Потенциал поля точечного заряда: формула и расчёт

Потенциал поля точечного заряда показывает, какую потенциальную энергию приобретёт единичный положительный заряд, если поместить его в данную точку поля. Это скалярная величина: у неё нет направления, складывать потенциалы нескольких зарядов проще, чем напряжённости, поэтому в задачах потенциал часто оказывается короткой дорогой к ответу. Ниже разберём, откуда берётся формула $\varphi = \dfrac{kq}{\varepsilon r}$, почему потенциал отсчитывают от бесконечности, как он связан с напряжённостью и работой поля, и где студенты теряют знак или единицы. Чтобы сразу почувствовать связь заряда, расстояния и потенциала, покрути калькулятор ниже: он считает потенциал, напряжённость и энергию пробного заряда и рисует, как потенциал спадает с расстоянием.

Формула потенциала точечного заряда

Потенциал поля, создаваемого точечным зарядом $q$ на расстоянии $r$ от него, равен

$\varphi = \frac{kq}{\varepsilon r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{q}{\varepsilon r},$

где $k = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99\cdot10^9$ Н·м²/Кл² - электростатическая постоянная, $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная, а $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды (в вакууме и приближённо в воздухе $\varepsilon = 1$). Потенциал измеряется в вольтах: $1\ \text{В} = 1\ \text{Дж/Кл}$.

Ключевая особенность формулы - спад как $1/r$. В отличие от напряжённости, которая убывает как $1/r^2$, потенциал падает медленнее. Знак потенциала совпадает со знаком заряда: положительный заряд создаёт вокруг себя положительный потенциал, отрицательный - отрицательный. Это видно прямо в формуле, ведь $k$, $\varepsilon$ и $r$ всегда положительны.

Рассчитать для своей задачи

Почему потенциал отсчитывают от бесконечности

Потенциал определён с точностью до постоянной: физический смысл имеет только разность потенциалов, потому что именно она задаёт работу поля. Чтобы зафиксировать конкретное число, нужно выбрать точку, где потенциал считается нулевым. Для точечного заряда удобнее всего принять, что потенциал равен нулю на бесконечности: $\varphi(\infty) = 0$. Тогда формула $\varphi = kq/(\varepsilon r)$ даёт ровно ту работу, которую совершит поле, перенося единичный положительный заряд из данной точки на бесконечность.

Этот выбор объясняет и физический смысл потенциала: $\varphi$ численно равен работе поля по удалению единичного положительного заряда из точки на бесконечность, делённой на величину этого заряда. Если же в задаче речь идёт о потенциале относительно заземлённой пластины или другой точки, нулём считают её, и тогда в расчёт идёт разность потенциалов, а не само значение $\varphi$.

Связь потенциала, напряжённости и энергии

Потенциал и напряжённость описывают одно и то же поле, но с разных сторон: напряжённость - векторная силовая характеристика, потенциал - скалярная энергетическая. Для точечного заряда они связаны простым соотношением:

$E = \frac{kq}{\varepsilon r^2} = \frac{\varphi}{r}.$

Отсюда видно, почему на графике потенциал спадает плавнее: разделив $\varphi$ на $r$, мы дополнительно делим на расстояние, и кривая поля прижимается к оси быстрее.

Рассчитать для своей задачи

Потенциальная энергия пробного заряда $q_0$, помещённого в точку с потенциалом $\varphi$, равна

$W = q_0\,\varphi = \frac{k q q_0}{\varepsilon r}.$

Если заряды одноимённые, энергия положительна (поле стремится их растолкать), если разноимённые - отрицательна (заряды притягиваются, и нужно совершить работу, чтобы их развести). Эта же величина появляется в законе сохранения энергии, когда заряд разгоняется полем.

Работа поля и разность потенциалов

Работа, которую совершает поле точечного заряда при перемещении пробного заряда $q_0$ из точки на расстоянии $r_1$ в точку на расстоянии $r_2$, выражается через разность потенциалов этих точек:

$A = q_0(\varphi_1 - \varphi_2) = k q q_0\left(\frac{1}{\varepsilon r_1} - \frac{1}{\varepsilon r_2}\right).$

Важная деталь: работа поля не зависит от формы траектории, а только от начального и конечного положения. Это и есть проявление потенциальности электростатического поля. Поэтому в задачах не нужно интегрировать вдоль кривого пути - достаточно подставить потенциалы двух точек. Если $r_2 \to \infty$, то $\varphi_2 \to 0$, и работа сводится к $A = q_0\varphi_1$ - это снова отсылает к смыслу потенциала как работы по удалению заряда на бесконечность.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: точечный заряд $q = 10$ нКл находится в воздухе. Нужно найти потенциал поля в точке на расстоянии $r = 30$ см от заряда, а также напряжённость поля в этой точке.

