Задачи на потенциал и разность потенциалов: разбор

Потенциал и разность потенциалов - одна из самых частых тем в задачах по электростатике, и одновременно та, где студенты теряют баллы на мелочах: путают потенциал с напряжённостью, забывают про знак заряда, оставляют расстояние в сантиметрах. На деле почти все такие задачи сводятся к трём формулам: потенциал точечного заряда, сложение потенциалов нескольких зарядов и работа поля по переносу заряда. Ниже разберём каждую формулу, покажем, как они связаны, и пройдём типовую задачу до числа. Чтобы сразу почувствовать, как потенциал в точке зависит от зарядов и расстояний, покрути калькулятор ниже: он показывает профиль потенциала вдоль оси, считает потенциалы в выбранных точках A и B, их разность и работу по переносу пробного заряда.

Потенциал точечного заряда

Потенциал - это энергетическая характеристика поля: он показывает, какую потенциальную энергию имел бы единичный положительный заряд в данной точке. Для поля точечного заряда $q$ потенциал на расстоянии $r$ от него равен:

$\varphi = \frac{k q}{r}, \qquad k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = 8{,}99\cdot10^{9}\ \text{Н·м}^2/\text{Кл}^2.$

Здесь важны два момента. Во-первых, потенциал - величина скалярная, у него нет направления, есть только знак: у положительного заряда потенциал поля положителен, у отрицательного - отрицателен. Во-вторых, потенциал убывает как $1/r$, а не как $1/r^2$, в отличие от напряжённости поля. Это разные вещи: напряжённость $E$ - вектор силы на единичный заряд, потенциал $\varphi$ - скаляр энергии. Их связывает соотношение $E = -\dfrac{d\varphi}{dr}$, но в большинстве школьных и вузовских задач они считаются по отдельным формулам.

Рассчитать для своей задачи

За нулевой уровень потенциала по умолчанию принимают бесконечно удалённую точку: при $r \to \infty$ потенциал $\varphi \to 0$. Поэтому формула $\varphi = kq/r$ даёт потенциал относительно бесконечности, и именно из этого выбора нуля следует, что разность потенциалов между точкой и бесконечностью равна просто потенциалу самой точки.

Принцип суперпозиции: потенциал нескольких зарядов

Если поле создают несколько зарядов, потенциал в точке равен алгебраической сумме потенциалов от каждого заряда по отдельности:

$\varphi = \sum_i \frac{k q_i}{r_i} = \frac{k q_1}{r_1} + \frac{k q_2}{r_2} + \dots$

Ключевое слово - алгебраической: складываются именно скаляры со своими знаками, без всякой геометрии. Это огромное упрощение по сравнению с напряжённостью, где пришлось бы складывать векторы по правилу параллелограмма. Здесь же достаточно для каждого заряда взять его величину со знаком, поделить на расстояние до интересующей точки и всё сложить.

Рассчитать для своей задачи

На графике потенциала вдоль оси видно, как складываются вклады. Около положительного заряда кривая взлетает к большим положительным значениям, около отрицательного - проваливается вниз. Где-то между зарядами разного знака потенциал проходит через ноль - это точка, в которой вклады обоих зарядов гасят друг друга. Калькулятор выше строит ровно такой профиль и отмечает на нём ваши точки A и B.

Разность потенциалов и напряжение

Разность потенциалов между двумя точками A и B - это просто разность их потенциалов:

$U = \varphi_A - \varphi_B.$

Эту величину часто называют напряжением между точками. Она измеряется в вольтах: $1\ \text{В} = 1\ \text{Дж}/\text{Кл}$. Разность потенциалов не зависит от того, какой заряд мы будем переносить, - это характеристика самого поля. Именно поэтому в задачах разность потенциалов удобнее, чем сами потенциалы: выбор нуля потенциала сокращается, и остаётся чистая физика поля между двумя точками.

Часто разность потенциалов связывают с напряжённостью однородного поля. Для однородного поля (например, между пластинами конденсатора) справедлива удобная формула:

$U = E \cdot d,$

где $d$ - расстояние между точками вдоль линии поля. Это частный случай, работающий только для однородного поля; для поля точечного заряда нужно считать потенциалы в каждой точке отдельно и вычитать.

Работа поля по переносу заряда

Главная практическая ценность разности потенциалов - через неё считается работа электрического поля. Работа сил поля по переносу заряда $q_0$ из точки A в точку B равна:

$W = q_0 (\varphi_A - \varphi_B) = q_0 \, U.$

Это определяющая формула: работа равна заряду, умноженному на пройденную разность потенциалов. Знак работы важен. Если положительный заряд движется в сторону меньшего потенциала, поле совершает положительную работу (оно «помогает» движению). Если заряд гонят против поля - в сторону большего потенциала, - работа поля отрицательна, а положительную работу совершают внешние силы. Для отрицательного заряда всё наоборот: знак работы переворачивается вместе со знаком $q_0$.

