Классический эффект Холла: формула, постоянная Холла, носители заряда

В 1879 году аспирант Эдвин Холл, перепроверяя замечание Максвелла о том, что магнитное поле не должно действовать на ток в металле, поставил аккуратный опыт. Он пропустил постоянный ток через тонкую золотую полоску, поместил её в магнитное поле перпендикулярно плоскости и измерил разность потенциалов между боковыми гранями. Поперечное напряжение действительно появилось - небольшое, но измеримое - и линейно росло с током и полем. Это и есть классический эффект Холла: в проводнике с током $I$ в магнитном поле $B$ на торцах перпендикулярного направления возникает ЭДС $V_H$, знак и величина которой однозначно определяются типом и концентрацией носителей заряда. С тех пор он стал базовым инструментом измерения концентрации и подвижности, основой магнитных датчиков и точкой отсчёта для целого семейства родственных явлений - квантового, спинового, аномального и дробного эффектов Холла.

Исторический контекст: Edwin Hall, 1879

Холл работал у Генри Роуленда в Johns Hopkins University. Идея была проста: если магнитное поле толкает движущиеся электрические заряды, то в проводнике с током оно должно сдвигать носители к одной грани, и между этой гранью и противоположной должна появиться разность потенциалов. Первые попытки с массивными медными проволоками ничего не дали - эффект пропорционален обратной толщине, и в толстом проводнике он тонет в шумах. Холл взял тонкую (порядка десятых миллиметра) золотую фольгу, пропустил через неё ток порядка ампера в поле электромагнита и зарегистрировал поперечное напряжение порядка микровольт. Сам Холл интерпретировал его в рамках классической электродинамики, без понятия об электронах - те ещё не были открыты (Дж. Дж. Томсон сделает это только в 1897 году). Знак и концентрация носителей вошли в анализ позже, когда стало ясно, что носитель тока в металле - электрон, а в полупроводнике может быть и дырка.

Сила Лоренца и появление поперечного поля

Микроскопическая картина проста. Пусть носители имеют заряд $q$, концентрацию $n$ и среднюю дрейфовую скорость $\vec v$ вдоль оси $x$. Внешнее магнитное поле $\vec B$ направлено по $z$. На каждый носитель действует сила Лоренца

$$\vec F = q\, \vec v \times \vec B$$

которая для $\vec v = v\hat x$ и $\vec B = B\hat z$ даёт компоненту $F_y = -q v B$. В первые мгновения после включения поля носители смещаются к одной из боковых граней, заряд накапливается, и появляется поперечное электрическое поле $E_y$. В установившемся режиме оно компенсирует магнитную силу:

$$q E_y + q v B = 0 \quad\Rightarrow\quad E_y = -v B$$

Дрейфовая скорость связана с плотностью тока соотношением $j_x = n q v$, откуда $v = j_x/(n q)$ и $E_y = -j_x B/(n q)$. Поперечное напряжение между двумя боковыми гранями шириной $w$ равно $V_H = E_y \cdot w$. Если выразить ток через плотность ($I = j_x \cdot w \cdot t$, где $t$ - толщина образца), $w$ сокращается и остаётся компактная рабочая формула

$$V_H = \frac{I B}{n q\, t}$$

Для удобства знак заряда вынесен в постоянную Холла $R_H$, см. следующий раздел.

Постоянная Холла и знак носителей

Постоянная Холла - материальный параметр, не зависящий от геометрии:

$$R_H \equiv \frac{E_y}{j_x B} = \frac{1}{n q}, \qquad V_H = \frac{R_H\, I\, B}{t}$$

Для электронной проводимости $q = -e$ и $R_H < 0$; для дырочной $q = +e$ и $R_H > 0$. Поэтому знак холловского напряжения сразу даёт тип основных носителей, а его величина - их концентрацию: $n = 1/(|R_H|\,e)$. Для меди при комнатной температуре эксперимент даёт $R_H \approx -5{,}3 \cdot 10^{-11}\ \mathrm{м}^3/\mathrm{Кл}$, что соответствует $n \approx 8{,}5\cdot 10^{28}\ \mathrm{м}^{-3}$ - одна свободная единица заряда на атом, как и положено одновалентному металлу. Для слабо легированного кремния $n$-типа $R_H$ отрицательная и на много порядков больше по модулю, что отражает на пять-семь порядков меньшую концентрацию электронов проводимости.