Первым делом переводим всё в систему СИ, иначе ответ получится в неверных единицах:

$q = 10\ \text{нКл} = 10\cdot10^{-9}\ \text{Кл} = 10^{-8}\ \text{Кл}, \qquad r = 30\ \text{см} = 0{,}30\ \text{м}.$

Воздух почти не отличается от вакуума, поэтому $\varepsilon = 1$. Подставляем в формулу потенциала:

$\varphi = \frac{kq}{\varepsilon r} = \frac{8{,}99\cdot10^9 \cdot 10^{-8}}{1\cdot 0{,}30} \approx 300\ \text{В}.$

Теперь напряжённость в той же точке найдём через уже известное $\varphi$, поделив на расстояние:

$E = \frac{\varphi}{r} = \frac{300}{0{,}30} \approx 1000\ \frac{\text{В}}{\text{м}}.$

Проверка согласованности: тот же результат даёт прямая формула $E = kq/(\varepsilon r^2) = 8{,}99\cdot10^9\cdot10^{-8}/0{,}09 \approx 999$ В/м. Совпадение подтверждает, что единицы и подстановка верны. Если задать в калькуляторе выше те же $q$, $r$ и $\varepsilon$, он соберёт ровно эту цепочку и покажет график спада потенциала.

Частые ошибки

• Заряд оставляют в нанокулонах. Формула работает только в СИ: нКл нужно перевести в кулоны ($1\ \text{нКл} = 10^{-9}\ \text{Кл}$), а сантиметры в метры. Забытый перевод даёт ответ, отличающийся на много порядков.
• Путают спад потенциала и напряжённости. Потенциал убывает как $1/r$, а напряжённость как $1/r^2$. Подставлять $r^2$ в формулу потенциала - частая ошибка.
• Теряют знак заряда. Для отрицательного заряда потенциал отрицателен. Если в формулу подставлять модуль, теряется знак, и энергия пробного заряда получится с неверным знаком.
• Считают потенциал векторной величиной. Потенциал - скаляр, его нельзя складывать по правилу параллелограмма. Потенциалы нескольких зарядов складываются алгебраически, с учётом знаков.
• Забывают про среду. В диэлектрике потенциал в $\varepsilon$ раз меньше, чем в вакууме. Для воды $\varepsilon \approx 81$, и игнорировать её нельзя.

FAQ

По какой формуле считают потенциал поля точечного заряда? По формуле $\varphi = kq/(\varepsilon r)$, где $k \approx 8{,}99\cdot10^9$ Н·м²/Кл², $q$ - заряд в кулонах, $r$ - расстояние в метрах, $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды. Потенциал отсчитывается от бесконечности и измеряется в вольтах.

Чем потенциал отличается от напряжённости поля? Напряжённость - векторная силовая характеристика, она показывает силу, действующую на единичный заряд, и спадает как $1/r^2$. Потенциал - скалярная энергетическая характеристика, он показывает потенциальную энергию единичного заряда и спадает как $1/r$. Они связаны соотношением $E = \varphi/r$ для точечного заряда.

Может ли потенциал быть отрицательным? Да. Знак потенциала совпадает со знаком создающего его заряда: отрицательный заряд создаёт вокруг себя поле с отрицательным потенциалом. При сложении потенциалов разных зарядов результат тоже может быть как положительным, так и отрицательным.

Коротко

Потенциал поля точечного заряда задаётся формулой $\varphi = kq/(\varepsilon r)$ и отсчитывается от бесконечности, где его принимают равным нулю. Это скалярная энергетическая характеристика поля: она спадает как $1/r$, тогда как напряжённость падает быстрее, как $1/r^2$, и связана с потенциалом через $E = \varphi/r$. Работа поля при переносе заряда определяется разностью потенциалов точек и не зависит от траектории. В расчётах главное - перевести величины в СИ и не потерять знак заряда.