Уравнения Максвелла: ковариантная форма и тензор поля

Четыре векторных уравнения Максвелла выглядят так, будто электрическое и магнитное поля живут отдельной жизнью. Но стоит перейти в другую инерциальную систему отсчёта, как электрическое поле частично превращается в магнитное и наоборот - значит, это две стороны одного объекта. Ковариантная форма как раз и собирает все четыре уравнения в две короткие тензорные записи, где лоренц-инвариантность видна явно, а не угадывается. Разберём, как из 4-потенциала и 4-тока строится тензор электромагнитного поля и почему такая запись стала стандартом релятивистской электродинамики.

Если нужно не просто прочитать, а решить конкретную задачу - свести систему к тензорной форме, выписать компоненты $F^{\mu\nu}$ или доказать инвариантность - соберите условие в калькуляторе ниже, и разбор придёт по шагам.

От четырёх уравнений к двум

В привычной форме система Максвелла в вакууме (СГС) состоит из четырёх уравнений:

$$\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\rho,\quad \nabla\times\mathbf{B}-\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}=\frac{4\pi}{c}\mathbf{j}$$ $$\nabla\cdot\mathbf{B}=0,\quad \nabla\times\mathbf{E}+\frac{1}{c}\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}=0$$

Первая пара - с источниками (заряд и ток), вторая - однородная (без источников). В ковариантной записи они превращаются ровно в два тензорных уравнения. Это не косметика: запись через 4-векторы и тензоры делает преобразование Лоренца автоматическим - обе части уравнения преобразуются одинаково, поэтому форма уравнения одна и та же во всех инерциальных системах.

Ключевая идея - собрать поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в один антисимметричный тензор второго ранга, а заряд и ток - в один 4-вектор. Тогда уравнения становятся короче, а их инвариантность - очевидной.

4-потенциал и 4-ток

Стартовые «кирпичи» - два 4-вектора. Электромагнитный 4-потенциал объединяет скалярный потенциал $\varphi$ и векторный потенциал $\mathbf{A}$:

$$A^{\mu}=\left(\varphi,\ \mathbf{A}\right),\qquad \mu=0,1,2,3$$

а 4-ток собирает плотность заряда и плотность тока:

$$j^{\mu}=\left(c\rho,\ \mathbf{j}\right)$$

Здесь же действует метрика Минковского $g_{\mu\nu}=\mathrm{diag}(+1,-1,-1,-1)$, которой поднимают и опускают индексы. Поля выражаются через потенциалы стандартно: $\mathbf{E}=-\nabla\varphi-\tfrac{1}{c}\partial_t\mathbf{A}$ и $\mathbf{B}=\nabla\times\mathbf{A}$. О том, как из этих потенциалов восстанавливается поле движущегося заряда, подробно говорится в материале про потенциалы Лиенара-Вихерта.

Рассчитать для своей задачи

Тензор электромагнитного поля

Центральный объект - тензор электромагнитного поля $F^{\mu\nu}$, определённый через 4-потенциал:

$$F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$$

Он антисимметричен: $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$, поэтому диагональ нулевая, а независимых компонент ровно шесть - три проекции $\mathbf{E}$ и три проекции $\mathbf{B}$. В явном виде (для смешанных компонент $F^{\mu\nu}$, метрика $(+,-,-,-)$):

$$F^{\mu\nu}= \begin{pmatrix} 0 & -E_x & -E_y & -E_z\\ E_x & 0 & -B_z & B_y\\ E_y & B_z & 0 & -B_x\\ E_z & -B_y & B_x & 0 \end{pmatrix}$$

Электрическое поле сидит во временной строке-столбце ($F^{0i}$), магнитное - в чисто пространственном блоке ($F^{ij}$). Именно поэтому при переходе в другую систему отсчёта компоненты перемешиваются: то, что было чистым $\mathbf{E}$, приобретает $\mathbf{B}$. Сам факт, что $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ - компоненты одного тензора, делает прозрачными инварианты электромагнитного поля - комбинации $E^2-B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$, одинаковые во всех системах.

