Инварианты электромагнитного поля: два скаляра Лоренца

Электрическое и магнитное поля по отдельности зависят от системы отсчёта: один и тот же заряд для покоящегося наблюдателя создаёт чистое $\mathbf{E}$, а для движущегося - ещё и $\mathbf{B}$. Но из компонент $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ можно собрать две комбинации, которые одинаковы во всех инерциальных системах. Это и есть инварианты электромагнитного поля. Они отвечают на качественные вопросы - можно ли обнулить одно из полей, сделать их параллельными - без громоздкого пересчёта компонент. Калькулятор ниже считает оба инварианта по вашим $E$, $B$ и углу между ними и сразу классифицирует поле.

Что такое инвариант поля

Инвариант - величина, не меняющаяся при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Сами векторы $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ инвариантами не являются: их численные значения зависят от того, как движется наблюдатель. А вот две специальные скалярные комбинации этих векторов остаются неизменными:

$I_1 = E^2 - c^2 B^2, \qquad I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}.$

Первый инвариант - разность квадратов полей (с множителем $c^2$, который приводит $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ к одной размерности). Второй - скалярное произведение, пропорциональное косинусу угла между векторами. Это полный набор: независимых инвариантов, собранных только из $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в данной точке, ровно два. Все прочие комбинации либо выражаются через них, либо не инвариантны.

Важно, что инварианты вычисляются локально - в одной точке пространства-времени. Они говорят о структуре поля именно там, а не о поле в целом. Глубже относительность самого разделения на $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ разобрана в статье про преобразование электрического и магнитного поля.

Откуда берутся эти два инварианта

Источник инвариантов - тензор электромагнитного поля $F_{\mu\nu}$, антисимметричный объект, в который $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ входят как компоненты. Из антисимметричного тензора второго ранга в четырёхмерном пространстве можно построить ровно две лоренц-инвариантные свёртки. Первая - свёртка тензора с самим собой:

$F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} = 2\left(c^2 B^2 - \frac{E^2}{c^2}\cdot c^2\right) \;\propto\; c^2 B^2 - E^2.$

С точностью до постоянного множителя и знака это и есть первый инвариант $I_1 = E^2 - c^2 B^2$. Вторая свёртка использует дуальный тензор $\tilde F^{\mu\nu}$ (свёртку $F$ с полностью антисимметричным символом Леви-Чивиты):

$F_{\mu\nu}\tilde F^{\mu\nu} \;\propto\; \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}.$

Она пропорциональна второму инварианту $I_2$. Псевдоскалярность $I_2$ - следствие того, что $\mathbf{B}$ это псевдовектор: при зеркальном отражении $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ меняет знак. Поэтому строго говоря $I_2$ инвариантен относительно собственных преобразований Лоренца, но меняет знак при инверсии. Подробный разбор самого тензора - в материале про тензор энергии-импульса электромагнитного поля.

Рассчитать для своей задачи

Прямая проверка инвариантности

Убедиться в инвариантности $I_1$ можно без тензоров, прямой подстановкой формул преобразования. Возьмём систему $K'$, движущуюся вдоль оси $x$, и удобную нормировку, где магнитное поле измеряется величиной $cB$ в тех же единицах, что и $E$. Для поперечных компонент преобразование выглядит как

$E'_\perp = \gamma\left(E_\perp - \beta\, cB_\perp\right), \qquad cB'_\perp = \gamma\left(cB_\perp - \beta\, E_\perp\right),$

где $\beta = v/c$ и $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$. Подставим эти выражения в разность квадратов:

$$E'^2_\perp - (cB'_\perp)^2 = \gamma^2\Big[(E_\perp - \beta\, cB_\perp)^2 - (cB_\perp - \beta\, E_\perp)^2\Big] = \gamma^2(1-\beta^2)\big(E^2_\perp - (cB_\perp)^2\big).$$

Поскольку $\gamma^2(1-\beta^2) = 1$, поперечный вклад в $I_1$ сохраняется. Продольные компоненты при движении вдоль $x$ вообще не меняются, поэтому и весь инвариант $I_1 = E^2 - c^2 B^2$ остаётся прежним. Аналогичная, чуть более длинная выкладка подтверждает инвариантность $I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$.

Классификация поля по инвариантам

Главная практическая ценность инвариантов - они позволяют классифицировать поле, не привязываясь к системе отсчёта. Знаки $I_1$ и $I_2$ задают тип поля:

• $I_1 > 0$ (то есть $E > cB$) - поле электрического типа. Существует система отсчёта, в которой магнитное поле обращается в ноль, а остаётся только электрическое. Обнулить само электрическое поле нельзя ни в какой системе.
• $I_1 < 0$ (то есть $E < cB$) - поле магнитного типа. Найдётся система, где исчезает электрическое поле, и остаётся чисто магнитное.
• $I_2 = 0$ и $I_1 \ne 0$. Поля взаимно перпендикулярны. Можно перейти в систему, где остаётся только одно из полей - то, чей вклад в $I_1$ доминирует.
• $I_2 \ne 0$. Угол между $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ не прямой ни в одной системе. Ни одно из полей нельзя обнулить, но существует система, где $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ параллельны.

