Сила Лоренца: формула и задачи с решением

Сила Лоренца управляет движением заряженных частиц в магнитном поле: именно она закручивает электроны в кинескопе, удерживает плазму в токамаке и разгоняет частицы в циклотроне. Чтобы решать задачи, достаточно одной формулы и понимания ключевой особенности: эта сила всегда перпендикулярна скорости. Покрутите калькулятор ниже: задайте заряд, скорость, индукцию поля и угол между скоростью и полем и посмотрите, как меняются сила, радиус окружности и период обращения.

Что такое сила Лоренца

Силой Лоренца называют силу, с которой электромагнитное поле действует на движущийся заряд. В общем виде она складывается из электрической и магнитной частей:

$\vec{F} = q\vec{E} + q\,\vec{v} \times \vec{B},$

где $q$ - заряд частицы, $\vec{E}$ - напряжённость электрического поля, $\vec{v}$ - скорость заряда, а $\vec{B}$ - магнитная индукция. В большинстве школьных и вузовских задач электрического поля нет, и под силой Лоренца понимают именно её магнитную часть. Её модуль равен

$F = q v B \sin\alpha,$

где $\alpha$ - угол между вектором скорости и вектором магнитной индукции. Если заряд покоится ($v = 0$) или движется вдоль поля ($\alpha = 0$), магнитная сила равна нулю. Максимальна она при движении поперёк поля, когда $\alpha = 90^\circ$ и $\sin\alpha = 1$.

Направление силы для положительного заряда задаётся правилом левой руки или правилом буравчика для векторного произведения $\vec{v} \times \vec{B}$; для отрицательного заряда сила направлена в противоположную сторону.

Формула силы Лоренца и угол

Множитель $\sin\alpha$ в формуле - главное, что отличает силу Лоренца от привычных сил. Сила зависит не только от величин скорости и поля, но и от их взаимной ориентации. На графике в калькуляторе видно, что зависимость $F(\alpha)$ - это синусоида: сила плавно растёт от нуля при $\alpha = 0$ до максимума при $\alpha = 90^\circ$ и снова падает к нулю при $\alpha = 180^\circ$.

Удобно раскладывать скорость на две компоненты: $v_\perp = v\sin\alpha$ поперёк поля и $v_\parallel = v\cos\alpha$ вдоль него. Магнитная сила действует только на поперечную компоненту: $F = q v_\perp B$. Продольная компонента поля не чувствует и сохраняется неизменной - это пригодится при разборе движения по спирали.

Почему сила перпендикулярна скорости

Ключевое свойство силы Лоренца: она всегда направлена перпендикулярно скорости заряда. Это следует из определения векторного произведения $\vec{v} \times \vec{B}$, которое перпендикулярно обоим сомножителям. Отсюда вытекает важнейшее следствие: сила Лоренца не совершает работы. Работа равна скалярному произведению силы на перемещение, а если сила перпендикулярна скорости (то есть перемещению), это произведение равно нулю.

Рассчитать для своей задачи

Раз работа равна нулю, кинетическая энергия и модуль скорости заряда не меняются - магнитное поле не может ни разогнать, ни затормозить частицу. Оно меняет только направление движения. Это принципиальное отличие от движения в электрическом поле, где сила направлена вдоль поля и совершает работу, разгоняя заряд: сравните с разбором движения заряженной частицы в электрическом поле, где скорость как раз растёт.

Движение по окружности: радиус и период

Если заряд влетает в однородное магнитное поле перпендикулярно его линиям ($\alpha = 90^\circ$), сила Лоренца постоянна по модулю и всё время направлена к центру - это центростремительная сила, и частица движется по окружности. Приравняв силу Лоренца к центростремительной силе $m v^2 / r$, получаем

$q v B = \frac{m v^2}{r} \quad\Rightarrow\quad r = \frac{m v}{q B}.$

Радиус окружности пропорционален скорости: чем быстрее летит заряд, тем шире круг он описывает.

Рассчитать для своей задачи

Подставив $v = 2\pi r / T$, найдём период обращения:

$T = \frac{2\pi m}{q B}.$

Удивительный результат: период не зависит от скорости и радиуса. Быстрые частицы описывают большие круги, но проходят их за то же время, что и медленные - маленькие. Именно на этом основана работа циклотрона. Соответствующая угловая (циклотронная) частота равна $\omega = qB/m$.

