Квантовый эффект Холла: целые и дробные плато, топология, эталон сопротивления

В 1980 году Клаус фон Клитцинг измерил холловское сопротивление в кремниевом MOSFET при низкой температуре и сильном магнитном поле - и обнаружил, что оно идёт не плавно, а ступеньками. Высота ступенек выражалась через фундаментальные константы $h/e^2$ с точностью лучше $10^{-6}$. За это открытие в 1985 году дали Нобелевскую премию. Через два года Цуи и Стормер на образцах получше нашли плато при дробных значениях - там, где целочисленная теория ничего не предсказывала. Объяснение этому в 1983 году дал Лафлин; в 1998 году все трое получили Нобеля. Так появилась целая ветвь физики, а заодно - самый точный в мире эталон сопротивления.

Классический эффект Холла

В 1879 году Эдвин Холл показал: если через проводник пропускать ток, а перпендикулярно току приложить магнитное поле, то на боковых гранях возникает поперечная разность потенциалов. Подробный разбор этой картины - в материале о классическом эффекте Холла. Сила Лоренца отклоняет носители заряда к одной из граней, там они накапливаются - пока возникающее поперечное электрическое поле не уравновесит магнитную силу.

В установившемся режиме поперечное (холловское) напряжение $V_H$ связано с током $I$, толщиной образца $d$ и индукцией поля $B$ через коэффициент Холла:

$$R_H = \frac{V_H\, d}{I\, B} = \frac{1}{n\, e}$$

где $n$ - концентрация носителей, $e$ - элементарный заряд. По знаку $R_H$ определяют тип носителей (электроны или дырки), по величине - их концентрацию. Это рабочий инструмент полупроводниковой техники: датчики магнитного поля, профилирование легирования, исследование зонной структуры. В классической картине $R_H$ - гладкая функция поля, никаких ступенек нет.

Что происходит в двумерном электронном газе

Чтобы увидеть квантовый эффект, нужно три ингредиента:

• 2DEG - двумерный электронный газ. Электроны должны двигаться только в плоскости. На практике это инверсионный канал в кремниевом MOSFET (как в исходной работе фон Клитцинга) или гетероструктура GaAs/AlGaAs: тонкий слой GaAs зажат между более широкозонными слоями, носители оказываются в треугольной потенциальной яме на интерфейсе и движутся строго вдоль неё.
• Низкая температура. Обычно десятки милликельвин или единицы кельвин - чтобы термическое размытие $k_B T$ было заметно меньше расстояния между уровнями Ландау.
• Сильное перпендикулярное магнитное поле. Несколько тесла и выше - чтобы циклотронная щель $\hbar \omega_c$ хорошо разделяла уровни Ландау.

В таких условиях электронный спектр перестраивается: непрерывная плотность состояний сворачивается в дискретные уровни Ландау с энергиями $E_n = \hbar \omega_c (n + 1/2)$, $n = 0, 1, 2, \ldots$. На каждый уровень в единице площади приходится $eB/h$ состояний. Удобный безразмерный параметр - фактор заполнения $\nu = n_{2D}\, h / (eB)$: сколько уровней Ландау заполнено электронами при данной плотности и поле.

Дальше - короткий практический инструмент. Выбери режим и $\nu$, и я в чате посчитаю холловское сопротивление, поясню физику плато и роль выбранного фактора заполнения.

Целочисленный квантовый эффект Холла

Когда $\nu$ становится целым числом, уровень Ландау оказывается заполнен ровно «до краёв», а следующий - пуст. Между заполненным и пустым уровнем - энергетическая щель. В этом режиме холловское сопротивление принимает дискретные значения:

$$R_H = \frac{h}{\nu\, e^2}, \qquad \nu = 1,\, 2,\, 3,\, \ldots$$

При $\nu = 1$ получается $\approx 25\,812.8$ Ом, при $\nu = 2$ - около $12\,906.4$ Ом, и так далее. Одновременно происходит вторая поразительная вещь: продольное сопротивление $R_{xx}$ между плато падает практически до нуля. Получается двумерный аналог идеального проводника - ток течёт без диссипации в объёме.

