Теорема ван Кампена: фундаментальная группа склейки

Когда пространство собрано из нескольких кусков с известной топологией, естественный вопрос - как описывается фундаментальная группа всей конструкции через группы частей. Ответ даёт теорема ван Кампена: $\pi_1$ объединения двух открытых линейно-связных подмножеств выражается как свободное произведение с амальгамой по группе пересечения. Это рабочий инструмент: через него вычисляется $\pi_1$ для окружности, букетов, поверхностей и любых CW-комплексов размерности два.

Зачем нужна теорема

Фундаментальная группа $\pi_1(X, x_0)$ - это группа гомотопических классов петель в точке $x_0$. Считать её напрямую - занятие неблагодарное: даже для тора нужно увидеть, какие петли стягиваются, а какие нет. Стратегия ван Кампена другая: разложим $X$ на куски попроще, посчитаем $\pi_1$ каждого куска, и склейку проведём через универсальное свойство фундаментальной группы. Получается, что вычисление $\pi_1$ становится в значительной мере алгебраической задачей о порождающих и соотношениях.

Точная формулировка

Пусть $X$ - топологическое пространство, $U, V \subset X$ - открытые подмножества, и $X = U \cup V$. Предположим, что $U$, $V$ и $U \cap V$ линейно-связны, и зафиксируем базовую точку $x_0 \in U \cap V$. Тогда

$\pi_1(X, x_0) \;=\; \pi_1(U, x_0) *_{\pi_1(U \cap V, x_0)} \pi_1(V, x_0).$

Правая часть - свободное произведение с амальгамой. Если $\pi_1(U) = \langle G_U \mid R_U \rangle$ и $\pi_1(V) = \langle G_V \mid R_V \rangle$, то $\pi_1(X)$ имеет презентацию

$\langle G_U \cup G_V \mid R_U \cup R_V \cup \{i_U(\gamma) = i_V(\gamma) : \gamma \in \pi_1(U \cap V)\} \rangle,$

где $i_U \colon \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(U)$ и $i_V \colon \pi_1(U \cap V) \to \pi_1(V)$ - гомоморфизмы, индуцированные вложениями. Содержательно: в $\pi_1(X)$ образующие $U$ и $V$ живут вместе, а образы петель из пересечения отождествляются.

Набросок доказательства

Идея - построить гомоморфизм $\Phi \colon \pi_1(U) *_{\pi_1(U \cap V)} \pi_1(V) \to \pi_1(X)$ и показать, что он биективен.

Сюръективность даёт лемма о компактности петель. Любая петля $\gamma \colon [0,1] \to X$ с $\gamma(0) = \gamma(1) = x_0$ - компактна, поэтому её можно разбить на конечное число кусочков $[t_i, t_{i+1}]$, каждый из которых целиком лежит в $U$ или в $V$. Соединяя концы кусочков с $x_0$ путями внутри $U \cap V$, превращаем $\gamma$ в произведение петель, каждая из которых живёт в $U$ или в $V$. Это и есть прообраз $\gamma$ в свободном произведении.

Инъективность сложнее: нужно показать, что две гомотопные в $X$ петли отождествляются в свободном произведении после факторизации по соотношениям из $\pi_1(U \cap V)$. Гомотопия $H \colon [0,1]^2 \to X$ - снова компактный квадрат, который разбивается на маленькие квадратики, попадающие в $U$ или $V$. Двигаясь по этому разбиению, шаг за шагом переписываем словарную форму петли, используя ровно соотношения амальгамы. Технически это самая громоздкая часть; полные доказательства есть у Хатчера в «Algebraic Topology» и у Мэсси.

Вычисление $\pi_1(S^1) = \mathbb{Z}$ через две дуги

Окружность - учебный пример. Возьмём $U$ - верхнюю открытую полудугу плюс небольшой запас вокруг, $V$ - нижнюю полудугу с тем же запасом. Тогда $U$ и $V$ - открытые дуги, гомеоморфные интервалу, и обе односвязны: $\pi_1(U) = \pi_1(V) = 1$. Пересечение $U \cap V$ - две непересекающиеся маленькие дуги, то есть не линейно-связно. Это нарушает условие теоремы.