Неоднородные уравнения: пара с источниками

Первая пара Максвелла (закон Гаусса и закон Ампера-Максвелла) сворачивается в одно тензорное уравнение:

$$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\frac{4\pi}{c}\,j^{\nu}$$

Подставляя $\nu=0$, получаем $\nabla\cdot\mathbf{E}=4\pi\rho$ - закон Гаусса. При $\nu=1,2,3$ выходит закон Ампера-Максвелла с током смещения. Одна компактная запись содержит сразу два «физических» уравнения и связывает поле с источником $j^{\nu}$.

Важное следствие лежит на поверхности: возьмём дивергенцию $\partial_{\nu}$ от обеих частей. Левая часть $\partial_{\nu}\partial_{\mu}F^{\mu\nu}$ тождественно равна нулю (симметричный оператор сворачивается с антисимметричным тензором), значит,

$$\partial_{\nu}j^{\nu}=0$$

• это уравнение непрерывности, то есть сохранение заряда. В ковариантной форме закон сохранения заряда не постулируется отдельно, а вытекает из структуры уравнений.

Рассчитать для своей задачи

Однородные уравнения: пара без источников

Вторая пара (отсутствие магнитных зарядов и закон электромагнитной индукции) записывается через тождество Бианки:

$$\partial_{\lambda}F_{\mu\nu}+\partial_{\mu}F_{\nu\lambda}+\partial_{\nu}F_{\lambda\mu}=0$$

Циклическая сумма производных по трём индексам обращается в нуль автоматически, как только $F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}$ выражено через потенциал. То есть однородные уравнения Максвелла - следствие самого существования 4-потенциала, а не независимый физический закон.

Компактнее то же записывают через дуальный тензор $\tilde{F}^{\mu\nu}=\tfrac12\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}F_{\alpha\beta}$, где $\varepsilon^{\mu\nu\alpha\beta}$ - символ Леви-Чивиты:

$$\partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0$$

Дуальный тензор получается из исходного заменой $\mathbf{E}\to\mathbf{B}$, $\mathbf{B}\to-\mathbf{E}$ - это видимое проявление электромагнитной дуальности вакуума.

Калибровочная свобода и волновое уравнение

Потенциал определён неоднозначно: замена $A^{\mu}\to A^{\mu}+\partial^{\mu}\chi$ с произвольной функцией $\chi$ не меняет $F^{\mu\nu}$, а значит, и полей. Это калибровочная инвариантность. Если выбрать калибровку Лоренца $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$, неоднородное уравнение упрощается до волнового:

$$\Box A^{\nu}=\frac{4\pi}{c}\,j^{\nu},\qquad \Box=\partial_{\mu}\partial^{\mu}=\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}-\nabla^2$$

где $\Box$ - оператор Даламбера. Каждая компонента 4-потенциала подчиняется волновому уравнению с источником - отсюда напрямую следуют электромагнитные волны и запаздывающие потенциалы. Калибровка Лоренца сама ковариантна (условие $\partial_{\mu}A^{\mu}=0$ - это инвариант), поэтому волновое уравнение сохраняет форму во всех инерциальных системах.

Сила Лоренца в ковариантной форме

Замкнуть картину помогает уравнение движения заряда. 4-сила, действующая на заряд $q$, выражается через тот же тензор поля:

$$\frac{dp^{\mu}}{d\tau}=\frac{q}{c}\,F^{\mu\nu}u_{\nu}$$

где $u_{\nu}$ - 4-скорость, $\tau$ - собственное время. Пространственные компоненты этого уравнения дают обычную силу Лоренца $\mathbf{F}=q\mathbf{E}+\tfrac{q}{c}\mathbf{v}\times\mathbf{B}$, а временная - скорость изменения энергии. Так весь электромагнетизм - поле и его действие на заряды - оказывается записан через один тензор $F^{\mu\nu}$ и геометрию пространства-времени Минковского.

Зачем физике именно такая запись

Ковариантная форма - не просто красивое сокращение. У неё три практических смысла. Во-первых, она делает релятивистскую инвариантность теории очевидной: раз обе части уравнения - тензоры одного ранга, они преобразуются согласованно, и проверять инвариантность отдельно не нужно. Во-вторых, она вскрывает внутреннюю структуру теории - например, что сохранение заряда и однородные уравнения не являются независимыми постулатами, а заложены в самой геометрии тензора поля.