Холловская подвижность и связь с удельной проводимостью

Если умножить постоянную Холла на удельную проводимость $\sigma$, получится подвижность носителей:

$$\mu_H = |R_H|\,\sigma = \frac{|q|\,\tau}{m^*}$$

В этой комбинации концентрация $n$ сокращается, и остаётся чистый показатель того, насколько подвижен носитель в данной решётке: подвижность $\mu$ - это скорость дрейфа на единицу электрического поля. Для электронов в чистом монокристалле кремния при комнатной температуре $\mu \approx 1350\ \mathrm{см}^2/(\mathrm{В}\cdot\mathrm{с})$, в GaAs $n$-типа - около $8500$, в графене на подложке - десятки тысяч, в высокоподвижных гетероструктурах $\mathrm{GaAs}/\mathrm{AlGaAs}$ - миллионы. Один и тот же замер $V_H$ при известных $I$ и $B$ плюс независимое измерение $\sigma$ (или удельного сопротивления $\rho = 1/\sigma$) даёт сразу и $n$, и $\mu$.

Метод Ван-дер-Пау для произвольной формы образца

Холлова геометрия в учебниках - прямоугольная полоска с четырьмя контактами по углам. Реальные плёнки и пластины редко имеют такую форму. Лео ван дер Пау (van der Pauw, 1958) показал, что для образца произвольной формы - лишь бы плоская, односвязная и с четырьмя контактами на периметре - удельное сопротивление и постоянная Холла извлекаются из двух токово-потенциометрических измерений по комбинаторной формуле

$$\exp\!\left(-\frac{\pi R_{AB,CD}\, t}{\rho}\right) + \exp\!\left(-\frac{\pi R_{BC,DA}\, t}{\rho}\right) = 1$$

и стандартного «холловского» замера с током по диагонали и магнитным полем нормально к плёнке. Это сделало эффект Холла рабочей лошадкой полупроводниковой характеризации: пятна индия в углах квадратного кусочка GaAs или Si хватает, чтобы получить $\rho$, $R_H$, $n$ и $\mu$ за один сеанс. Метод стандартизован в ASTM F76 и применяется массово.

Двухзонный учёт и аномалии в металлах

Простая формула $R_H = 1/(n q)$ работает, когда носитель один и его рассеяние изотропно. В реальных металлах поверхность Ферми сложная, в проводимости участвуют и электроны, и дырки разных зон, и в умеренных полях ($\omega_c \tau \ll 1$, где $\omega_c = eB/m^*$ - циклотронная частота) приходится использовать двухзонную формулу

$$R_H = \frac{1}{e}\, \frac{p\mu_p^2 - n\mu_n^2}{(p\mu_p + n\mu_n)^2}$$

Она объясняет, почему у бериллия, цинка, кадмия знак $R_H$ положительный (доминирует дырочная зона), а у алюминия в сильных полях $R_H$ выходит на «правильное» значение $+1/(3 e n_{Al})$ - три валентных электрона на атом приводят к трёхкратно перезаполненной зоне, и эффективные носители оказываются дырочными. В очень сильных полях ($\omega_c \tau \gg 1$) холловское сопротивление линейно по $B$ и не зависит от рассеяния - это «высокополевой» режим, в котором $R_H = 1/(n q)$ снова работает буквально, но уже без оговорок про усреднение.

Применения: датчики поля, MEMS, бесколлекторные двигатели

Поскольку $V_H$ при фиксированных $I$ и $t$ линейно зависит от $B$, эффект Холла лежит в основе целого класса магнитных датчиков. Кремниевые холл-сенсоры (Allegro, Melexis, TI и другие) измеряют поля от микротесла до тесла, имеют ширину полосы до сотен килогерц и стоят центы за штуку. На них работают:

• бесконтактные датчики положения в MEMS-устройствах;
• датчики тока (током наводится поле, через холловский элемент в зазоре магнитопровода);
• датчики угла и положения ротора в бесколлекторных (BLDC) двигателях - три холл-сенсора на 120° дают коммутационный сигнал;
• кодовые датчики (зубчатое колесо + магнит + холл-элемент);
• считыватели магнитных полос, ленточные накопители, считыватели карт.

Высокая подвижность InSb и GaAs даёт холловским датчикам на этих материалах в десятки раз бóльшую чувствительность, чем кремниевым, но при бóльшей температурной нестабильности.