Физическая причина - в краевых состояниях. В объёме образца все доступные состояния либо полностью заполнены, либо отсутствуют (щель), рассеиваться некуда. Но на границе уровни Ландау изгибаются электростатическим потенциалом и пересекают уровень Ферми - там возникают одномерные каналы, по которым ток течёт строго в одну сторону. Обратное рассеяние подавлено: чтобы развернуться, электрону пришлось бы перепрыгнуть на противоположный край образца.

Точность квантования плато достигает $10^{-10}$ и не зависит ни от материала (Si, GaAs, графен), ни от геометрии образца, ни от концентрации примесей в разумных пределах. Это и сделало эффект пригодным для метрологии.

Дробный эффект Холла

Когда Цуи и Стормер в 1982 году взяли более чистые гетероструктуры GaAs/AlGaAs с подвижностями в десятки тысяч см²/(В·с), они увидели плато не только при целых, но и при дробных $\nu$: $1/3$, $2/5$, $3/7$, $2/3$, $5/2$ и десятках других. Это казалось абсурдом - в одночастичной картине уровней Ландау на дробном заполнении ничего особенного происходить не должно.

Разгадку в 1983 году дал Роберт Лафлин. Он предложил волновую функцию для $\nu = 1/m$ ($m$ нечётное):

$$\Psi_m(z_1, \ldots, z_N) = \prod_{i < j} (z_i - z_j)^m \, \exp\!\left(-\frac{1}{4\ell_B^2}\sum_k |z_k|^2\right)$$

где $z_k = x_k + i y_k$ - комплексные координаты электронов, $\ell_B = \sqrt{\hbar/(eB)}$ - магнитная длина. Эта функция описывает несжимаемую квантовую жидкость, в которой электроны коррелированы так, чтобы максимально избегать друг друга. Невозможно без межэлектронного взаимодействия: в одночастичной картине дробное плато не возникает в принципе.

Самое удивительное - у возбуждений этой жидкости заряд оказывается дробным, $e/m$ (для $\nu = 1/3$ это $e/3$). Этот предсказанный Лафлином дробный заряд экспериментально измерили в 1997 году по дробовому шуму туннельного тока. У некоторых плато (особенно $\nu = 5/2$) возбуждения предположительно подчиняются неабелевой статистике - это активная тема исследований, в том числе как платформа для топологических квантовых вычислений. Композитные фермионы (Джейн, 1989) дают второе удобное описание: электрон, к которому «прикреплены» чётное число квантов магнитного потока, и тогда дробный эффект Холла для электронов сводится к целочисленному для композитных фермионов.

Метрологическое значение

Постоянная фон Клитцинга:

$$R_K = \frac{h}{e^2} = 25\,812.807\,45\ldots\ \text{Ом}$$

С 1990 года она служит международным эталоном сопротивления - рекомендованное значение $R_{K\text{-}90} = 25\,812.807$ Ом фиксировало шкалу два десятилетия. После реформы СИ 2019 года, когда зафиксировали точные значения $h$ и $e$, $R_K$ стала точной величиной по определению - а квантовый эффект Холла из «лучшего эталона» превратился в первичную реализацию ома: достаточно собрать установку с холловским образцом, выйти на плато $\nu = 2$ ($R_H = R_K/2$) - и сопротивление известно с точностью самого эксперимента, без сравнения с какой-либо национальной мерой. То же справедливо для ватта (через эффект Джозефсона) и килограмма (через ватт-весы / весы Киббла).