В-третьих, такая запись - мост к более общим теориям. Электромагнитное поле в этом языке оказывается калибровочным полем группы $U(1)$, а тензор $F^{\mu\nu}$ - его «напряжённостью». Ровно та же конструкция переносится на неабелевы калибровочные поля (теория Янга-Миллса), на которых построена вся Стандартная модель. С другой стороны, переход к искривлённому пространству-времени делается заменой обычных производных $\partial_{\mu}$ на ковариантные $\nabla_{\mu}$ - так электродинамика встраивается в общую теорию относительности почти без изменений. Поведение полей при смене системы отсчёта удобно сверять с разбором преобразований полей и их инвариантов.

Исторически путь был обратным: Максвелл записал свои уравнения задолго до теории относительности, а Минковский и Эйнштейн позже показали, что их естественная форма - именно тензорная. То, что уравнения электромагнетизма «уже знали» про относительность, стало одним из аргументов в её пользу.

Частые ошибки

• Путают $A^{\mu}$ и $j^{\mu}$ по порядку компонент. Запоминать: нулевая (временная) компонента - это «скалярная» величина ($\varphi$ у потенциала, $c\rho$ у тока), пространственные - векторная часть.
• Забывают про антисимметрию $F^{\mu\nu}$. Диагональ всегда нулевая, а $F^{\mu\nu}=-F^{\nu\mu}$; из-за этого независимых компонент шесть, а не шестнадцать.
• Считают сохранение заряда отдельным постулатом. В ковариантной форме $\partial_{\nu}j^{\nu}=0$ - следствие антисимметрии тензора и неоднородного уравнения, его не нужно вводить руками.
• Смешивают знаки и метрику. В сигнатуре $(+,-,-,-)$ и $(-,+,+,+)$ компоненты $F^{\mu\nu}$ отличаются знаками; всегда фиксируйте метрику в начале решения.
• Путают калибровочную и лоренцеву инвариантность. Первая - про свободу выбора потенциала ($A^{\mu}+\partial^{\mu}\chi$), вторая - про неизменность формы при смене системы отсчёта; это разные вещи.

FAQ

Почему уравнений именно два, а не четыре? Антисимметричный тензор $F^{\mu\nu}$ упаковывает $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в один объект. Тогда пара с источниками сворачивается в $\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\tfrac{4\pi}{c}j^{\nu}$, а пара без источников - в тождество Бианки. Четыре векторных уравнения становятся двумя тензорными.

Зачем нужен дуальный тензор? Дуальный тензор $\tilde{F}^{\mu\nu}$ позволяет записать однородную пару уравнений так же компактно, как неоднородную: $\partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0$. Он же делает наглядной электромагнитную дуальность - симметрию замены $\mathbf{E}\leftrightarrow\mathbf{B}$.

Что меняется при переходе в другую систему отсчёта? Компоненты $F^{\mu\nu}$ преобразуются по тензорному закону, поэтому $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ перемешиваются: чистое электрическое поле в одной системе становится комбинацией электрического и магнитного в другой. Неизменными остаются скаляры $E^2-B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$.

Коротко

Ковариантная форма уравнений Максвелла - это упаковка четырёх векторных уравнений в две тензорные записи. Поля $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ собираются в антисимметричный тензор $F^{\mu\nu}=\partial^{\mu}A^{\nu}-\partial^{\nu}A^{\mu}$, заряд и ток - в 4-ток $j^{\mu}$. Пара с источниками превращается в $\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\tfrac{4\pi}{c}j^{\nu}$ (отсюда же автоматически следует сохранение заряда), пара без источников - в тождество Бианки или $\partial_{\mu}\tilde{F}^{\mu\nu}=0$. Калибровка Лоренца сводит всё к волновому уравнению $\Box A^{\nu}=\tfrac{4\pi}{c}j^{\nu}$, а сила Лоренца записывается как $dp^{\mu}/d\tau=\tfrac{q}{c}F^{\mu\nu}u_{\nu}$. Главное преимущество такой записи - лоренц-инвариантность видна явно: форма уравнений одна и та же во всех инерциальных системах. </content>