Эффект Ааронова-Бома: фаза без магнитного поля

В 1959 году Якир Ааронов и Дэвид Бом опубликовали в Physical Review статью с парадоксальным выводом: заряженная квантовая частица, движущаяся целиком вне области магнитного поля, тем не менее «чувствует» это поле - её волновая функция получает фазовый сдвиг, зависящий от магнитного потока внутри недоступной для неё области. В классической электродинамике такое невозможно: сила Лоренца зависит только от локальных $\vec{E}$ и $\vec{B}$, а векторный потенциал $\vec{A}$ считался удобной математической фикцией. Эффект Ааронова-Бома перевернул эту картину: в квантовой механике именно потенциалы фундаментальны, а поля - производные от них. Через двадцать семь лет, в 1986 году, Акира Тономура с коллегами поставил эксперимент, не оставивший сомнений: фаза действительно набирается без локального контакта частицы с $\vec{B}$.

Что такое эффект Ааронова-Бома

Возьмём двухщелевой интерференционный эксперимент с электронами. За щелями, между двух путей электрона, разместим тонкий длинный соленоид перпендикулярно плоскости. Внутри соленоида - однородное магнитное поле $\vec{B} \neq 0$ и магнитный поток $\Phi = \int \vec{B} \cdot d\vec{S}$. Снаружи соленоида поле строго равно нулю: $\vec{B} = 0$ всюду, где может находиться электрон. По всем классическим меркам электрон не должен «знать» о соленоиде вообще.

Тем не менее интерференционная картина на экране смещается: при изменении потока $\Phi$ полосы движутся, как будто электрон ощущает магнитное поле. Сдвиг фазы между двумя путями даётся точной формулой:

$$\Delta\varphi = \frac{q}{\hbar}\oint \vec{A}\cdot d\vec{l} = \frac{q\Phi}{\hbar}$$

где $q$ - заряд частицы, $\vec{A}$ - векторный потенциал, а контурный интеграл берётся по замкнутому пути, охватывающему соленоид. По теореме Стокса $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l} = \int (\nabla\times\vec{A})\cdot d\vec{S} = \Phi$, и фаза оказывается универсальной - не зависит от конкретной формы путей, только от потока внутри них. Это топологический эффект.

Чтобы быстро разобрать конкретный аспект - вывод фазового сдвига, связь с фазой Берри, электрический аналог или эксперимент Тономуры - выбери параметры ниже.

Вывод фазового сдвига

Минимальное калибровочно-инвариантное включение электромагнитного поля в уравнение Шрёдингера заменяет оператор импульса:

$$\hat{p} \to \hat{p} - q\vec{A}$$

В области, где $\vec{B} = \nabla\times\vec{A} = 0$, потенциал $\vec{A}$ не обязательно равен нулю - он чистая калибровочная функция, $\vec{A} = \nabla\chi$. Тогда волновая функция в области без поля связана с «свободной» волновой функцией фазовым множителем:

$$\psi(\vec{r}) = \psi_0(\vec{r})\,\exp\!\left[\frac{iq}{\hbar}\int_{\vec{r}_0}^{\vec{r}} \vec{A}\cdot d\vec{l}\right]$$

Для одного пути этот множитель - чистая калибровка, ненаблюдаемый. Но в двухщелевом эксперименте электрон идёт двумя путями $C_1$ и $C_2$, охватывающими соленоид. Разность фаз между ними равна:

$$\varphi_1 - \varphi_2 = \frac{q}{\hbar}\left[\int_{C_1}\vec{A}\cdot d\vec{l} - \int_{C_2}\vec{A}\cdot d\vec{l}\right] = \frac{q}{\hbar}\oint_{C_1 - C_2}\vec{A}\cdot d\vec{l} = \frac{q\Phi}{\hbar}$$

Эта разность калибровочно инвариантна: при замене $\vec{A} \to \vec{A} + \nabla\chi$ интегралы по обоим путям сдвигаются на одну и ту же величину $\chi(\vec{r}_{\text{конец}}) - \chi(\vec{r}_{\text{начало}})$, разность не меняется. Поэтому сдвиг интерференционной картины - настоящий физический наблюдаемый эффект, хотя сам $\vec{A}$ калибровочно произволен.

Эксперимент Тономуры

Прямое экспериментальное доказательство пришло не сразу. Первые попытки (Чемберс, 1960) подвергались критике: соленоид всегда имеет внешнее рассеянное поле, и можно было утверждать, что электрон проходит через ненулевое $\vec{B}$. Чистый эксперимент поставил Акира Тономура с коллегами в Hitachi Central Research в 1986 году.

