Вихревое электрическое поле: объяснение и формулы

Когда магнитное поле меняется во времени, вокруг него возникает электрическое поле особого рода - его силовые линии не начинаются и не заканчиваются на зарядах, а замыкаются сами на себя. Это и есть вихревое электрическое поле: оно не связано с какими-либо зарядами, его источник - само изменение магнитного потока. Разберём, чем оно принципиально отличается от привычного потенциального поля точечного заряда, какая формула описывает его напряжённость и как закон Фарадея - Максвелла превращает «исчезающий поток» в реальную силу, гоняющую электроны в бетатроне.

Чтобы сразу почувствовать связь между скоростью изменения поля и напряжённостью, покрутите ползунки в калькуляторе ниже - он считает поток и поле по точным формулам и строит профиль E(r).

Что такое вихревое электрическое поле

Вихревое (индукционное) электрическое поле - это электрическое поле, порождаемое изменяющимся во времени магнитным полем. Его ключевое свойство: силовые линии замкнуты, у поля нет ни истоков, ни стоков. В обычном электростатическом поле линии начинаются на положительных зарядах и кончаются на отрицательных; здесь зарядов-источников нет вовсе.

Идея принадлежит Максвеллу: он понял, что закон электромагнитной индукции Фарадея говорит не столько о проводнике, сколько о самом пространстве. Меняющееся магнитное поле создаёт электрическое поле даже там, где нет ни одного проводника. Проводящий контур лишь делает это поле «видимым» - по нему течёт индукционный ток.

Математически вихревой характер выражается через циркуляцию вектора $\vec E$ по замкнутому контуру:

$$\oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\Phi}{dt}$$

Для электростатического поля такая циркуляция всегда равна нулю - поле потенциально. Для вихревого она отлична от нуля, и именно поэтому его линии замыкаются.

Чем оно отличается от потенциального поля

Сравнение с привычным полем заряда - самый быстрый способ понять суть. Различия удобно собрать по пунктам:

• Источник. Потенциальное поле создают электрические заряды; вихревое - изменение магнитного поля во времени.
• Силовые линии. У потенциального - разомкнуты (от плюса к минусу); у вихревого - замкнуты сами на себя.
• Циркуляция. У потенциального $\oint \vec E \cdot d\vec l = 0$; у вихревого она равна скорости убыли потока и не равна нулю.
• Потенциал. Для потенциального поля можно ввести разность потенциалов и работу, не зависящую от пути; для вихревого - нельзя, работа по замкнутому контуру отлична от нуля.

Последний пункт - самая частая точка путаницы. Для вихревого поля понятие потенциала не определено: если бы оно существовало, работа по замкнутому пути была бы нулевой, а она как раз равна ЭДС индукции. Поэтому говорить о «напряжении» между точками в вихревом поле строго некорректно.

Рассчитать для своей задачи

Как меняющееся магнитное поле рождает электрическое

Представим длинный соленоид, по которому течёт нарастающий ток. Внутри него - однородное магнитное поле $\vec B$, направленное вдоль оси. Пока ток постоянен, ничего не происходит. Но стоит току (а значит, и полю $B$) начать меняться, как вокруг оси соленоида возникает вихревое электрическое поле.

Его линии - концентрические окружности с центром на оси. Если поднести к соленоиду проволочное кольцо, в нём появится индукционный ток, хотя само магнитное поле кольцо может и не пронизывать (если кольцо охватывает соленоид снаружи). Это поразительный факт: поле действует там, где магнитного поля нет, - важно лишь, что внутри контура меняется поток.

Связь устанавливает закон электромагнитной индукции в форме Фарадея - Максвелла. ЭДС индукции в контуре равна циркуляции вихревого поля:

$$\varepsilon = \oint \vec E \cdot d\vec l = -\frac{d\Phi}{dt}, \qquad \Phi = \int_S \vec B \cdot d\vec S$$

Знак минус - это правило Ленца: индуцированное поле противодействует изменению, которое его породило.

Формула напряжённости вихревого поля

Для самого частого учебного случая - однородного поля $\vec B$ в цилиндрической области радиуса $R$, меняющегося с постоянной скоростью $\dfrac{dB}{dt}$, - напряжённость находится явно. Из симметрии $\vec E$ постоянна по модулю на окружности радиуса $r$ и направлена по касательной, поэтому циркуляция равна $E \cdot 2\pi r$.

Внутри области поля ($r < R$) контур охватывает поток $\Phi = B \pi r^2$:

$$E \cdot 2\pi r = \pi r^2 \left|\frac{dB}{dt}\right| \quad\Rightarrow\quad E = \frac{r}{2}\left|\frac{dB}{dt}\right|$$

Снаружи ($r \ge R$) контур охватывает уже весь поток $\Phi = B \pi R^2$, который с ростом $r$ не меняется:

$$E \cdot 2\pi r = \pi R^2 \left|\frac{dB}{dt}\right| \quad\Rightarrow\quad E = \frac{R^2}{2r}\left|\frac{dB}{dt}\right|$$

Итог: внутри напряжённость растёт линейно с $r$, снаружи спадает как $1/r$, а на границе $r = R$ оба выражения совпадают и поле максимально. Эта же двойная структура «линейный рост - спад $1/r$» встречается и в магнитном поле проводника по теореме о циркуляции - симметрия задач Максвелла повторяется.

