Дробный эффект Холла: ν = 1/3, Лафлин и композитные фермионы

Целочисленный квантовый эффект Холла (von Klitzing, 1980) объяснил, почему в сильном поле и низкой температуре $\sigma_{xy}$ выходит на плато $N e^2/h$ ровно при целых $N$. Через два года Дэниэл Цуи, Хорст Штёрмер и Артур Гомар увидели на новой партии высокоподвижных гетероструктур $\mathrm{GaAs}/\mathrm{AlGaAs}$ при $B \sim 20$ Тл и $T \approx 0{,}5$ К ещё одно плато - но при дробном факторе заполнения $\nu = 1/3$. Это казалось невозможным: в одной частице нет «трети заряда», все одноэлектронные состояния заполняются целиком. Объяснение - сильное электронное взаимодействие порождает принципиально новое коррелированное состояние, и работающая на нём волновая функция Лафлина принесла Нобелевскую премию 1998 года. Это и есть дробный эффект Холла (FQHE, fractional quantum Hall effect).

Эксперимент Цуи–Штёрмера–Гомара

Образцы - модулированно-легированные гетероструктуры $\mathrm{GaAs}/\mathrm{Al}_x\mathrm{Ga}_{1-x}\mathrm{As}$ с двумерным электронным газом на интерфейсе. Подвижность $\mu \gtrsim 10^5\ \mathrm{см}^2/(\mathrm{В}\cdot\mathrm{с})$ - на порядок выше, чем в кремниевых MOSFET-ах, где открыли целочисленный эффект. При $B \approx 15$–$20$ Тл и $T \lesssim 1$ К на зависимости $\rho_{xy}(B)$ кроме целочисленных плато (объяснённых уже год как) появилось аккуратное горизонтальное плато на уровне

$$\rho_{xy} = \frac{h}{(1/3)\, e^2} = \frac{3 h}{e^2} \approx 77{,}5\ \mathrm{кОм}$$

и одновременно - глубокий минимум продольного $\rho_{xx} \to 0$. Поведение в точности повторяло сценарий целочисленного эффекта Холла, но при $\nu = n h/(eB) = 1/3$ - то есть на одну треть заполненного нижнего ландаувского уровня. Дальше нашли плато при $2/5$, $3/7$, $4/9$ (последовательность $p/(2p+1)$), при $2/3$, $3/5$ (последовательность дырочного типа) и редкое плато при $5/2$ во втором ландаувском уровне.

Подобрать аспект конкретно под нужный $\nu$ и понять, что именно спрашивают в задаче - какую формулу холловского сопротивления применить, как устроена волновая функция Лафлина, какие квазичастицы возникают - удобнее не пересказом учебника, а собранным запросом ниже. Выбираешь фактор заполнения и аспект - приходит разбор с формулами, природой основного состояния и экспериментальной сигнатурой.

Плато при $\nu = p/q$ и формула холловского сопротивления

Универсальная формула, объединяющая целочисленный и дробный эффекты:

$$\sigma_{xy} = \nu\, \frac{e^2}{h}, \qquad \rho_{xy} = \frac{h}{\nu\, e^2}, \qquad \nu = \frac{n\, h}{e B}$$

где $n$ - двумерная плотность электронов, $B$ - нормальная компонента поля. Для $\nu = 1/3$ получаем $\rho_{xy} = 3 h/e^2 \approx 77{,}466$ кОм; для $\nu = 2/5$ - $\rho_{xy} = 5 h/(2 e^2) \approx 64{,}555$ кОм. Плато на этих значениях шириной в десятые доли тесла означает, что система имеет щель в спектре возбуждений: малое изменение поля или плотности не выводит её из коррелированного состояния, а лишь добавляет/удаляет квазичастицы за щелью.

В отличие от целочисленного эффекта, который объясняется одночастичными состояниями Ландау и локализацией в случайном потенциале, дробный эффект - чисто многочастичное явление. Без межэлектронного взаимодействия в нижнем уровне Ландау ничего бы не выделилось: при $\nu = 1/3$ есть огромное вырождение, и снять его может только взаимодействие.