Идея - заменить соленоид тороидальным магнитом из пермаллоя, полностью покрытым сверхпроводящим слоем ниобия при температуре ниже $T_c$. Сверхпроводник по эффекту Мейснера выталкивает магнитное поле наружу: $\vec{B} = 0$ всюду снаружи тороида с гарантией Лондоновой глубины проникновения порядка $40$ нм. Поток $\Phi$ заперт внутри тороида и квантуется по флюксоиду $\Phi_0 = h/(2e)$. Электронный пучок интерферометра Тономуры проходил вокруг тороида и через его центральное отверстие, не касаясь магнитного материала.

Голограмма электронной волны прямо показала фазовый сдвиг между двумя пучками, и его величина точно соответствовала $\Delta\varphi = q\Phi/\hbar$. Эксперимент окончательно закрыл вопрос: фаза набирается без локального контакта с $\vec{B}$.

Электрический эффект Ааронова-Бома

Эффект имеет полный электрический аналог. Если частицу пропустить через область с скалярным потенциалом $V(t)$, причём $\vec{E} = -\nabla V = 0$ (потенциал однороден в пространстве, но меняется во времени), волновая функция набирает дополнительную фазу:

$$\Delta\varphi_E = -\frac{q}{\hbar}\int V(t)\,dt$$

Если двум путям в интерферометре придать разные потенциалы $V_1(t)$ и $V_2(t)$ - например, провести через две металлические трубки на разных напряжениях, - между ними возникает разность фаз $-\frac{q}{\hbar}\int (V_1 - V_2)\,dt$, и интерференционная картина смещается без всякого электрического поля в области движения частицы. Экспериментально электрический эффект Ааронова-Бома сложнее: трудно обеспечить, чтобы $\vec{E} = 0$ строго в области частицы при изменяющемся $V$, но первые наблюдения сделал Маттейш в 1962 году в нейтронной интерферометрии, а уверенные подтверждения - серия работ 1990-х на электронных интерферометрах.

Связь с фазой Берри и калибровочной инвариантностью

Эффект Ааронова-Бома - частный случай более общего понятия геометрической фазы. В 1984 году Майкл Берри показал, что при адиабатическом изменении параметров гамильтониана собственное состояние набирает дополнительную фазу, не сводящуюся к динамической:

$$\gamma_n = i\oint \langle n(\vec{R})|\,\nabla_{\vec{R}}\,|n(\vec{R})\rangle \cdot d\vec{R}$$

Это фаза Берри, и интеграл - от связности Берри, играющей роль векторного потенциала в пространстве параметров. Эффект Ааронова-Бома - самый ранний и чистый пример: «параметр» здесь - положение электрона, $\vec{A}$ - буквальный векторный потенциал, и $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l}$ совпадает с интегралом связности.

Эта параллель сейчас стандартная: фаза Берри объясняет квантовый эффект Холла (Таулесс, Кохомото, Найтингейл, ден Нийс, 1982), топологические изоляторы, аномалию Холла в ферромагнетиках, поляризацию диэлектриков как берриевскую сумму по зоне Бриллюэна. Эффект Ааронова-Бома и его электрический аналог логически входят в эту картину как простейшие случаи.

Параллельно живёт эффект Ааронова-Кашера (1984) - двойник для нейтральной частицы со спином, движущейся в электрическом поле: магнитный момент набирает фазу от линейного интеграла напряжённости $\vec{E}\times\hat{\mu}$ вдоль пути. Эксперимент Чимиа и др. (1989) на тепловых нейтронах подтвердил и его. Вместе эти два эффекта показывают: фазы от калибровочных потенциалов - общее правило, а не аномалия.

Калибровочная инвариантность как принцип

Эффект Ааронова-Бома задаёт точную меру наблюдаемости потенциалов: наблюдаем калибровочно-инвариантный контурный интеграл $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l}$, но не сам $\vec{A}$ в точке. Это аккуратное переформулирование стандартной картины: $\vec{B}$ в локальной точке - не первичен, первичен поток через замкнутый контур, и квантовая механика это «знает» через двухщелевой эксперимент.

Эта же логика обобщается на неабелевы калибровочные теории. В электрослабом и сильном взаимодействиях аналог $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l}$ - петля Вильсона:

$$W(C) = \text{Tr}\,\mathcal{P}\exp\!\left[ig\oint_C A_\mu^a T^a\,dx^\mu\right]$$

В калибровке решётки петли Вильсона - основные наблюдаемые: их среднее даёт критерий конфайнмента кварков (закон площади Уилсона). Эффект Ааронова-Бома - простейшая абелева версия той же конструкции, и в этом его глубокое значение для квантовой теории поля.

