Закон полного тока: теорема о циркуляции и формула B

Закон полного тока, он же теорема о циркуляции магнитного поля, связывает циркуляцию вектора магнитной индукции по замкнутому контуру с током, который этот контур охватывает. Это магнитный аналог теоремы Гаусса: там поток поля сквозь поверхность определялся зарядом внутри, здесь циркуляция вдоль контура определяется током сквозь него. Главная польза закона в том, что в симметричных задачах он позволяет найти индукцию $B$ без интегрирования по закону Био-Савара: достаточно удачно выбрать контур. Ниже разберём формулировку, как правильно выбирать контур Ампера, как считать охваченный ток и как выводятся формулы поля для проводника, соленоида и тороида. Чтобы сразу увидеть связь тока, радиуса и поля, покрути калькулятор ниже: он строит профиль $B(r)$ и сечение с контуром, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Формулировка теоремы о циркуляции

Закон полного тока в интегральной форме записывается так:

$\oint_L \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{охв}},$

где слева стоит циркуляция вектора магнитной индукции $\vec{B}$ по произвольному замкнутому контуру $L$, а справа - алгебраическая сумма токов, охваченных этим контуром, умноженная на магнитную постоянную $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Тл·м/А. Слово «полного» в названии подчёркивает: учитывается весь ток, пронизывающий натянутую на контур поверхность, со своим знаком по правилу буравчика.

Рассчитать для своей задачи

Важно понимать, что циркуляция не зависит от формы и размера контура - только от того, какой ток он охватывает. Если контур не охватывает ток вовсе, его циркуляция равна нулю, хотя поле в каждой точке контура может быть отличным от нуля. Именно эта особенность делает теорему рабочим инструментом: правую часть мы знаем заранее из условия, а левую сводим к простому произведению благодаря симметрии.

Как выбрать контур Ампера

Сам по себе закон полного тока верен для любого контура, но «решает задачу» только удачно выбранный. Контур Ампера подбирают так, чтобы интеграл $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l}$ брался устно. Для этого используют симметрию:

• на участках контура поле $\vec{B}$ либо постоянно по модулю и направлено вдоль $d\vec{l}$ (тогда вклад равен $B \cdot l$),
• либо перпендикулярно $d\vec{l}$ (тогда вклад нулевой).

Для прямого проводника симметрия осевая, поэтому контур берут в виде окружности с центром на оси: вдоль неё модуль $B$ постоянен, и циркуляция превращается в $B \cdot 2\pi r$. Для соленоида и тороида выбирают прямоугольный или круговой контур так, чтобы ненулевой вклад давал только один его участок.

Рассчитать для своей задачи

На рисунке видно ключевую идею: вектор $\vec{B}$ всюду касателен к окружности, поэтому скалярное произведение $\vec{B} \cdot d\vec{l}$ сводится к произведению модулей, и поле выносится за знак интеграла.

Поле прямого проводника внутри и снаружи

Разберём канонический пример - бесконечный прямой проводник радиуса $R$ с равномерно распределённым по сечению током $I$. Возьмём круговой контур радиуса $r$. Циркуляция всегда одна и та же:

$\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{охв}}.$

Разница только в правой части - в том, какой ток охватывает контур. Если контур снаружи проводника ($r \ge R$), он охватывает весь ток $I_{\text{охв}} = I$, и поле спадает обратно пропорционально расстоянию:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}.$

Если контур внутри проводника ($r < R$), он охватывает лишь долю тока, пропорциональную площади:

$I_{\text{охв}} = I \frac{\pi r^2}{\pi R^2} = I \frac{r^2}{R^2}, \qquad B = \frac{\mu_0 I r}{2\pi R^2}.$

То есть внутри поле растёт линейно от нуля на оси до максимума на поверхности, а снаружи спадает как $1/r$. На границе $r = R$ оба выражения дают одно и то же значение - поле непрерывно.

Рассчитать для своей задачи

Этот профиль и считает калькулятор выше: задай ток и радиус проводника, передвинь контур внутрь и наружу - увидишь, как охваченный ток и индукция меняются согласно тем же формулам.