Волновая функция Лафлина для $\nu = 1/q$

Роберт Лафлин в 1983 году предложил пробную многочастичную волновую функцию для $\nu = 1/q$ (нечётное $q$):

$$\Psi_{1/q}(z_1, \dots, z_N) = \prod_{i < j} (z_i - z_j)^q\, \exp\!\left(-\sum_k \frac{|z_k|^2}{4 \ell_B^2}\right)$$

где $z_k = x_k + i y_k$ - комплексная координата $k$-го электрона в плоскости, $\ell_B = \sqrt{\hbar/(eB)}$ - магнитная длина. Множитель Якова $\prod (z_i - z_j)^q$ обеспечивает: (а) полную антисимметрию по перестановкам (для нечётного $q$); (б) сильное отталкивание электронов друг от друга (нуль порядка $q$ при сближении); (в) правильное заполнение $\nu = 1/q$, что проверяется подсчётом степени полинома.

Численные расчёты на нескольких десятках электронов показали, что $\Psi_{1/3}$ имеет перекрытие $> 0{,}99$ с точным основным состоянием реалистичного гамильтониана с кулоновским взаимодействием. Это сделало пробную функцию де-факто стандартом для описания состояния $\nu = 1/3$ и принесло Лафлину половину Нобелевской премии 1998 года (вторая половина - Цуи и Штёрмеру за эксперимент).

Квазичастицы с дробным зарядом $e/q$

Лафлин же показал, что возбуждения над $\Psi_{1/q}$ - это локализованные квазидырки и квазиэлектроны с дробным зарядом $\pm e/q$. Аргумент через калибровочный поток: адиабатическое продевание одного кванта потока $\Phi_0 = h/e$ через любую точку 2D-системы сдвигает заряд на $e/q$. Это прямое следствие топологии состояния, не аппроксимация.

Прямое измерение дробного заряда сделала группа Сэминадэйра (Saminadayar et al., 1997) и независимо группа Хейблум (de-Picciotto et al., 1997) через дробовой шум туннельного тока: $S = 2 e^* I$ с $e^* = e/3$ на плато $\nu = 1/3$. Шум измерили в режиме слабого туннелирования через перетяжку (quantum point contact), где квазичастицы рассеиваются по одной - и получили ровно треть электронного заряда.

Композитные фермионы Джейна для $\nu = p/(2p+1)$

Серия плато $\nu = 1/3,\ 2/5,\ 3/7,\ 4/9,\ \dots$ сходится к $\nu = 1/2$. Объяснить весь этот спектр одной функцией типа Лафлина не получается. Jainendra Jain (1989) предложил картинку композитных фермионов (CF): к каждому электрону «прикрепляются» два кванта магнитного потока $2\Phi_0$, и образующиеся составные частицы движутся в эффективном поле

$$B^* = B - 2\, n\, \Phi_0 = B (1 - 2\nu)$$

При $\nu = 1/2$ имеем $B^* = 0$ - композитные фермионы заполняют ферми-море, и никаких плато нет (но есть гладкие максимумы $\rho_{xx}$ - наблюдается экспериментально). При $\nu = p/(2p+1)$ композитные фермионы заполняют ровно $p$ собственных эффективных уровней Ландау - это в точности целочисленный эффект Холла для CF, который в исходных электронных переменных даёт дробный эффект Холла. Тот же приём с прикреплением четырёх квантов потока ($\nu = p/(4p+1)$, серия около $\nu = 1/4$) проверен в эксперименте. Композитные фермионы - самая универсальная картинка FQHE; она же объясняет, почему дробное состояние $5/2$ во втором ландаувском уровне устроено по-другому (там более тонкое спаривание CF).

Дробное плато $5/2$ и связь с топологическими квантовыми вычислениями

Плато при $\nu = 5/2$ (Уиллет, 1987) выделяется тем, что знаменатель чётный - лафлиновская схема не работает. Принятая интерпретация - pfaffian-состояние Мура–Рида: композитные фермионы из верхнего полузаполненного уровня Ландау спариваются как в сверхпроводнике $p$-волнового типа. Возбуждения над таким состоянием - это неабелевы анионы: перестановка двух квазичастиц меняет состояние системы не на фазовый множитель, а на унитарную матрицу в вырожденном многоквазичастичном гильбертовом пространстве.

Это и есть теоретическая основа топологических квантовых вычислений: логические гейты выполняются физическим перемещением (плетением, braiding) квазичастиц $5/2$, а защищённость от декогеренции обеспечивается топологически - вычисление кодируется в нелокальной структуре состояния и не разрушается локальным шумом. Прямого доказательства неабелевой статистики $5/2$ пока нет; ведутся интерферометрические эксперименты.