Связь с квантовым, спиновым, аномальным и дробным эффектами Холла

Классический эффект - линейный, не квантованный и не зависит от спина. Из него выросло целое семейство:

• Квантовый эффект Холла (фон Клитцинг, 1980) - в сильном поле и низкой температуре $R_{xy}$ выходит на квантованные плато $h/(N e^2)$ с $N = 1, 2, 3, \dots$; работает только в двумерном электронном газе с уровнями Ландау.
• Дробный эффект Холла (Цуи, Штёрмер, 1982) - плато при дробных $\nu = 1/3, 2/5, 5/2$, объясняется межэлектронным взаимодействием и волновой функцией Лафлина.
• Спиновый эффект Холла (обзор) - поперечный спиновый ток в материале со спин-орбитальной связью без магнитного поля; ключ к спинтронике.
• Аномальный эффект Холла (разбор) - поперечное напряжение в ферромагнетике, пропорциональное намагниченности $M_z$; объясняется кривизной Берри и спин-орбитальным рассеянием.

Классический эффект Холла остаётся базой: на нём калибруют квантовый ($R_H$ при $B \to 0$ задаёт $n$), от него отделяют аномальный ($\rho_{xy} = R_0 B + R_A M_z$), с ним сравнивают спиновый (там переносится не заряд, а спин). Без понимания формулы $V_H = I B/(n e t)$ в эти семейства входить бесполезно.

Типовые задачи

• По измеренному $V_H$ при заданных $I$, $B$, $t$ найти концентрацию $n$ и тип носителей.
• По известной $\sigma$ и $R_H$ оценить подвижность $\mu = R_H \sigma$.
• Сравнить $R_H$ для меди, кремния $n$-типа и сильно легированного GaAs - отличия в порядки.
• В двухзонной модели объяснить смену знака $R_H$ при росте температуры в собственном полупроводнике.

Частые ошибки

• Считают, что эффект Холла работает только для электронов. В дырочных полупроводниках $R_H > 0$ - знак как раз и определяет тип основных носителей.
• Подставляют не толщину, а длину образца в $V_H = I B/(n q t)$. Толщина $t$ - это размер вдоль магнитного поля; именно в неё «прячется» вся геометрическая зависимость.
• Применяют однозонную формулу $R_H = 1/(n e)$ к компенсированным полуметаллам. Там и электроны, и дырки сопоставимы, и нужна двухзонная формула; знак может смениться от температуры.
• Игнорируют поправку $\omega_c \tau$. В умеренных полях измеренная $R_H$ - это среднее по рассеянию, и связь с «истинной» концентрацией требует независимой оценки времени релаксации.

FAQ

Чему равно холловское напряжение в типичной задаче? Для медной пластинки толщиной $t = 100$ мкм, тока $I = 1$ А, поля $B = 1$ Тл и концентрации $n = 8{,}5 \cdot 10^{28}\ \mathrm{м}^{-3}$ получается $V_H = I B / (n e t) \approx 7{,}4\ \mathrm{мкВ}$ - действительно небольшая величина, отсюда и трудности первых экспериментов Холла на массивных образцах. Для GaAs $n$-типа с $n \approx 10^{23}\ \mathrm{м}^{-3}$ при тех же $I$, $B$, $t$ напряжение уже миллионы раз больше - порядка десятков милливольт.

Как определить, электронный или дырочный полупроводник? По знаку $R_H$. Меряем $V_H$ при известных направлениях тока и поля; знак напряжения относительно базы образца однозначно сопоставляется со знаком носителей. На практике используют четырёхконтактный мост Холла или схему ван дер Пау с реверсом тока - это убирает паразитные термоэдс и контактные смещения.

Почему холловская формула не работает в сильном поле сложных металлов? Потому что появляются магнетосопротивление, циклотронные орбиты и многозонный вклад. Простая $R_H = 1/(n e)$ - результат усреднения в режиме $\omega_c \tau \ll 1$; в сильном поле выходим в режим $\omega_c \tau \gg 1$, где сопротивление становится тензором с богатой угловой зависимостью, а в двумерных системах при низких температурах вообще наступает квантовый эффект Холла со ступеньками.

Коротко

Классический эффект Холла - поперечная ЭДС $V_H = I B/(n e t)$ в проводнике с током $I$ в поле $B$, открытая Эдвином Холлом в 1879 году. Постоянная Холла $R_H = 1/(n q)$ зависит только от концентрации и знака носителей: знак - это тип проводимости, модуль - концентрация. В сочетании с удельной проводимостью получаем подвижность $\mu_H = R_H \sigma$, для образцов произвольной формы используется метод ван дер Пау. На этой формуле живут массовые магнитные датчики, бесколлекторные двигатели и характеризация полупроводников; из неё же выросли квантовый, дробный, спиновый и аномальный эффекты Холла, которые остаются её квантовыми, релятивистскими и магнитными надстройками.