Векторный потенциал магнитного поля: формула и смысл

Векторный потенциал магнитного поля - это векторное поле $\vec A$, через которое магнитную индукцию выражают как ротор: $\vec B = \nabla \times \vec A$, или $\vec B = \mathrm{rot}\,\vec A$. Магнитное поле не имеет источников в виде «зарядов» (нет магнитных монополей), поэтому его дивергенция всегда нулевая, $\nabla \cdot \vec B = 0$. А любое поле с нулевой дивергенцией можно представить как ротор другого поля - этим другим полем и оказывается $\vec A$. Ниже разберём, как он связан с $\vec B$, как получить формулу для прямого провода и соленоида, что означают его циркуляция и калибровка, и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь тока, расстояния и потенциала, покрутите калькулятор ниже: он считает $A$ и $B$ для двух классических конфигураций и строит их профили по $r$.

Что такое векторный потенциал и зачем он нужен

В электростатике потенциал $\varphi$ упрощает жизнь: вместо трёх компонент поля $\vec E$ работаем с одной скалярной функцией, а само поле получаем градиентом, $\vec E = -\nabla \varphi$. С магнитным полем так не выйдет: $\vec B$ не градиент скаляра, потому что его циркуляция по замкнутому контуру в общем случае не равна нулю (закон Ампера). Зато $\vec B$ не имеет источников, и для него существует своя «удобная функция» - векторный потенциал $\vec A$, такой что

$\vec B = \nabla \times \vec A.$

Эта подстановка автоматически удовлетворяет уравнению $\nabla \cdot \vec B = 0$, потому что дивергенция ротора любого поля тождественно равна нулю. В отличие от скалярного потенциала, $\vec A$ сам является вектором, поэтому компонент у него три, но во многих симметричных задачах ненулевой остаётся только одна, и работать с потенциалом оказывается проще, чем с полем напрямую. Именно $\vec A$ входит в лагранжиан заряженной частицы, в эффект Ааронова - Бома и в квантовую механику - там он становится не вспомогательной, а физически наблюдаемой величиной.

Формула векторного потенциала прямого провода

Самый частый учебный пример - бесконечный прямой провод с током $I$. Поле вокруг него азимутальное и спадает как $1/r$:

$B(r) = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$

Векторный потенциал направлен вдоль провода (вдоль оси $z$), и его осевая компонента равна

$A_z(r) = -\frac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\frac{r}{r_0},$

где $r_0$ - произвольный опорный радиус, на котором мы условились считать $A_z = 0$. Проверить эту формулу легко: для цилиндрической симметрии азимутальная компонента ротора равна $B_\varphi = -\dfrac{\partial A_z}{\partial r}$, а производная логарифма как раз даёт

$B = -\frac{dA_z}{dr} = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$

То есть поле - это просто крутизна спада потенциала. На графике это видно сразу: профиль $A_z(r)$ медленно ползёт вниз по логарифму, а его наклон в каждой точке и есть значение $B(r)$.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на знак: потенциал убывает с расстоянием, поэтому его производная отрицательна, а поле получается положительным. Логарифм в формуле - следствие того, что провод бесконечный: для конечного отрезка вид потенциала сложнее, но вблизи длинного провода это приближение работает отлично.

Циркуляция потенциала равна магнитному потоку

Главный физический смысл $\vec A$ удобно увидеть на втором примере из калькулятора - длинном соленоиде. Внутри него поле $\vec B$ однородно и направлено вдоль оси, а потенциал закручен вокруг оси по окружностям:

$A_\varphi(r) = \frac{B r}{2}.$

Возьмём окружность радиуса $r$ вокруг оси и посчитаем циркуляцию потенциала по ней:

$\oint \vec A \cdot d\vec l = A_\varphi \cdot 2\pi r = \frac{B r}{2}\cdot 2\pi r = B\pi r^2 = \Phi.$

Справа получился ровно магнитный поток $\Phi = B \cdot \pi r^2$ сквозь этот круг. Это не совпадение, а общее правило, которое следует из теоремы Стокса: циркуляция векторного потенциала по любому замкнутому контуру равна магнитному потоку через натянутую на него поверхность,

$\oint \vec A \cdot d\vec l = \int (\nabla \times \vec A)\cdot d\vec S = \int \vec B \cdot d\vec S = \Phi.$

Поэтому $\vec A$ удобно представлять как поле, которое «обходит» силовые линии $\vec B$ кольцами: чем гуще закручен потенциал вокруг области, тем больше поток сквозь неё. Поэкспериментируйте с калькулятором в режиме соленоида - поле остаётся постоянным, а потенциал и поток растут с радиусом.

