Потенциалы Лиенара-Вихерта: поле движущегося заряда

Когда заряд покоится, его потенциал даёт привычная формула $\varphi = kq/r$. Но стоит заряду начать двигаться, как поле в точке наблюдения определяется уже не тем, где заряд находится сейчас, а тем, где он был в прошлом - ведь сигнал распространяется со скоростью света. Потенциалы Лиенара-Вихерта - это точное решение уравнений Максвелла для произвольно движущегося точечного заряда, и весь фокус в них держит один множитель запаздывания. Калькулятор ниже считает этот множитель и показывает, как он усиливает потенциал вперёд по движению.

Почему обычная формула потенциала не работает для движущегося заряда

Электростатическая формула $\varphi = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\dfrac{q}{r}$ молчаливо предполагает, что заряд стоит на месте, а поле устанавливается мгновенно во всём пространстве. Это противоречит специальной теории относительности: никакое возмущение поля не может прийти к наблюдателю быстрее света. Если заряд за время $R/c$ успел заметно сдвинуться, то «снимок» поля, который видит наблюдатель в момент $t$, несёт информацию о состоянии заряда в более ранний момент.

Этот более ранний момент называют запаздывающим временем $t_r$. Он определяется неявным условием

$$t_r = t - \frac{R(t_r)}{c},$$

где $R(t_r)$ - расстояние от положения заряда в момент $t_r$ до точки наблюдения. Уравнение неявное, потому что само расстояние зависит от того, где был заряд в искомый момент. Именно отсюда вырастает вся нетривиальность задачи: потенциал в точке здесь и сейчас «считывается» с прошлого заряда.

Сами формулы Лиенара-Вихерта

Решая волновые уравнения для потенциалов в калибровке Лоренца с источником в виде точечного заряда, движущегося по траектории, получают пару:

$$\begin{aligned} \varphi(\vec r, t) &= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\left[\frac{q}{(1-\vec\beta\cdot\hat n)\,R}\right]_{t_r}, \\ \vec A(\vec r, t) &= \frac{\mu_0 c}{4\pi}\left[\frac{q\,\vec\beta}{(1-\vec\beta\cdot\hat n)\,R}\right]_{t_r} = \frac{\vec\beta}{c}\,\varphi. \end{aligned}$$

Здесь $\vec\beta = \vec v/c$ - скорость заряда в долях скорости света, $\hat n$ - единичный вектор от запаздывающего положения заряда к наблюдателю, а квадратные скобки с индексом $t_r$ напоминают, что всё внутри берётся в запаздывающий момент. Векторный потенциал оказывается просто скалярным, умноженным на $\vec\beta/c$, - это прямое следствие того, что движущийся заряд есть ток.

Сравните это с разбором векторного потенциала магнитного поля: там $\vec A$ возникал от стационарных токов, здесь - от одного движущегося заряда, и связь $\vec A = (\vec\beta/c)\varphi$ делает её предельно наглядной.

Рассчитать для своей задачи

Множитель запаздывания: главный герой формулы

Всё своеобразие потенциалов Лиенара-Вихерта несёт знаменатель - множитель

$$\kappa = 1 - \vec\beta\cdot\hat n = 1 - \beta\cos\theta,$$

где $\theta$ - угол между скоростью заряда и направлением на наблюдателя. Когда заряд покоится ($\beta = 0$), $\kappa = 1$ и формула сводится к электростатической. Но для движущегося заряда $\kappa$ меняется с углом: спереди по движению ($\theta = 0$) знаменатель уменьшается, и потенциал усиливается в $1/\kappa$ раз; сзади ($\theta = 180^\circ$) - ослабляется.

Геометрический смысл множителя: пока поле «отрывалось» от заряда, заряд успел сместиться в сторону наблюдателя, и фронты поля спереди сгущаются, а сзади разрежаются - это пространственный аналог эффекта Доплера. В калькуляторе выше ползунок угла прямо показывает: при $\beta = 0{,}6$ потенциал вперёд усилен примерно вдвое, а назад - ослаблен. Чем ближе скорость к световой, тем острее этот контраст.

Переход от потенциалов к полям E и B

Потенциалы - это полдела: измеряемые величины суть поля. Их получают дифференцированием с аккуратным учётом того, что $t_r$ зависит от точки наблюдения. Результат - знаменитое разложение поля движущегося заряда на две части:

$$\vec E = \underbrace{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{(\hat n-\vec\beta)(1-\beta^2)}{\kappa^3 R^2}}_{\text{скоростное поле}\ \sim 1/R^2} + \underbrace{\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 c}\frac{\hat n\times[(\hat n-\vec\beta)\times\dot{\vec\beta}]}{\kappa^3 R}}_{\text{поле ускорения}\ \sim 1/R}.$$

Первое слагаемое не содержит ускорения и спадает как $1/R^2$ - это «обобщённое кулоновское» поле, привязанное к движущемуся заряду. Второе пропорционально ускорению $\dot{\vec\beta}$ и спадает медленнее, как $1/R$, - именно оно уносит энергию на бесконечность, то есть отвечает за излучение. Магнитное поле получается из электрического просто: $\vec B = \dfrac{1}{c}\,\hat n\times\vec E$.