Из этих формул удобно выражать неизвестные величины друг через друга. Например, измерив радиус трека частицы в камере и зная индукцию поля, можно найти отношение импульса к заряду: $m v = q B r$. Так в физике частиц по кривизне следов в магнитном поле определяют импульс и знак заряда: положительные и отрицательные частицы закручиваются в противоположные стороны, а более энергичные оставляют менее искривлённые треки.

Движение по спирали

Если заряд влетает в поле под произвольным углом $\alpha$ (не $0$ и не $90^\circ$), скорость удобно разложить на две компоненты. Поперечная $v_\perp = v\sin\alpha$ закручивает частицу в окружность радиусом $r = m v_\perp / (q B)$, а продольная $v_\parallel = v\cos\alpha$ остаётся постоянной и равномерно сносит частицу вдоль поля. Сложение этих двух движений даёт винтовую линию - спираль.

Шаг спирали (расстояние, которое частица проходит вдоль поля за один оборот) равен

$h = v_\parallel T = v\cos\alpha \cdot \frac{2\pi m}{q B}.$

Так движутся заряженные частицы в магнитном поле Земли, спирально стекая к полюсам и порождая полярные сияния.

Как решать задачи на силу Лоренца

Почти все задачи укладываются в короткий план. Сначала определите, что спрашивают: силу, радиус, период или характеристики спирали. Затем выпишите данные в СИ - особенно следите за единицами заряда (нКл, мкКл) и скорости.

Для силы напрямую применяйте $F = q v B \sin\alpha$, не забывая про угол. Если в задаче движение по окружности, значит $\alpha = 90^\circ$, и работают формулы $r = m v / (q B)$ и $T = 2\pi m / (q B)$. Когда угол произвольный, раскладывайте скорость на компоненты и считайте радиус по поперечной части, а шаг спирали - по продольной. Если в задаче есть ещё и электрическое поле, складывайте силы векторно: магнитная часть перпендикулярна скорости, электрическая направлена вдоль поля.

Частые ошибки

• Забывать про множитель $\sin\alpha$. Формула $F = qvB$ верна только при движении поперёк поля. При произвольном угле сила меньше в $\sin\alpha$ раз, а вдоль поля равна нулю.
• Считать, что магнитное поле разгоняет заряд. Сила Лоренца перпендикулярна скорости и не совершает работы, поэтому модуль скорости и кинетическая энергия не меняются - меняется только направление.
• Думать, что период зависит от скорости. Период $T = 2\pi m / (q B)$ определяется только зарядом, массой и полем. Скорость влияет на радиус, но не на время оборота.
• Путать единицы. Заряд в задачах часто дан в нКл или мкКл, скорость - в км/с или Мм/с. Перед подстановкой переводите всё в СИ.
• Не учитывать знак заряда. Для отрицательной частицы сила направлена противоположно $\vec{v} \times \vec{B}$, и закрутка идёт в другую сторону.

FAQ

Почему сила Лоренца не совершает работы? Потому что она всегда перпендикулярна скорости заряда. Работа равна скалярному произведению силы на перемещение, а у перпендикулярных векторов оно равно нулю. Поэтому магнитное поле не меняет модуль скорости и кинетическую энергию частицы, а только искривляет её траекторию.

От чего зависит радиус окружности заряда в магнитном поле? Радиус равен $r = m v / (q B)$: он растёт с массой и скоростью частицы и падает с увеличением заряда и индукции поля. При движении под углом $\alpha$ в формулу входит поперечная скорость $v\sin\alpha$.

Зависит ли период обращения от скорости частицы? Нет. Период $T = 2\pi m / (q B)$ зависит только от заряда, массы и магнитной индукции. Быстрые частицы движутся по большим окружностям, но проходят их за то же время, что и медленные. Это свойство и используется в циклотроне.

Коротко

Сила Лоренца - это сила, действующая на движущийся заряд в магнитном поле, её модуль равен $F = q v B \sin\alpha$, где $\alpha$ - угол между скоростью и полем. Сила всегда перпендикулярна скорости, поэтому работы не совершает и меняет лишь направление движения. При движении поперёк поля заряд описывает окружность радиуса $r = m v / (q B)$ с периодом $T = 2\pi m / (q B)$, не зависящим от скорости, а при движении под углом - винтовую спираль с шагом $h = v\cos\alpha \cdot T$.