Работа поля при перемещении заряда: формула и задачи

Задачи на работу электрического поля при перемещении заряда - один из базовых типов в школьном курсе физики, который встречается и на ОГЭ, и на ЕГЭ, и в вузовских задачниках. Формула компактна: $A = qEd\cos\alpha$, где $q$ - заряд, $E$ - напряжённость поля, $d$ - длина пути, $\alpha$ - угол между вектором поля и направлением перемещения. Но в задачах регулярно путают знак, забывают про угол или неправильно связывают работу с разностью потенциалов. Покрутите слайдеры калькулятора ниже, чтобы сразу почувствовать, как меняется работа при изменении угла и расстояния, - а потом разберём каждую формулу строго.

Формула работы электрического поля

Однородное электрическое поле действует на заряд $q$ с постоянной силой $F = qE$. Когда заряд перемещается на вектор $\vec{d}$, поле совершает работу, равную проекции силы на направление перемещения:

$A = F \cdot d \cdot \cos\alpha = qEd\cos\alpha,$

где $\alpha$ - угол между вектором напряжённости $\vec{E}$ и вектором перемещения $\vec{d}$.

Рассчитать для своей задачи

Знак работы определяется знаком $\cos\alpha$:

• $\alpha < 90°$: $\cos\alpha > 0$, работа положительная - поле ускоряет заряд, увеличивая его кинетическую энергию.
• $\alpha = 90°$: $\cos 90° = 0$, работа равна нулю - перемещение перпендикулярно силовым линиям.
• $\alpha > 90°$: $\cos\alpha < 0$, работа отрицательная - поле тормозит заряд, совершая работу против движения.

Важно: знак заряда $q$ тоже влияет. Если $q < 0$, формула не меняется - просто $A$ получит дополнительный минус. Для отрицательного заряда, движущегося вдоль поля ($\alpha = 0$), поле совершает отрицательную работу, то есть тормозит его.

Связь с разностью потенциалов

Работу поля удобно выразить через разность потенциалов $\varphi_1 - \varphi_2$ между начальной и конечной точками траектории:

$A = q(\varphi_1 - \varphi_2) = qU,$

где $U = \varphi_1 - \varphi_2$ - напряжение (разность потенциалов). Это соотношение справедливо для любого электростатического поля, не только для однородного. Для однородного поля напряжение связано с напряжённостью через проекцию пути:

$U = Ed\cos\alpha = El,$

где $l = d\cos\alpha$ - расстояние между эквипотенциальными поверхностями, проекция пути на направление поля. Поэтому $A = qEd\cos\alpha$ и $A = qU$ - два эквивалентных способа записи одной и той же формулы.

Рассчитать для своей задачи

Ключевое свойство: работа не зависит от пути

Электростатическое поле - потенциальное. Это означает, что работа по перемещению заряда между двумя точками не зависит от формы пути - только от положения начальной и конечной точек. Заряд можно провести по прямой, по дуге или по ломаной - работа будет одинаковой, если начальный и конечный потенциалы совпадают. Следствие: по замкнутому контуру работа поля равна нулю.

Это свойство принципиально отличает электростатику от, например, трения: с трением работа зависит от длины пути. Если в задаче дано «заряд перемещается из A в B», достаточно знать $\varphi_A$ и $\varphi_B$ - форма пути несущественна.

Разбор типовой задачи: угол 60°

Разберём классическую постановку: заряд $q = 2\text{ мкКл} = 2 \cdot 10^{-6}\text{ Кл}$ перемещают на $d = 10\text{ см} = 0{,}1\text{ м}$ в однородном поле $E = 2000\text{ В/м}$, угол между полем и перемещением $\alpha = 60°$.

Находим работу по основной формуле:

$A = qEd\cos\alpha = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 2000 \cdot 0{,}1 \cdot \cos 60° = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 2000 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}5 = 2 \cdot 10^{-4}\text{ Дж}.$

Разность потенциалов между начальной и конечной точками:

$U = Ed\cos\alpha = 2000 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}5 = 100\text{ В}.$

Проверка: $A = qU = 2 \cdot 10^{-6} \cdot 100 = 2 \cdot 10^{-4}\text{ Дж}$. Совпадает.