Из этой же формулы вытекает связь с потенциальной энергией: $W = -\Delta W_{\text{п}}$, то есть работа поля равна убыли потенциальной энергии заряда. А энергия заряда в точке равна $W_{\text{п}} = q_0 \varphi$. Поэтому потенциал и можно трактовать как потенциальную энергию единичного заряда.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную постановку. Точечный заряд $q = 8$ нКл создаёт поле. Нужно найти потенциал в точке A на расстоянии $r_A = 10$ см и в точке B на расстоянии $r_B = 40$ см от заряда, их разность и работу поля по переносу заряда $q_0 = 2$ нКл из A в B.

Сначала переводим всё в систему СИ: $q = 8\cdot10^{-9}$ Кл, $r_A = 0{,}1$ м, $r_B = 0{,}4$ м, $q_0 = 2\cdot10^{-9}$ Кл. Считаем потенциал в точке A:

$\varphi_A = \frac{k q}{r_A} = \frac{8{,}99\cdot10^{9} \cdot 8\cdot10^{-9}}{0{,}1} \approx 719\ \text{В}.$

Тем же способом - потенциал в точке B, которая дальше от заряда:

$\varphi_B = \frac{k q}{r_B} = \frac{8{,}99\cdot10^{9} \cdot 8\cdot10^{-9}}{0{,}4} \approx 180\ \text{В}.$

Разность потенциалов между точками:

$U = \varphi_A - \varphi_B = 719 - 180 = 539\ \text{В}.$

Наконец, работа поля по переносу заряда $q_0$ из A в B:

$W = q_0 \, U = 2\cdot10^{-9} \cdot 539 \approx 1{,}08\cdot10^{-6}\ \text{Дж} = 1{,}08\ \text{мкДж}.$

Работа положительна: положительный заряд $q_0$ движется из области большего потенциала в область меньшего, поле «помогает» движению. Если бы заряд переносили обратно, из B в A, работа поля оказалась бы такой же по модулю, но отрицательной. Калькулятор выше собирает именно эту цепочку рассуждений и держит единицы под контролем.

Частые ошибки

• Потенциал путают с напряжённостью. Потенциал $\varphi = kq/r$ - скаляр, убывает как $1/r$; напряжённость $E = kq/r^2$ - вектор, убывает как $1/r^2$. Это разные формулы для разных величин.
• Расстояние оставляют в сантиметрах. В формулу $\varphi = kq/r$ подставляют $r$ в метрах. Сантиметры дают ответ в сто раз больше нужного.
• Теряют знак заряда. При суперпозиции каждый заряд входит со своим знаком: отрицательный заряд даёт отрицательный вклад в потенциал. Складываются алгебраически, а не по модулю.
• Считают потенциалы векторно. Потенциалы от нескольких зарядов складываются как обычные числа, без геометрии и проекций - в отличие от напряжённостей.
• Путают знак работы. Работа поля положительна, когда положительный заряд идёт от большего потенциала к меньшему. Для отрицательного заряда или движения против поля знак меняется.

FAQ

Чем отличается потенциал от разности потенциалов? Потенциал - характеристика одной точки поля относительно выбранного нуля (обычно бесконечности). Разность потенциалов (напряжение) - это разность потенциалов двух точек, $U = \varphi_A - \varphi_B$. Именно через разность считается работа поля, и она не зависит от выбора нуля потенциала.

Как найти потенциал в точке от нескольких зарядов? Посчитать потенциал от каждого заряда по формуле $\varphi_i = kq_i/r_i$ со своим знаком и сложить все значения как обычные числа: $\varphi = \sum_i kq_i/r_i$. Это принцип суперпозиции для потенциала - складываются скаляры, без векторов.

Как связаны работа поля и разность потенциалов? Работа сил поля по переносу заряда $q_0$ между двумя точками равна произведению заряда на разность потенциалов: $W = q_0(\varphi_A - \varphi_B) = q_0 U$. Отсюда же следует, что $1$ вольт - это разность потенциалов, при которой поле совершает $1$ джоуль работы над зарядом $1$ кулон.

Коротко

Задачи на потенциал и разность потенциалов держатся на трёх формулах: потенциал точечного заряда $\varphi = kq/r$, сложение потенциалов по принципу суперпозиции (алгебраически, со знаками) и работа поля $W = q_0(\varphi_A - \varphi_B)$. Потенциал - скаляр, убывает как $1/r$ и не путается с напряжённостью. Разность потенциалов - характеристика поля, не зависящая от переносимого заряда, и именно через неё считается работа. Главное - переводить единицы в СИ и не терять знаки зарядов и работы.