то есть гомотопически эквивалентное точке) ведёт себя для алгебраической топологии как точка, хотя геометрически может быть какой угодно евклидовой областью.

Гомотопические инварианты

Гомотопическая эквивалентность сохраняет всё, что устойчиво к непрерывной деформации. Ключевые инварианты:

• Число связных компонент: $|\pi_0(X)| = |\pi_0(Y)|$.
• Фундаментальная группа: $\pi_1(X, x_0) \cong \pi_1(Y, f(x_0))$.
• Высшие гомотопические группы: $\pi_n(X, x_0) \cong \pi_n(Y, f(x_0))$ для всех $n \geq 1$.
• Сингулярные гомологии и когомологии: $H_n(X; \mathbb{Z}) \cong H_n(Y; \mathbb{Z})$, $H^n(X; R) \cong H^n(Y; R)$.
• Эйлерова характеристика $\chi(X) = \sum (-1)^n \dim H_n(X; \mathbb{Q})$ для пространств с конечными гомологиями.

Размерность, компактность, метризуемость и наличие границы в общем случае не инварианты гомотопического типа. Поэтому сферой $S^n$ обычно различают именно через $\pi_n(S^n) = \mathbb{Z}$ и $H_n(S^n) = \mathbb{Z}$, а не через геометрическую форму.

Классические примеры

Несколько канонических равенств в категории гомотопических типов:

• $\mathbb{R}^n \simeq \{*\}$ - евклидово пространство стягиваемо.
• $D^n \simeq \{*\}$ - замкнутый диск тоже стягиваем; в отличие от сферы $S^{n-1}$ на его границе.
• $\mathbb{R}^2 \setminus \{0\} \simeq S^1$ - проколотая плоскость деформационно ретрагируется на единичную окружность, и потому имеет фундаментальную группу $\mathbb{Z}$. Этот пример лежит в основе всего комплексного анализа: интеграл по контуру вокруг особой точки определяется именно петлёй в $S^1$.
• $\mathbb{R}^n \setminus \{0\} \simeq S^{n-1}$ - обобщение того же на любую размерность.
• Кружка с одной ручкой и тор $T^2$ - обычный мемный пример: оба имеют ровно одну дырку, оба гомотопически эквивалентны (и даже гомеоморфны).
• Букет $S^1 \vee S^1$ и «восьмёрка» - гомотопически эквивалентны и имеют свободную фундаментальную группу $F_2$ ранга 2. Не путать с произведением $S^1 \times S^1 = T^2$, у которого $\pi_1 = \mathbb{Z}^2$ - это совершенно другое пространство.

Локально топологически «восьмёрка» отличается от тора (нет окрестности у узла, гомеоморфной диску), однако само наличие двух независимых петель она передаёт верно.

Деформационный ретракт

Часто гомотопическую эквивалентность удобнее устанавливать через более сильное понятие - деформационный ретракт. Подпространство $A \subseteq X$ называется деформационным ретрактом $X$, если существует непрерывное $r \colon X \to A$ и гомотопия $H \colon X \times [0, 1] \to X$, удовлетворяющая

$H(x, 0) = x, \qquad H(x, 1) = r(x), \qquad H(a, t) = a \ \text{для } a \in A.$

Иными словами, $X$ непрерывно сжимается на $A$ так, что точки $A$ всё время остаются на месте. Из деформационной ретракции немедленно следует гомотопическая эквивалентность $X \simeq A$ - вложение $i \colon A \hookrightarrow X$ и ретракция $r$ образуют нужную пару. Именно так показывают $\mathbb{R}^n \setminus \{0\} \simeq S^{n-1}$ через формулу $H(x, t) = (1 - t)x + t \cdot x/|x|$. Обратное неверно: бывают гомотопически эквивалентные пространства, ни одно из которых не является деформационным ретрактом другого, - здесь как раз и нужен общий аппарат гомотопий.

CW-комплексы и теорема Уайтхеда

Внутри широкого класса CW-комплексов (пространств, склеенных из клеток разных размерностей) гомотопическая эквивалентность характеризуется чисто алгебраически. Теорема Уайтхеда (1949) утверждает: непрерывное отображение $f \colon X \to Y$ между связными CW-комплексами является гомотопической эквивалентностью тогда и только тогда, когда оно индуцирует изоморфизм всех гомотопических групп $\pi_n(X) \to \pi_n(Y)$ при $n \geq 0$.