Вывод по сравнению с потенциалом поля точечного заряда показывает, откуда у движущегося заряда вообще появляется радиационная компонента, которой у покоящегося нет.

Рассчитать для своей задачи

Равномерное движение: поле смотрит на мгновенное положение

Удивительный частный случай - заряд, движущийся равномерно и прямолинейно. Хотя потенциал «считывается» с запаздывающего положения, после всех подстановок скоростное поле оказывается направленным точно от мгновенного (текущего) положения заряда, а не от запаздывающего. Запаздывание и геометрия множителя $\kappa$ в точности компенсируют друг друга.

При этом поле перестаёт быть сферически симметричным: в направлении движения оно ослаблено множителем $1/\gamma^2$, а поперёк - усилено в $\gamma$ раз, где $\gamma = 1/\sqrt{1-\beta^2}$ - лоренц-фактор. Сферическое облако силовых линий «сплющивается» в блин, перпендикулярный скорости. Это чисто релятивистский эффект, и при $\beta \to 1$ поле почти целиком собирается в тонкий поперечный диск.

Бимингование: излучение собирается в конус

Если заряд ускоряется, включается радиационная часть поля, и мощность излучения по углам описывается обобщением формулы Лармора. Для ускорения, перпендикулярного скорости (например, в магнитном поле), угловое распределение

$$\frac{dP}{d\Omega} \sim \frac{\sin^2\theta}{(1-\beta\cos\theta)^5}$$

имеет в знаменателе пятую степень множителя запаздывания. При малых скоростях это симметричная «восьмёрка» Лармора, но с ростом $\beta$ пятая степень $\kappa$ резко вытягивает лепесток вперёд: излучение собирается в узкий конус с полууглом порядка $1/\gamma$. Полярная диаграмма в калькуляторе наглядно показывает это сжатие. Именно так работает синхротронное излучение: ультрарелятивистский электрон светит почти строго по касательной к своей орбите.

Частые ошибки

• Берут расстояние до текущего положения заряда, а не до запаздывающего. В формулу входит $R(t_r)$ - расстояние до точки, где заряд был в момент $t_r$, а не где он сейчас.
• Забывают множитель $\kappa$. Без $1-\beta\cos\theta$ получается потенциал покоящегося заряда; вся специфика движения теряется.
• Путают степени $\kappa$. В потенциале $\kappa$ в первой степени, в скоростном поле - в кубе, в угловом распределении мощности - в пятой. Степень зависит от того, что именно вы дифференцируете.
• Считают, что векторный потенциал нужно искать отдельно. Для одного заряда всегда $\vec A = (\vec\beta/c)\varphi$ - достаточно найти $\varphi$.
• Применяют формулу равномерного движения там, где есть ускорение. «Поле от мгновенного положения» верно только при $\dot{\vec\beta} = 0$; с ускорением добавляется радиационный член.

FAQ

Чем потенциалы Лиенара-Вихерта отличаются от запаздывающих потенциалов? Запаздывающие потенциалы - это общий интеграл по распределённому источнику с учётом запаздывания. Потенциалы Лиенара-Вихерта - результат вычисления этого интеграла для точечного заряда: интегрирование дельта-функции по траектории и даёт множитель $1/\kappa$ как якобиан перехода к запаздывающему времени.

Почему в знаменателе именно $1-\beta\cos\theta$, а не что-то другое? Этот множитель - якобиан $dt_r/dt$ при переходе от лабораторного времени к запаздывающему. Пока заряд приближается к наблюдателю, его «собственные» интервалы времени сжимаются на стороне наблюдателя, и плотность фронтов поля растёт как $1/(1-\beta\cos\theta)$.

Можно ли по этим потенциалам получить излучение Лармора? Да. В нерелятивистском пределе ($\beta \ll 1$) радиационная часть поля даёт мощность $P = \dfrac{q^2 a^2}{6\pi\varepsilon_0 c^3}$ - формулу Лармора. Полные потенциалы Лиенара-Вихерта - её релятивистское обобщение, добавляющее множители $\kappa$ и лоренц-фактор.

Коротко

Потенциалы Лиенара-Вихерта дают точное поле произвольно движущегося точечного заряда: скалярный потенциал $\varphi = kq/(\kappa R)$ и векторный $\vec A = (\vec\beta/c)\varphi$, взятые в запаздывающий момент $t_r = t - R/c$. Вся специфика держится на множителе запаздывания $\kappa = 1-\beta\cos\theta$, который усиливает поле вперёд по движению. Дифференцирование потенциалов разделяет поле на ближнее скоростное ($\sim 1/R^2$) и волновое радиационное ($\sim 1/R$), а пятая степень $\kappa$ в угловом распределении объясняет бимингование - сжатие излучения быстрого заряда в узкий конус вперёд.