Топология и квантование потока

В сверхпроводниках интерференционная фаза по замкнутому контуру даёт квантование магнитного потока. Из требования однозначности волновой функции куперовской пары $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l} = n\Phi_0$ с $\Phi_0 = h/(2e) \approx 2{,}07\cdot 10^{-15}$ Вб. Это видно в сквидах (SQUID), кольцах с захваченным потоком, в магнитных вихрях типа II сверхпроводников. Эффект Ааронова-Бома и квантование потока - две стороны одного факта: фаза $q\Phi/\hbar$ должна быть кратна $2\pi$ для однозначно определённой волновой функции в кольце.

В мезоскопических кольцах из обычных металлов наблюдаются осцилляции сопротивления с периодом $h/e$ и $h/(2e)$ при изменении внешнего магнитного потока - это прямой transport-аналог Ааронова-Бома, известный с 1980-х годов (Уэбб и др., 1985).

Частые ошибки

• Думают, что эффект ломает локальность. Он не ломает. Уравнение Шрёдингера с заменой $\hat{p} \to \hat{p} - q\vec{A}$ остаётся локальным дифференциальным уравнением; $\vec{A}$ - локальная функция координат. Просто наблюдаемой оказывается не сама $\vec{A}$ в точке, а её контурный интеграл - а он зависит от глобальной топологии. Никакой сверхсветовой передачи или нелокального действия здесь нет.
• Путают эффект с прямым взаимодействием электрона с $\vec{B}$. В эксперименте Тономуры электрон строго не касается области ненулевого $\vec{B}$ - сверхпроводящая оболочка тороида гарантирует это. Сдвиг фазы существует, потому что $\vec{A} \neq 0$ снаружи (хотя $\vec{B} = 0$), и квантовая частица «видит» $\vec{A}$ через интеграл по охватывающему контуру.
• Считают $\vec{A}$ «реальной» физической величиной в локальном смысле. Это перегиб в противоположную сторону. $\vec{A}$ калибровочно произволен - заменив его на $\vec{A} + \nabla\chi$, мы получим ту же физику. Наблюдаемой остаётся именно калибровочно-инвариантная петля $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l}$.
• Применяют формулу $\Delta\varphi = q\Phi/\hbar$ к произвольным контурам. Она верна только для замкнутого пути, охватывающего поток. Для пути, не охватывающего соленоид (контур стягиваем в области $\vec{B} = 0$), $\oint \vec{A}\cdot d\vec{l} = 0$ и фазового сдвига нет - что и наблюдается экспериментально.

FAQ

Можно ли использовать эффект Ааронова-Бома для сверхсветовой передачи сигнала? Нет. Чтобы зарегистрировать сдвиг фазы, нужно сравнить интерференционную картину при разных значениях потока - а сам поток меняется внутри соленоида с конечной скоростью, ограниченной скоростью света. Локальность электродинамики и квантовой механики не нарушается; меняется только наше понимание того, что считать «физическим». Никакой свободной информации эффект не передаёт.

Чем эффект Ааронова-Бома отличается от фазы Берри? Эффект Ааронова-Бома - конкретный экземпляр геометрической фазы для частицы в электромагнитном потенциале; параметром служит положение частицы, связностью - векторный потенциал $\vec{A}$. Фаза Берри - общее понятие для адиабатического обхода любой петли в пространстве параметров любого гамильтониана: положений ядер в молекуле, направлений магнитного поля для спина, точек зоны Бриллюэна для блоховского электрона. Эффект Ааронова-Бома - простейший и самый ранний пример этой структуры.

Почему эксперимент Тономуры считается «решающим», а более ранний Чемберса - нет? В эксперименте Чемберса (1960) с тонкой ферромагнитной нитью невозможно было исключить, что электрон проходит через область рассеянного поля у краёв нити. Тономура использовал тороидальный магнит, полностью покрытый сверхпроводником: эффект Мейснера гарантирует строгое $\vec{B} = 0$ снаружи, и фаза набирается заведомо без контакта с полем. После 1986 года интерпретация перестала зависеть от лазеек.

Коротко

Эффект Ааронова-Бома - это сдвиг фазы $\Delta\varphi = q\Phi/\hbar$ заряженной частицы, движущейся вне области магнитного поля, но охватывающей замкнутым путём поток $\Phi$. Эффект был предсказан Аароновым и Бомом в 1959 году и экспериментально подтверждён Тономурой в 1986-м на тороидальном сверхпроводящем магните. Главный концептуальный итог - векторный потенциал $\vec{A}$ не математическая фикция: наблюдаем его калибровочно-инвариантный контурный интеграл, и квантовая механика «видит» именно эту глобальную, топологическую величину. Эффект имеет электрический аналог (Маттейш) и спиновый двойник (эффект Ааронова-Кашера), укладывается в общую схему фазы Берри и обобщается до петель Вильсона в неабелевых калибровочных теориях. Квантование потока в сверхпроводниках и осцилляции $h/e$ в мезоскопических кольцах - прямые транспортные следствия.