Рассчитать для своей задачи

Калибровка: почему A определён неоднозначно

У векторного потенциала есть особенность, которой нет у поля: он определён неоднозначно. К нему можно прибавить градиент любой скалярной функции $f$, и магнитное поле от этого не изменится:

$\vec A \;\to\; \vec A' = \vec A + \nabla f.$

Причина простая: ротор градиента тождественно равен нулю, $\nabla \times (\nabla f) = 0$, поэтому $\nabla \times \vec A' = \nabla \times \vec A = \vec B$. Это свойство называется калибровочной инвариантностью, а выбор конкретной функции $f$ (а с ней и конкретного вида $\vec A$) - калибровкой. На анимации ниже видно, как добавление градиента заметно перестраивает стрелки потенциала, но завихрение, которое и есть $\vec B = \mathrm{rot}\,\vec A$, остаётся неизменным.

Рассчитать для своей задачи

На практике калибровку выбирают так, чтобы упростить уравнения. Чаще всего берут кулоновскую калибровку $\nabla \cdot \vec A = 0$: при ней уравнение для потенциала превращается в уравнение Пуассона, как для скалярного потенциала, и решается теми же методами. В магнитостатике это даёт удобную интегральную формулу для $\vec A$ через плотность тока.

A через плотность тока

В кулоновской калибровке уравнение для потенциала записывается через плотность тока $\vec j$:

$\nabla^2 \vec A = -\mu_0 \vec j.$

По форме это в точности уравнение Пуассона для каждой компоненты, поэтому решение строится по аналогии с электростатикой - интегралом по всем токам:

$\vec A(\vec r) = \frac{\mu_0}{4\pi}\int \frac{\vec j(\vec r\,{}')}{|\vec r - \vec r\,{}'|}\,dV'.$

Эта формула - «магнитный аналог» потенциала точечного заряда: вклад каждого элемента тока в потенциал убывает обратно пропорционально расстоянию. Из неё, взяв ротор, можно вывести закон Био - Савара для $\vec B$. Удобство в том, что $\vec A$ направлен туда же, куда течёт ток, поэтому для прямого провода он автоматически получается осевым, а для кольца - азимутальным, без громоздких векторных произведений.

Частые ошибки

• Путают $\vec A$ с напряжённостью или потенциалом $\varphi$. Векторный потенциал - это вектор, связанный с $\vec B$ через ротор, а скалярный потенциал $\varphi$ связан с $\vec E$ через градиент. Это разные объекты.
• Считают $\vec A$ однозначным. Потенциал определён с точностью до градиента произвольной функции. Спрашивать «чему точно равен $\vec A$» без указания калибровки некорректно.
• Берут $\vec B = \nabla \cdot \vec A$ вместо ротора. Поле связано с потенциалом именно ротором $\nabla \times \vec A$, а не дивергенцией. Дивергенция $\vec A$ - это калибровочное условие, а не поле.
• Забывают про опорный радиус $r_0$. В формуле для провода $A_z$ содержит логарифм и обращается в ноль на радиусе $r_0$, который выбирают сами. Абсолютное значение $A_z$ без указания $r_0$ смысла не имеет, а вот разность потенциалов и поле - имеют.
• Думают, что у потенциала всегда три ненулевые компоненты. В симметричных задачах $\vec A$ обычно направлен вдоль тока, и ненулевой остаётся одна компонента.

FAQ

В чём разница между векторным потенциалом и магнитным полем? Магнитное поле $\vec B$ - это то, что действует силой на движущиеся заряды, его можно измерить напрямую. Векторный потенциал $\vec A$ - вспомогательное поле, через которое $\vec B$ выражается как ротор. Поле однозначно, а потенциал определён с точностью до калибровки.

Как найти B по векторному потенциалу? Взять ротор: $\vec B = \nabla \times \vec A$. В декартовых координатах это определитель с операторами частных производных, в цилиндрических для осевого $A_z$ удобна формула $B_\varphi = -\partial A_z/\partial r$. Наклон профиля потенциала по координате и даёт компоненту поля.

Имеет ли векторный потенциал физический смысл или это просто математика? В классической магнитостатике $\vec A$ удобен, но не обязателен - всё можно посчитать через $\vec B$. Однако в квантовой механике он входит в уравнение движения заряда напрямую: эффект Ааронова - Бома показывает, что частица «чувствует» $\vec A$ даже там, где $\vec B = 0$. Так что потенциал - больше, чем удобная математика.

Коротко

Векторный потенциал $\vec A$ - это поле, через которое магнитную индукцию записывают как ротор, $\vec B = \nabla \times \vec A$; такая запись автоматически даёт $\nabla \cdot \vec B = 0$. Для прямого провода $A_z = -\dfrac{\mu_0 I}{2\pi}\ln\dfrac{r}{r_0}$, и его наклон по $r$ равен полю $B$. Циркуляция потенциала по замкнутому контуру равна магнитному потоку сквозь него, а сам $\vec A$ определён с точностью до градиента произвольной функции (калибровочная инвариантность), поэтому конкретный вид потенциала зависит от выбора калибровки, тогда как поле от этого выбора не зависит.