Рассчитать для своей задачи

Вихревое поле в уравнениях Максвелла

В системе уравнений Максвелла вихревое электрическое поле - содержание второго уравнения (закона индукции в дифференциальной форме):

$$\operatorname{rot} \vec E = -\frac{\partial \vec B}{\partial t}$$

Ротор (вихрь) напряжённости электрического поля равен взятой со знаком минус скорости изменения магнитной индукции. Если $\vec B$ постоянно во времени, правая часть нулевая - поле потенциально (электростатика). Как только $\vec B$ начинает меняться, ротор становится ненулевым, и поле приобретает вихревую компоненту.

Важно понимать, что полное электрическое поле может складываться из двух частей: потенциальной (от зарядов) и вихревой (от меняющегося магнитного поля). Дивергенция первой задаётся зарядами ($\operatorname{div}\vec E = \rho/\varepsilon_0$), а ротор - целиком вихревой частью. Это разделение и есть суть теоремы Гельмгольца применительно к электромагнетизму.

Где это работает: бетатрон и индукционный нагрев

Самый наглядный пример практического применения - бетатрон, ускоритель электронов. В нём электроны движутся по кольцу в зазоре электромагнита, а нарастающее магнитное поле создаёт вихревое электрическое поле, которое разгоняет частицы по кругу. Никаких электродов и разности потенциалов - ускоряет именно вихревое поле, работа которого по замкнутой орбите отлична от нуля.

Другие проявления:

• Индукционный нагрев и индукционные плиты. Переменное магнитное поле наводит в металле вихревое электрическое поле, оно гонит вихревые токи (токи Фуко), которые нагревают металл.
• Трансформаторы. Передача энергии между обмотками идёт через вихревое поле, наводимое меняющимся потоком в сердечнике.
• Электромагнитное торможение. Вихревые токи в движущемся проводнике тормозят его - принцип бесконтактных тормозов.

Во всех этих случаях «двигатель» процесса один и тот же: изменение магнитного потока порождает замкнутое электрическое поле.

Частые ошибки

• Считать, что у вихревого поля есть потенциал. Нет: работа по замкнутому контуру не равна нулю, поэтому ни потенциал, ни разность потенциалов для него не определены.
• Думать, что поле есть только там, где есть магнитное поле. Вихревое $\vec E$ существует и снаружи области с полем $B$ - там, где самого магнитного поля нет, важно лишь, что контур охватывает меняющийся поток.
• Путать причину и следствие в правиле Ленца. Знак минус не «ослабляет» поле произвольно - он показывает, что индуцированное поле противодействует изменению потока.
• Применять формулу $E = \tfrac{r}{2}\,|dB/dt|$ за пределами области поля. Внутри ($r<R$) и снаружи ($r\ge R$) формулы разные; за границей напряжённость спадает, а не продолжает расти.
• Считать, что нужен проводник. Вихревое поле существует в пустоте; проводник лишь делает его заметным через индукционный ток.

FAQ

Почему вихревое электрическое поле называют непотенциальным? Потому что его циркуляция по замкнутому контуру не равна нулю: $\oint \vec E \cdot d\vec l = -d\Phi/dt \ne 0$. Работа поля при обходе замкнутого пути отлична от нуля, а это значит, что ввести однозначный потенциал и разность потенциалов невозможно.

Может ли вихревое поле существовать без проводника? Да. Это поле в самом пространстве, оно возникает от изменения магнитного поля независимо от наличия проводника. Проводящий контур нужен только чтобы зафиксировать поле в виде измеримого индукционного тока.

Чем вихревое поле отличается от поля, создаваемого зарядами? Поле зарядов потенциально: линии разомкнуты, циркуляция равна нулю, есть потенциал. Вихревое поле имеет замкнутые линии, ненулевую циркуляцию и не имеет потенциала. Источник первого - заряды, второго - изменение магнитного потока.

Коротко

Вихревое электрическое поле возникает при изменении магнитного поля во времени и принципиально отличается от поля зарядов: его силовые линии замкнуты, циркуляция отлична от нуля, потенциал не определён. Описывает его закон Фарадея - Максвелла $\oint \vec E \cdot d\vec l = -d\Phi/dt$ и второе уравнение Максвелла $\operatorname{rot}\vec E = -\partial\vec B/\partial t$. Для однородного поля в области радиуса $R$ напряжённость внутри растёт как $E = \tfrac{r}{2}|dB/dt|$, снаружи спадает как $E = \tfrac{R^2}{2r}|dB/dt|$. Это поле ускоряет электроны в бетатроне, греет металл в индукционной плите и передаёт энергию в трансформаторе - везде, где меняется магнитный поток.