Топологическая интерпретация

В 1982 году Дэвид Таулесс с соавторами (TKNN) показал, что холловская проводимость на плато выражается как:

$$\sigma_{xy} = \frac{e^2}{h}\, C$$

где $C$ - число Чёрна, целочисленный топологический инвариант волновых функций заполненных зон Блоха. Это объясняет невероятную устойчивость плато: чтобы изменить $C$, нужно закрыть и заново открыть щель - никакие гладкие возмущения, примеси или деформации этого не делают. Квантование не зависит от деталей системы - оно защищено топологией.

Дункан Холдейн в 1988 году придумал модель, в которой целочисленный квантовый эффект Холла возникает без внешнего магнитного поля - за счёт особой структуры самого гамильтониана. Это первый пример топологического изолятора, и из этой идеи выросла вся современная физика топологических фаз вещества: $Z_2$-изоляторы, квантовый спиновый эффект Холла, вейлевские полуметаллы, топологические сверхпроводники. В 2016 году Нобелевскую премию получили Таулесс, Холдейн и Костерлиц - за «теоретические открытия топологических фазовых переходов и топологических фаз вещества».

Частые ошибки

• Путают коэффициент Холла $R_H$ и постоянную фон Клитцинга $R_K$. Первый - это $V_H d / (IB)$ из классики, $1/(ne)$. Вторая - фиксированная константа $h/e^2$.
• Считают, что дробный эффект - просто «более тонкое квантование». Это качественно другая физика: целочисленный объясняется одночастичными уровнями Ландау, дробный без межэлектронного взаимодействия не существует.
• Забывают про требования к образцу. Дробный эффект виден только в очень чистых 2DEG - нужна высокая подвижность, иначе беспорядок размывает корреляции.
• Принимают плато за «насыщение» сопротивления. На плато $R_{xy}$ постоянно, а $R_{xx}$ обращается в ноль - это совсем не то же самое, что обычное насыщение зависимости.

FAQ

Чем квантовый эффект Холла отличается от спинового? Обычный (зарядовый) квантовый эффект Холла требует магнитного поля и сильно нарушает временную инверсию. Квантовый спиновый эффект Холла (Кейн, Меле, 2005; Кёниг и др., 2007 - HgTe) работает без поля: вместо одного типа краевых каналов есть два встречных, разделённых по спину, инвариант - $Z_2$, а не число Чёрна.

Почему именно GaAs/AlGaAs, а не любой полупроводник? В гетероструктурах GaAs/AlGaAs можно получить рекордно чистый 2DEG с подвижностью $10^7\ \text{см}^2/(\text{В}\cdot\text{с})$ - рассогласование решёток у GaAs и AlGaAs минимальное, легирование разносится в сторону, и электроны почти не сталкиваются с примесями. Сегодня сильную конкуренцию составляет графен - там квантовый эффект Холла наблюдается даже при комнатной температуре в очень сильных полях.

При чём здесь топологические квантовые компьютеры? Возбуждения дробного эффекта на $\nu = 5/2$ предположительно неабелевы: их обмен меняет квантовое состояние системы более сложным образом, чем фазовый множитель. Если это подтвердится, такие возбуждения (неабелевы энионы) можно использовать как кубиты, устойчивые к локальному шуму - это идея топологических квантовых вычислений.

Коротко

Квантовый эффект Холла - это квантование холловского сопротивления в двумерном электронном газе при сильном поле и низкой температуре. Целочисленный режим даёт $R_H = h/(\nu e^2)$ с $\nu = 1, 2, 3, \ldots$ и нулевым продольным сопротивлением; объяснение - уровни Ландау и краевые состояния. Дробный режим даёт плато при $\nu = 1/3, 2/5, 5/2, \ldots$ и невозможен без межэлектронного взаимодействия; ключевая идея - волновая функция Лафлина и дробный заряд возбуждений. Постоянная фон Клитцинга $R_K = h/e^2 \approx 25\,812.8$ Ом служит эталоном сопротивления и входит в новый СИ. Топологическая интерпретация через число Чёрна положила начало физике топологических фаз вещества.