Сила Ампера между параллельными проводниками

Если по двум длинным параллельным проводникам текут токи, они начинают взаимодействовать: каждый создаёт вокруг себя магнитное поле, а второй проводник с током в этом поле испытывает силу Ампера. При одинаковом направлении токов проводники притягиваются, при противоположном - отталкиваются. Эта пара «поле плюс ток в поле» лежит в основе определения ампера и постоянно встречается в задачах по магнетизму. Ниже разберём, откуда берётся формула силы на единицу длины, как через неё считать полную силу, как определить знак взаимодействия и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь токов, расстояния и силы, покрути калькулятор ниже: он показывает схему проводников, силу на метр и график её зависимости от расстояния, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Откуда берётся сила Ампера между проводниками

Взаимодействие двух проводников складывается из двух шагов. Сначала первый проводник с током $I_1$ создаёт вокруг себя магнитное поле. На расстоянии $d$ от длинного прямого проводника индукция этого поля равна

$B = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi d},$

где $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Тл·м/А - магнитная постоянная. Линии поля - это концентрические окружности вокруг проводника, и в месте, где проходит второй проводник, вектор $B$ направлен перпендикулярно ему.

Рассчитать для своей задачи

Второй шаг - второй проводник с током $I_2$ оказывается в этом поле и испытывает силу Ампера. На участок длиной $L$ действует сила $F = B I_2 L \sin\alpha$, а так как поле перпендикулярно проводнику, $\sin\alpha = 1$. Подставив выражение для $B$, получаем силу взаимодействия двух проводников. Удобнее всего записывать её через силу на единицу длины - она не зависит от того, какой кусок проводника мы рассматриваем.

Формула силы на единицу длины

Объединяя оба шага, приходим к главной формуле взаимодействия параллельных проводников - силе, приходящейся на единицу длины:

$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d}.$

Здесь $I_1$ и $I_2$ - токи в амперах, $d$ - расстояние между осями проводников в метрах, $F/L$ получается в ньютонах на метр. Формула симметрична относительно токов: на оба проводника действует одинаковая по модулю сила, как и требует третий закон Ньютона, хотя токи могут быть разными.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы сразу видны три зависимости. Сила растёт пропорционально произведению токов: удвоив любой из них, удваиваем силу. Сила обратно пропорциональна расстоянию: разведя проводники вдвое дальше, ослабляем взаимодействие вдвое. И сила не зависит от материала проводников - только от токов и геометрии. Чтобы получить полную силу на конкретном участке, силу на единицу длины умножают на длину:

$F = \frac{\mu_0 I_1 I_2 L}{2\pi d}.$

Притяжение или отталкивание

Знак взаимодействия определяется взаимным направлением токов, и это самый частый источник путаницы. Правило простое: токи одного направления притягиваются, токи противоположных направлений отталкиваются. Это противоположно тому, как ведут себя одноимённые электрические заряды, поэтому интуиция из электростатики здесь подводит.

Рассчитать для своей задачи

Понять знак помогает правило левой руки или векторное произведение $\vec{F} = I_2 \vec{L} \times \vec{B}$. Если оба тока текут, скажем, вверх, то поле первого проводника в месте второго направлено к нам или от нас, и сила, действующая на второй проводник, оказывается направленной к первому - проводники сближаются. Поменяв направление одного из токов, мы разворачиваем силу - проводники расходятся. В калькуляторе выше переключатель направления токов наглядно меняет стрелки силы, не трогая её модуль.