Эти правила работают, потому что инварианты - это «паспорт» поля, который наблюдатель не может подделать сменой скорости. Калькулятор в начале статьи как раз раскрашивает плоскость $(I_1, I_2)$ по этим четырём случаям и ставит точку для введённых вами полей.

Рассчитать для своей задачи

Важный частный случай: электромагнитная волна

Особенно поучителен случай плоской электромагнитной волны в вакууме. В ней $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ взаимно перпендикулярны и связаны соотношением $E = cB$. Подставим это в инварианты:

$I_1 = E^2 - c^2 B^2 = 0, \qquad I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = 0.$

Оба инварианта равны нулю одновременно - это так называемое нулевое (изотропное) поле. Его принципиальная особенность: ни в одной системе отсчёта нельзя ни обнулить одно из полей, ни сделать их непрямыми. Свойство $E = cB$ и взаимная перпендикулярность сохраняются для свободной волны во всех инерциальных системах - меняется только частота и амплитуда (эффект Доплера), но не сама структура поля. Это прямое следствие того, что у волны оба инварианта обнуляются.

Как решать задачи через инварианты

Алгоритм решения большинства задач на инварианты сводится к нескольким шагам.

Сначала вычисляют оба инварианта в любой удобной системе - обычно в той, где поля заданы. Затем по знаку $I_1$ определяют, какое поле доминирует, а по $I_2$ - можно ли обнулить одно из полей. Если задача требует найти поле в системе, где, например, $\mathbf{B}=0$, то используют сохранение $I_1$: в искомой системе $E'^2 = I_1$, откуда $E' = \sqrt{E^2 - c^2 B^2}$. Это даёт ответ сразу, без вычисления скорости перехода и пересчёта всех компонент.

Когда $I_2 \ne 0$, поля нельзя сделать перпендикулярными, зато можно - параллельными. В той системе, где $\mathbf{E}\parallel\mathbf{B}$, инварианты дают систему уравнений $E_0^2 - c^2 B_0^2 = I_1$ и $c E_0 B_0 = c\,I_2$ (при параллельных полях $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}=E_0 B_0$), из которой находят оба «приведённых» поля $E_0$ и $B_0$. Тот факт, что заряд частицы тоже инвариантен, делает связку «инварианты поля плюс инвариантный заряд» мощным инструментом - похожую логику единого поля используют при анализе стоячей электромагнитной волны.

Частые ошибки

• Считать $\mathbf{E}$ или $\mathbf{B}$ инвариантами. Сами поля зависят от системы отсчёта. Инвариантны только комбинации $E^2 - c^2 B^2$ и $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$.
• Терять множитель $c^2$ в первом инварианте. Без него $E^2 - B^2$ не имеет смысла: $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ в системе СИ разной размерности. Множитель $c^2$ (или нормировка через $cB$) обязателен.
• Забывать про псевдоскалярность $I_2$. $\mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$ меняет знак при зеркальном отражении, потому что $\mathbf{B}$ - псевдовектор. В задачах с чётностью это существенно.
• Путать «обнулить поле» с «сделать поля параллельными». Обнулить одно из полей можно только при $I_2 = 0$. При $I_2 \ne 0$ доступно лишь приведение к параллельным полям.
• Применять инварианты глобально. Инварианты считаются в точке. В неоднородном поле $I_1$ и $I_2$ могут быть разными в разных точках - классифицировать надо локально.

FAQ

Сколько независимых инвариантов у электромагнитного поля? Ровно два: $I_1 = E^2 - c^2 B^2$ и $I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$. Это полный набор скаляров, которые можно построить из тензора поля $F_{\mu\nu}$ в одной точке. Любая другая инвариантная комбинация $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ выражается через эти два.

Можно ли в какой-то системе отсчёта обнулить электрическое поле? Да, но только если поле магнитного типа, то есть $I_1 = E^2 - c^2 B^2 < 0$, и при этом $I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B} = 0$. Тогда существует система, где остаётся чисто магнитное поле. Если $E > cB$, обнулить электрическое поле нельзя ни в какой системе.

Почему у электромагнитной волны оба инварианта равны нулю? В плоской волне в вакууме $\mathbf{E}\perp\mathbf{B}$ (значит $I_2 = 0$) и $E = cB$ (значит $I_1 = 0$). Такое поле называют нулевым: его структуру нельзя упростить сменой системы отсчёта - взаимная перпендикулярность и равенство $E = cB$ сохраняются во всех инерциальных системах.

Коротко

Инварианты электромагнитного поля - две скалярные комбинации $I_1 = E^2 - c^2 B^2$ и $I_2 = \mathbf{E}\cdot\mathbf{B}$, одинаковые во всех инерциальных системах отсчёта. Они выводятся как свёртки тензора поля $F_{\mu\nu}$ (сам с собой и с дуальным тензором) и проверяются прямой подстановкой формул преобразования. По знаку $I_1$ поле классифицируют как электрического ($E>cB$) или магнитного ($E<cB$) типа, а $I_2$ показывает, можно ли обнулить одно из полей ($I_2=0$) или только сделать их параллельными ($I_2\ne0$). У плоской волны оба инварианта равны нулю - это нулевое поле, структуру которого нельзя упростить ни в какой системе. Инварианты решают качественные задачи в одну строку, без перебора систем отсчёта.