Стягиваемое пространство: гомотопия к точке простыми словами

Стягиваемое пространство - одно из базовых понятий алгебраической топологии, с которого начинается разговор о гомотопиях. Интуитивно это пространство, которое можно «сжать» в одну точку, не разрывая и не склеивая. Формально за этой картинкой стоит гомотопия между тождественным отображением и постоянным. Разберём строгое определение, научимся строить стягивающую гомотопию руками и поймём, почему диск стягиваем, а окружность - нет. Ниже есть форма: опишите своё пространство и получите разбор, стягиваемо оно или нет.

Что такое стягиваемое пространство

Топологическое пространство $X$ называется стягиваемым, если тождественное отображение $\mathrm{id}_X\colon X\to X$ гомотопно постоянному отображению $c\colon X\to X$, $c(x)=x_0$, в некоторую точку $x_0\in X$.

Иначе говоря, существует непрерывное семейство отображений $H\colon X\times[0,1]\to X$, плавно переводящее всё пространство в одну точку:

$$H(x,0)=x,\qquad H(x,1)=x_0\quad\text{для всех }x\in X.$$

Параметр $t\in[0,1]$ играет роль времени: при $t=0$ ничего не двигается, при $t=1$ всё пространство собрано в точку $x_0$. Отображение $H$ называют стягивающей гомотопией, а точку $x_0$ - центром стягивания. Можно представлять это как замедленную съёмку: на каждом промежуточном кадре $H(\cdot,t)$ всё пространство сжато ровно настолько, насколько прошло «времени» $t$, и весь фильм от первого кадра до последнего непрерывен.

Важно, что центр стягивания может быть любой точкой пространства - если стягивание возможно к одной точке, оно возможно и к любой другой. Это прямое следствие линейной связности, которая у стягиваемого пространства всегда есть. Поэтому в определении пишут «в некоторую точку $x_0$»: конкретный выбор центра роли не играет.

Рассчитать для своей задачи

Ключевое слово здесь - непрерывность по обеим переменным. Недостаточно просто «провести путь» от каждой точки к центру: пути соседних точек обязаны меняться согласованно, иначе пространство порвётся в процессе сжатия.

Эквивалентное определение через гомотопическую эквивалентность

Есть второе, более концептуальное определение: пространство $X$ стягиваемо тогда и только тогда, когда оно гомотопически эквивалентно одноточечному пространству $\{*\}$.

Гомотопическая эквивалентность - это пара непрерывных отображений $f\colon X\to Y$ и $g\colon Y\to X$ таких, что $g\circ f$ гомотопно $\mathrm{id}_X$, а $f\circ g$ гомотопно $\mathrm{id}_Y$. Для $Y=\{*\}$ отображение $g\circ f$ как раз является постоянным, а условие $g\circ f\simeq\mathrm{id}_X$ повторяет определение стягиваемости.

Эта формулировка удобна тем, что встраивает стягиваемость в общую иерархию: стягиваемые пространства - это «тривиальные» с точки зрения гомотопического типа, такие же, как точка. Подробнее о том, когда два пространства считаются одинаковыми «с точностью до деформации», - в разборе гомотопической эквивалентности. Гомеоморфизм гораздо сильнее: гомеоморфные пространства всегда гомотопически эквивалентны, но обратное неверно. Диск и точка гомотопически эквивалентны, но не гомеоморфны.

Канонический пример: выпуклое множество

Самый наглядный класс стягиваемых пространств - выпуклые подмножества $\mathbb{R}^n$. Пусть $C\subseteq\mathbb{R}^n$ выпукло и $x_0\in C$ - любая его точка. Тогда стягивающая гомотопия строится прямолинейно:

$$H(x,t)=(1-t)\,x+t\,x_0.$$

При $t=0$ получаем $H(x,0)=x$, при $t=1$ - $H(x,1)=x_0$. Непрерывность по $(x,t)$ очевидна, а выпуклость гарантирует, что отрезок $[x,x_0]$ целиком лежит в $C$, то есть $H(x,t)\in C$ при всех $t$. Такую гомотопию называют прямолинейной.

Рассчитать для своей задачи

Отсюда сразу следует, что стягиваемы: весь $\mathbb{R}^n$, замкнутый шар, открытый шар, любой выпуклый многогранник, полупространство. Чуть шире - стягиваемо любое звёздное множество относительно своей звёздной точки: достаточно, чтобы отрезок к одному фиксированному центру не выходил за границы.

Почему окружность не стягиваема

Окружность $S^1$ - простейший пример нестягиваемого пространства. Доказательство опирается на главный инвариант: фундаментальную группу. Для стягиваемого пространства она тривиальна, $\pi_1(X)=0$, потому что любая петля гомотопна постоянной (её можно «протащить» вдоль стягивающей гомотопии к центру).

У окружности же $\pi_1(S^1)\cong\mathbb{Z}$: петля, обходящая окружность $n$ раз, не стягивается к точке, а число оборотов $n$ - это целочисленный инвариант, который гомотопия сохранить не может. Значит, $S^1$ не гомотопически эквивалентна точке и не стягиваема.