Чем дробный эффект Холла отличается от целочисленного, спинового и аномального

• Целочисленный (IQHE) - плато при целых $\nu$, объясняется одночастичной локализацией и заполнением уровней Ландау; не требует электронного взаимодействия. Разобран отдельно в статье про квантовый эффект Холла.
• Дробный (FQHE) - плато при дробных $\nu$, возникает только из-за межэлектронного взаимодействия; основные состояния - Лафлин и композитные фермионы. Квазичастицы имеют дробный заряд.
• Спиновый эффект Холла - поперечное разделение спинов (а не зарядов) в немагнитном проводнике со спин-орбитальной связью; без сильного магнитного поля.
• Аномальный эффект Холла - поперечное напряжение в ферромагнетике, пропорциональное намагниченности $M_z$; объясняется кривизной Берри и спин-орбитальным механизмом.

Типовые задачи в курсе физики твёрдого тела

• По данной плотности 2DEG и полю $B$ найти $\nu$ и проверить, попадает ли точка на дробное плато.
• Для заданного $\nu = p/q$ посчитать $\rho_{xy} = h/(\nu e^2)$ в омах.
• Для серии $\nu = p/(2p+1)$ показать, что в схеме композитных фермионов это IQHE с $p$ заполненными эффективными уровнями.
• Оценить дробовой шум через QPC при $\nu = 1/3$ и связать $S/I$ с $e^* = e/3$.

Частые ошибки

• Пытаются объяснить плато $\nu = 1/3$ одночастичными уровнями Ландау. Не получится: без взаимодействия в нижнем уровне громадное вырождение, и никакого плато бы не было.
• Считают, что у одного электрона «заряд $e/3$». Дробный заряд $e/3$ - это свойство квазичастицы, эмерджентного возбуждения коррелированной жидкости, а не одиночного электрона.
• Применяют волновую функцию Лафлина к чётному $q$ или к $\nu = 2/5$. $\Psi_{1/q}$ работает только при $\nu = 1/q$ с нечётным $q$. Для $2/5$, $3/7$ и т. д. - композитные фермионы Джейна; для $5/2$ - pfaffian Мура–Рида.
• Путают $\nu = 1/2$ и $\nu = 5/2$. При $\nu = 1/2$ плато нет - это ферми-море композитных фермионов в нулевом эффективном поле. Плато $5/2$ во втором уровне Ландау - другая физика (спаривание CF).

FAQ

Чему равно $\rho_{xy}$ на плато дробного эффекта Холла при $\nu = 1/3$? $\rho_{xy} = h/(\nu e^2) = 3 h/e^2 \approx 77{,}4659\ \mathrm{кОм}$. То же квантовое сопротивление, что в IQHE, только умноженное на $1/\nu = 3$.

Зачем нужны композитные фермионы? Чтобы единым языком описать всю серию плато $\nu = p/(2p+1)$. Прикрепление двух квантов потока к электрону превращает FQHE в эффективный IQHE для составной частицы - и сразу получается весь спектр Джейна, а не одно состояние Лафлина.

Что такое плато $5/2$ и при чём тут квантовые компьютеры? Это дробное плато с чётным знаменателем; основное состояние, предположительно, описывается pfaffian-волновой функцией Мура–Рида со спариванием композитных фермионов. Возбуждения - неабелевы анионы, и их braiding можно использовать как защищённые топологические квантовые гейты. Это одна из главных платформ программы топологических квантовых вычислений.

Коротко

Дробный эффект Холла - плато $\sigma_{xy} = \nu e^2/h$ при дробных $\nu = 1/3, 2/5, 5/2$ и других, открытое в 1982 году Цуи, Штёрмером и Гомаром на гетероструктурах $\mathrm{GaAs}/\mathrm{AlGaAs}$. Объяснение чисто многочастичное: при $\nu = 1/q$ работает волновая функция Лафлина $\Psi = \prod (z_i - z_j)^q \exp(-\sum |z_k|^2/4)$ с дробно-заряженными квазичастицами $e/q$ (Нобель 1998), а серия $\nu = p/(2p+1)$ описывается композитными фермионами Джейна (электрон + два кванта потока, движущиеся в эффективном поле $B^* = B(1-2\nu)$). Особняком стоит $\nu = 5/2$ - pfaffian Мура–Рида с неабелевыми анионами, кандидат на платформу топологических квантовых вычислений.