Чтобы вернуть линейную связность, заменим $U$ и $V$ на пары: $U$ - окружность без южного полюса, $V$ - без северного. Каждый из них стягиваем (гомотопически эквивалентен точке), но теперь $U \cap V$ - две дуги, которые по-прежнему не связны. На этом шаге аккуратная версия теоремы (например, через группоиды Брауна) даёт правильный ответ; в учебной редакции для $S^1$ удобнее пользоваться напрямую теорией накрытий или CW-аргументом ниже.

Букет окружностей - свободная группа

Букет $n$ окружностей $\bigvee_{i=1}^n S^1$ имеет фундаментальную группу - свободную группу ранга $n$:

$\pi_1\!\left(\bigvee_{i=1}^n S^1\right) = F_n = \langle a_1, \dots, a_n \mid - \rangle.$

Доказывается индукцией по $n$. Базу - букет двух окружностей - берём напрямую. Покроем $\bigvee_{i=1}^2 S^1$ окрестностями: $U$ - окружность $S^1_1$ плюс маленькая окрестность точки склейки, $V$ - окружность $S^1_2$ плюс та же окрестность. Тогда $U \simeq S^1$, $V \simeq S^1$, $U \cap V$ стягивается в точку, то есть односвязно. По ван Кампену:

$\pi_1(S^1 \vee S^1) = \mathbb{Z} * \mathbb{Z} = F_2.$

Шаг индукции - тот же приём с разделением на букет $n-1$ окружностей и оставшуюся.

CW-вариант: каждая 2-клетка - соотношение

Самая практичная форма теоремы - для CW-комплексов (родственная конструкция - симплициальный комплекс, где клетки заменены на симплексы). Пусть $X$ - связный CW-комплекс с одной 0-клеткой, $k$ 1-клетками $e^1_1, \dots, e^1_k$ и $m$ 2-клетками $e^2_1, \dots, e^2_m$. Тогда:

• 1-скелет $X^{(1)}$ - букет $k$ окружностей, и $\pi_1(X^{(1)}) = F_k = \langle a_1, \dots, a_k \rangle$.
• Каждая 2-клетка $e^2_j$ приклеивается к 1-скелету по характеристическому отображению $\varphi_j \colon S^1 \to X^{(1)}$. Класс $\varphi_j$ в $\pi_1(X^{(1)})$ - это слово $w_j \in F_k$.
• Приклеивание 2-клетки добавляет в фундаментальную группу соотношение $w_j = 1$ (применяем ван Кампена к покрытию: открытая окрестность 1-скелета и открытый диск).

Итог - стандартная презентация:

$\pi_1(X) = \langle a_1, \dots, a_k \mid w_1, \dots, w_m \rangle.$

Высшие клетки $e^k$, $k \geq 3$, на $\pi_1$ не влияют. Этот рецепт даёт фундаментальную группу любого 2-комплекса в две строки.

Поверхности: тор, бутылка Клейна, $\mathbb{RP}^2$

Все замкнутые поверхности - двумерные CW-комплексы с одной 0-клеткой, несколькими 1-клетками и одной 2-клеткой. Слово приклеивания 2-клетки и определяет группу.

Тор $T^2$: одна 0-клетка, две 1-клетки $a, b$, одна 2-клетка, приклеенная по коммутатору $aba^{-1}b^{-1}$. Презентация: $\pi_1(T^2) = \langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle = \mathbb{Z}^2$.

Бутылка Клейна $K$: одна 0-клетка, две 1-клетки, одна 2-клетка по слову $abab^{-1}$. Презентация: $\pi_1(K) = \langle a, b \mid abab^{-1} \rangle$. Это неабелева группа, в которой $bab^{-1} = a^{-1}$.

Проективная плоскость $\mathbb{RP}^2$: одна 0-клетка, одна 1-клетка $a$, одна 2-клетка по слову $a^2$. Презентация: $\pi_1(\mathbb{RP}^2) = \langle a \mid a^2 \rangle = \mathbb{Z}/2$.