Связь с определением ампера

Именно эта формула долгое время служила определением единицы силы тока. Ампер определяли как силу неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямым проводникам бесконечной длины, расположенным на расстоянии 1 метр в вакууме, вызывает между ними силу $2 \cdot 10^{-7}$ ньютона на каждый метр длины. Подставьте в формулу $I_1 = I_2 = 1$ А и $d = 1$ м - получите ровно это число, потому что $\mu_0/(2\pi) = 2 \cdot 10^{-7}$. С 2019 года ампер определяют через фиксированный элементарный заряд, но соотношение между током и силой осталось тем же и по-прежнему используется в расчётах.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку: по двум длинным параллельным проводникам, расположенным на расстоянии $d = 5$ см друг от друга, текут одинаково направленные токи $I_1 = I_2 = 10$ А. Найти силу взаимодействия на единицу длины и определить, притягиваются проводники или отталкиваются.

Сначала переведём расстояние в метры, иначе формула даст неверный порядок величины:

$d = 5\ \text{см} = 0{,}05\ \text{м}.$

Подставляем числа в формулу силы на единицу длины:

$\frac{F}{L} = \frac{\mu_0 I_1 I_2}{2\pi d} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 10 \cdot 10}{2\pi \cdot 0{,}05}.$

Сократив $\pi$ и упростив, получаем:

$\frac{F}{L} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 100}{0{,}05} = 4 \cdot 10^{-4}\ \text{Н/м} = 0{,}4\ \text{мН/м}.$

Так как токи направлены одинаково, проводники притягиваются. Если нужна полная сила на участке длиной, например, $L = 2$ м, умножаем: $F = 4 \cdot 10^{-4} \cdot 2 = 8 \cdot 10^{-4}$ Н. Калькулятор выше собирает именно эту цепочку рассуждений автоматически, оставляя вам контроль над числами и единицами.

Частые ошибки

• Расстояние в сантиметрах. Формула работает только когда $d$ в метрах. Сантиметры дают ошибку в десятки и сотни раз. Переводите: $5\ \text{см} = 0{,}05\ \text{м}$.
• Путаница знака. Одинаковые токи притягиваются, противоположные отталкиваются - наоборот, чем заряды. Не переносите интуицию из электростатики.
• Потеря множителя $2\pi$. В знаменателе стоит именно $2\pi d$, а не $\pi d$ или $d$. Пропуск $2\pi$ завышает силу примерно в шесть раз.
• Смешение силы на метр и полной силы. $F/L$ измеряется в Н/м, а полная сила $F$ - в ньютонах. Не забывайте умножить на длину $L$, если спрашивают полную силу.
• Неверная магнитная постоянная. $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Тл·м/А. Часто путают с $\mu_0/(2\pi) = 2 \cdot 10^{-7}$ и подставляют не туда.

FAQ

Почему параллельные проводники с одинаковыми токами притягиваются? Первый ток создаёт магнитное поле, а второй ток в этом поле испытывает силу Ампера. Для сонаправленных токов векторное произведение $I_2 \vec{L} \times \vec{B}$ направлено к первому проводнику, поэтому они сближаются. Если развернуть один ток, сила меняет направление и проводники отталкиваются.

Как сила зависит от расстояния между проводниками? Сила на единицу длины обратно пропорциональна расстоянию: $F/L \sim 1/d$. Увеличив расстояние вдвое, мы ослабляем взаимодействие вдвое. На графике в калькуляторе это видно как гипербола - сила резко падает при разведении проводников.

Чему равна сила между проводниками с токами 1 А на расстоянии 1 метр? Подставив $I_1 = I_2 = 1$ А и $d = 1$ м, получаем $F/L = 2 \cdot 10^{-7}$ Н/м. Именно это значение лежало в основе старого определения ампера через силу взаимодействия двух параллельных проводников.

Коротко

Два параллельных проводника взаимодействуют через магнитное поле: первый создаёт поле $B = \mu_0 I_1/(2\pi d)$, а второй испытывает в нём силу Ампера. Сила на единицу длины равна $F/L = \mu_0 I_1 I_2/(2\pi d)$, а полная сила получается умножением на длину $L$. Токи одного направления притягиваются, противоположных - отталкиваются. Главное в задачах - переводить расстояние в метры, не терять множитель $2\pi$ и различать силу на метр и полную силу.