Это исключительно сильное утверждение: оно сводит топологический вопрос «деформируется ли $f$ в гомотопическую эквивалентность» к набору алгебраических - изоморфизмы конкретных групп. Без предположения CW теорема ломается: существует так называемое «варшавское кружочко» с тривиальными $\pi_n$, не эквивалентное точке гомотопически. Поэтому в любых рабочих утверждениях алгебраической топологии всегда оговаривают CW-структуру. Аналогичный результат для гомологий - теорема Гуревича плюс условие односвязности, но он слабее: изоморфизм гомологий ещё не гарантирует гомотопическую эквивалентность, нужна работа на уровне $\pi_n$.

Типовые задачи

В курсе алгебраической топологии гомотопическая эквивалентность всплывает почти в каждой задаче. Стандартный набор:

• Доказать, что пара пространств эквивалентна (или нет), построив явный деформационный ретракт либо вычислив инварианты, которые их различают.
• Найти CW-модель данного пространства и через теорему Уайтхеда свести вопрос к гомотопическим группам.
• Проверить, что построенное отображение $f$ - гомотопическая эквивалентность, через проверку изоморфизмов на $\pi_n$ или через явное обращение.
• Использовать гомотопическую эквивалентность для упрощения вычислений: например, заменить сложное многообразие его остовом, чтобы посчитать гомологии.

Связанные сюжеты - теорема Гаусса–Бонне, симплициальный комплекс, расслоение Хопфа - все они используют гомотопический тип как базовое отношение эквивалентности.

Частые ошибки

• Считают, что гомотопическая эквивалентность - это гомеоморфизм с точностью до малой деформации. Это не так: тор и кружка гомеоморфны, а вот букет окружностей и восьмёрка - только гомотопически эквивалентны.
• Путают «$f \simeq g$» и «$X \simeq Y$»: первое - об отображениях, второе - о пространствах. Это разные уровни.
• Применяют теорему Уайтхеда к произвольным пространствам. Без CW-структуры она не верна; нужны клетки, а не просто метрическое пространство.
• Думают, что изоморфизм $\pi_1$ достаточен для гомотопической эквивалентности CW-комплексов. Нужны все $\pi_n$; пример - $S^2 \vee S^4$ и $\mathbb{CP}^2$ имеют одинаковую $\pi_1$ и одинаковые гомологии, но разные $\pi_3$, поэтому не эквивалентны.
• Сводят гомотопический тип к размерности: $D^2$ и точка имеют одинаковый гомотопический тип, но разные размерности.

FAQ

Может ли пространство быть гомотопически эквивалентно самому себе нетривиальным способом? Да, такие пары $(f, g)$ образуют группу самогомотопических эквивалентностей $\mathcal{E}(X)$, которая для большинства интересных $X$ нетривиальна и сама по себе изучается топологами.

Когда гомотопическая эквивалентность совпадает с гомеоморфизмом? Для замкнутых односвязных гладких многообразий размерности 1 и 2 - всегда. В размерности 3 - почти всегда (по гипотезе Пуанкаре, доказанной Перельманом). Начиная с размерности 4 появляются экзотические структуры: разные гладкие многообразия могут быть гомотопически эквивалентны и даже гомеоморфны, но не диффеоморфны.

Сохраняются ли при гомотопической эквивалентности когомологические операции и кольцевая структура? Да: $H^*(X; R)$ с произведением чашек - гомотопический инвариант. Поэтому, скажем, $S^2 \vee S^4$ и $\mathbb{CP}^2$ различаются именно через произведение в кольце когомологий.

Коротко

Гомотопическая эквивалентность - отношение на топологических пространствах через пару непрерывных отображений $f \colon X \to Y$, $g \colon Y \to X$ с $gf \simeq \mathrm{id}_X$, $fg \simeq \mathrm{id}_Y$. Это слабее гомеоморфизма, но именно она сохраняет $\pi_n$, $H_n$ и $\chi$ - основные инварианты алгебраической топологии. На CW-комплексах работает теорема Уайтхеда: изоморфизм всех $\pi_n$ равносилен гомотопической эквивалентности. Канонические примеры - $\mathbb{R}^n \simeq *$, $\mathbb{R}^n \setminus \{0\} \simeq S^{n-1}$, букет окружностей и восьмёрка, - показывают, что гомотопический тип огрубляет геометрию до устойчивого алгебраического скелета.