Тот же аргумент работает для сфер $S^n$ при $n\ge1$, проколотой плоскости $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$, тора, восьмёрки. Общий принцип: если у пространства есть «дырка», которую обходит несжимаемая петля или которую фиксирует ненулевая группа гомологий, оно не стягиваемо.

Полезно понимать механизм наглядно. Представьте петлю на окружности как резиновое кольцо, надетое на катушку. Сколько бы вы ни тянули его вдоль поверхности, снять кольцо, не сходя с окружности, невозможно - петлю некуда деть, у пространства нет «внутренности», в которую её можно было бы стянуть. Именно отсутствие этой внутренности и отличает окружность от диска: у диска петля свободно сжимается к центру, поэтому он стягиваем, а у окружности - нет. Число оборотов петли называют её степенью, и оно остаётся неизменным при любой непрерывной деформации, что и даёт строгое доказательство нестягиваемости.

Свойства стягиваемых пространств

Стягиваемость - сильное условие, и из неё вытекает целый набор следствий:

• Линейная связность. Любые две точки соединяются путём - это сама стягивающая гомотопия, ограниченная на конкретную точку: $t\mapsto H(x,t)$ ведёт из $x$ в $x_0$.
• Односвязность. $\pi_1(X)=0$: фундаментальная группа тривиальна, петель «по существу» нет.
• Тривиальные гомотопические группы. $\pi_n(X)=0$ для всех $n\ge1$ - все высшие гомотопические группы нулевые.
• Тривиальные группы гомологий. $\tilde{H}_n(X)=0$ - приведённые группы гомологий обнуляются (теорема о гомотопической инвариантности).

Обратное в общем виде неверно: бывают пространства со всеми нулевыми гомотопическими группами, которые при этом не стягиваемы - но для «хороших» пространств (CW-комплексов) теорема Уайтхеда возвращает эквивалентность.

Как доказать стягиваемость на практике

Чтобы показать, что конкретное $X$ стягиваемо, обычно идут одним из путей:

1. Предъявить явную гомотопию $H(x,t)$ и проверить три вещи: непрерывность, $H(x,0)=x$, $H(x,1)=x_0$. Для выпуклых и звёздных множеств берём прямолинейную формулу.
2. Свести к деформационной ретракции. Если $X$ деформационно ретрагируется на стягиваемое подпространство (например, на точку), то $X$ стягиваемо. Это удобно для конусов: конус $CY$ над любым $Y$ всегда стягиваем - вершина служит центром.
3. Показать гомотопическую эквивалентность точке напрямую, построив пару $f,g$.

Чтобы опровергнуть стягиваемость, наоборот, ищут нетривиальный инвариант: ненулевую $\pi_1$, ненулевую группу гомологий $H_n$, или прямую несжимаемую петлю.

Частые ошибки

• Путают стягиваемость с гомеоморфностью точке. Стягиваемое пространство почти никогда не гомеоморфно точке (диск не равен точке как множество). Речь только о гомотопическом типе.
• Строят пути отдельно для каждой точки, забыв непрерывность по $x$. «Каждую точку ведём к центру» - это ещё не гомотопия; нужна непрерывность по обеим переменным сразу.
• Считают любое связное множество стягиваемым. Окружность связна, но не стягиваема. Связность необходима, но далеко не достаточна.
• Берут центр вне множества в невыпуклом случае. Для звёздного множества центром обязана быть звёздная точка, иначе отрезок выйдет за границы.
• Думают, что $\pi_1=0$ влечёт стягиваемость. Сфера $S^2$ односвязна, но не стягиваема: у неё ненулевая $\pi_2$ и $H_2$.

FAQ

Стягиваемо ли любое выпуклое множество? Да. Любое непустое выпуклое подмножество $\mathbb{R}^n$ стягиваемо через прямолинейную гомотопию $H(x,t)=(1-t)x+t x_0$ к любой своей точке. То же верно для звёздных множеств относительно звёздной точки.

В чём разница между стягиваемостью и односвязностью? Односвязность - это только $\pi_1(X)=0$ (нет несжимаемых петель). Стягиваемость сильнее: требует тривиальности всех гомотопических групп и эквивалентности точке. Сфера $S^2$ односвязна, но не стягиваема.

Может ли стягиваемое пространство иметь дырки? Нет. Любая «дырка», которую фиксирует ненулевая фундаментальная группа или группа гомологий, делает пространство нестягиваемым. У стягиваемого пространства все приведённые группы гомологий и все гомотопические группы нулевые.

Коротко

Стягиваемое пространство - это пространство, гомотопически эквивалентное точке: существует непрерывная гомотопия $H(x,t)$, стягивающая всё в один центр при $t=1$. Выпуклые и звёздные множества стягиваемы прямолинейной гомотопией; окружность, сферы и проколотая плоскость - нет, потому что несут нетривиальный инвариант ($\pi_1\cong\mathbb{Z}$ у окружности). Чтобы доказать стягиваемость, предъявите явную гомотопию или деформационную ретракцию к точке; чтобы опровергнуть - найдите ненулевую гомотопическую группу или группу гомологий.