Поле соленоида и тороида

Теорема о циркуляции одинаково хорошо работает для катушек. Для длинного соленоида с плотностью намотки $n$ витков на метр выбирают прямоугольный контур, одна сторона которого лежит внутри вдоль оси, а противоположная - снаружи, где поле практически равно нулю. Ненулевой вклад даёт только внутренняя сторона длины $l$, охваченный ток равен $n l I$, и из закона полного тока сразу следует однородное поле внутри:

$B \cdot l = \mu_0 n l I \;\Rightarrow\; B = \mu_0 n I.$

Для тороида берут круговой контур радиуса $r$ по его средней линии. Контур охватывает все $N$ витков, по каждому течёт ток $I$, поэтому $I_{\text{охв}} = N I$, а циркуляция равна $B \cdot 2\pi r$:

$B = \frac{\mu_0 N I}{2\pi r}.$

Оба результата получены устно благодаря удачному выбору контура - в этом и состоит сила закона полного тока по сравнению с прямым интегрированием поля по закону Био-Савара.

Дифференциальная форма

Если перейти от конечного контура к бесконечно малому, теорема о циркуляции превращается в дифференциальное уравнение - одно из уравнений Максвелла для магнитостатики:

$\operatorname{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j},$

где $\vec{j}$ - плотность тока. Оно говорит, что вихри магнитного поля порождаются током в данной точке. В переменных полях правую часть дополняет ток смещения Максвелла, но для постоянных токов хватает приведённой формы. Интегральная и дифференциальная записи эквивалентны: переход между ними даёт теорема Стокса.

Частые ошибки

• Путают циркуляцию и поле. Нулевая циркуляция не означает нулевое поле: если контур не охватывает ток, $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = 0$, но $B$ в точках контура может быть любым.
• Берут весь ток внутри проводника. При $r < R$ контур охватывает только долю $I (r/R)^2$, а не полный ток $I$. Подстановка полного тока даёт завышенное поле.
• Забывают про симметрию. Закон полного тока даёт $B$ устно только когда контур согласован с симметрией. Для несимметричной конфигурации он по-прежнему верен, но не позволяет вынести $B$ из интеграла.
• Знак охваченного тока. Токи учитываются алгебраически: ток против выбранного направления обхода входит со знаком минус по правилу буравчика.
• Единицы радиуса. В формулу $B = \mu_0 I / (2\pi r)$ радиус подставляют в метрах. Миллиметры без перевода занижают $r$ и завышают $B$ в тысячу раз.

FAQ

Чем закон полного тока отличается от закона Био-Савара? Оба дают одно и то же магнитное поле, но по-разному. Закон Био-Савара считает вклад каждого элемента тока интегрированием и работает всегда. Закон полного тока выражает циркуляцию через охваченный ток и позволяет найти $B$ устно, но только в симметричных задачах с удачным контуром.

Почему вне длинного соленоида поле почти нулевое? Линии поля замыкаются внутри соленоида, а снаружи распределяются по всему пространству, так что плотность их крайне мала. В идеализации бесконечного соленоида внешнее поле принимают равным нулю, и тогда контур Ампера даёт ровно $B = \mu_0 n I$ внутри.

Можно ли применять теорему к переменным токам? В исходной форме закон полного тока верен для постоянных токов. Для переменных полей Максвелл добавил ток смещения: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 (I_{\text{охв}} + I_{\text{см}})$. С этой поправкой теорема становится одним из уравнений Максвелла и работает в общем случае.

Коротко

Закон полного тока утверждает, что циркуляция магнитного поля по замкнутому контуру равна $\mu_0$ на охваченный этим контуром ток: $\oint \vec{B} \cdot d\vec{l} = \mu_0 I_{\text{охв}}$. В симметричных задачах удачный выбор контура Ампера сводит циркуляцию к произведению $B \cdot l$ и даёт поле без интегрирования: для прямого проводника $B = \mu_0 I / (2\pi r)$ снаружи и $B = \mu_0 I r / (2\pi R^2)$ внутри, для соленоида $B = \mu_0 n I$, для тороида $B = \mu_0 N I / (2\pi r)$. В дифференциальной форме это уравнение Максвелла $\operatorname{rot} \vec{B} = \mu_0 \vec{j}$.