Сфера с $g$ ручками (ориентируемая поверхность рода $g$): $\pi_1 = \langle a_1, b_1, \dots, a_g, b_g \mid [a_1, b_1] \cdots [a_g, b_g] \rangle$. При $g = 0$ - сфера, группа тривиальна; при $g = 1$ - тор.

Сравнение с гомологиями

Абелианизация $\pi_1(X)$ совпадает с первой группой гомологий $H_1(X; \mathbb{Z})$. Для CW-комплекса с презентацией $\langle a_1, \dots, a_k \mid w_1, \dots, w_m \rangle$ имеем

$H_1(X) = \mathbb{Z}^k / \langle \text{абелианизованные } w_j \rangle.$

Для тора $[a,b] = 1$ в абелианизации тривиально, поэтому $H_1(T^2) = \mathbb{Z}^2$ - совпадает с $\pi_1$. Для бутылки Клейна $abab^{-1}$ абелианизуется в $2a$, и $H_1(K) = \mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2$. Для $\mathbb{RP}^2$ соотношение $a^2$ даёт $H_1 = \mathbb{Z}/2$. Сверка двух способов - частая проверка корректности вычисления.

Частые ошибки

• Применяют теорему к покрытию двумя замкнутыми множествами или к $U \cap V$, не являющемуся линейно-связным. Тогда формула не работает буквально - нужна версия через группоиды или несколько базовых точек.
• Забывают про вложения. Образующие из $\pi_1(U \cap V)$ дают по два образа в свободном произведении - через $i_U$ и через $i_V$, и амальгама их отождествляет. Пропустить эти соотношения - главный источник неправильных ответов.
• Считают, что любой CW-комплекс с заданной презентацией строится однозначно. Презентация определяет $\pi_1$, но не сам комплекс: можно по-разному выбрать слова приклеивания.
• Используют ван Кампена для $\pi_n$ при $n \geq 2$. Прямого аналога нет - для высших гомотопических групп есть гораздо более тонкая теория (теорема Брауна-Хиггинса).
• Не упрощают полученную презентацию. Запись $\langle a, b \mid aba^{-1}b^{-1} \rangle$ хочется свести к $\mathbb{Z}^2$ - отсутствие этой свёртки выглядит как непонимание сути.

FAQ

Что делать, если пространство нужно разложить на три или больше куска? Теорема обобщается на $X = U_1 \cup \dots \cup U_n$ с условием линейной связности всех пересечений (включая тройные). Формально это удобнее формулировать через копредел в категории групп или через группоиды; на практике 3-куски сводят к итеративному применению двух-кусочной версии.

Чем ван Кампен отличается от Майера-Виеториса? Майер-Виеторис - длинная точная последовательность для гомологий $H_*$ того же покрытия. Это рабочий инструмент в гомологической алгебре, ван Кампен - её гомотопический аналог для $\pi_1$. Из ван Кампена через абелианизацию получается часть последовательности Майера-Виеториса в размерности один.

Можно ли работать без условия открытости $U$ и $V$? В чистой формулировке - нет: открытость гарантирует, что разбиение петли на кусочки попадает внутрь $U$ или $V$. Для замкнутых покрытий аналог формулируется через CW-структуру или через коокрестности; на практике для CW-комплексов задача обходится переходом к открытым окрестностям клеток.

Коротко

Теорема ван Кампена выражает фундаментальную группу объединения через свободное произведение с амальгамой по группе пересечения, и в CW-формулировке превращает вычисление $\pi_1$ в задачу о порождающих и соотношениях: каждая 1-клетка даёт образующую, каждая 2-клетка - слово приклеивания. Через эту схему получаются классические ответы: $\pi_1$ букета - свободная группа, $\pi_1$ тора - $\mathbb{Z}^2$, $\pi_1$ бутылки Клейна - неабелева группа с соотношением $abab^{-1}$, $\pi_1(\mathbb{RP}^2) = \mathbb{Z}/2$. Абелианизация даёт $H_1$ и служит независимой проверкой ответа.