Разбор задачи: заряд движется перпендикулярно полю

Заряд $q = 5\text{ нКл}$ перемещают на $d = 20\text{ см}$ перпендикулярно силовым линиям однородного поля $E = 1000\text{ В/м}$, то есть $\alpha = 90°$.

$A = qEd\cos 90° = qEd \cdot 0 = 0.$

Работа равна нулю. При этом поле никуда не пропало: на заряд действует сила $F = qE$, но она перпендикулярна перемещению, поэтому и не совершает работы. Потенциал вдоль эквипотенциальных поверхностей не меняется - $\varphi_1 = \varphi_2$, $U = 0$.

Задача с отрицательным зарядом

Электрон ($q = -1{,}6 \cdot 10^{-19}\text{ Кл}$) перемещается из точки A с потенциалом $\varphi_A = 300\text{ В}$ в точку B с потенциалом $\varphi_B = 100\text{ В}$.

Работа поля: $A = q(\varphi_A - \varphi_B) = (-1{,}6 \cdot 10^{-19}) \cdot (300 - 100) = -1{,}6 \cdot 10^{-19} \cdot 200 = -3{,}2 \cdot 10^{-17}\text{ Дж}.$

Отрицательная работа: поле тормозит электрон. Интуиция: $\varphi_A > \varphi_B$, значит, электрон движется от высокого потенциала к низкому, но это направление совпадает с направлением силы $q\vec{E}$ только для положительного заряда. У электрона $q < 0$, сила направлена в сторону роста потенциала - поле действует против движения.

Алгоритм решения задачи на работу поля

1. Определить, что дано: $q$, $E$, $d$, $\alpha$ или $q$, $U = \varphi_1 - \varphi_2$.
2. Если угол задан в условии - сразу применить $A = qEd\cos\alpha$.
3. Если даны потенциалы - применить $A = q(\varphi_1 - \varphi_2)$.
4. Проверить знак: $A > 0$ - поле ускоряет, $A < 0$ - тормозит.
5. Если поле неоднородное или путь произвольный - пользоваться только формулой через потенциалы (формула с $E$ справедлива лишь для однородного поля).

Частые ошибки

• Подстановка пути вместо проекции. Если $\alpha \ne 0$, нельзя просто умножать $E$ на $d$: нужен $d\cos\alpha$. Самая частая ошибка - пропустить угол.
• Неверный знак при отрицательном заряде. Электрон или анион: $q < 0$. Знак $A$ меняется на противоположный тому, что ожидается «по интуиции».
• Путаница разности потенциалов. $U = \varphi_1 - \varphi_2$ (начальная минус конечная). Если написать $\varphi_2 - \varphi_1$, знак работы перевернётся.
• Применение $A = qEd\cos\alpha$ к неоднородному полю. Формула с $E$ работает только там, где поле постоянно. Для неоднородного - только $A = q(\varphi_1 - \varphi_2)$.
• Игнорирование пути по замкнутому контуру. Если начальная и конечная точки совпадают, работа равна нулю - потенциалы одинаковые.

FAQ

Зависит ли работа электрического поля от формы пути? Нет: электростатическое поле потенциально, работа определяется только начальным и конечным потенциалами. При любом пути из A в B получается $A = q(\varphi_A - \varphi_B)$.

Что происходит при движении заряда вдоль эквипотенциальной поверхности? Потенциал не меняется, $\varphi_1 = \varphi_2$, $U = 0$, работа $A = qU = 0$. Движение вдоль эквипотентали - это частный случай $\alpha = 90°$: силовые линии перпендикулярны эквипотентальным поверхностям.

Как найти кинетическую энергию заряда после перемещения? Из теоремы о работе-энергии: $\Delta E_k = A$, то есть изменение кинетической энергии равно работе всех сил. Если действует только электрическое поле, $E_{k2} - E_{k1} = q(\varphi_1 - \varphi_2)$.

Коротко

Работа электрического поля при перемещении заряда рассчитывается по формуле $A = qEd\cos\alpha$ для однородного поля или $A = q(\varphi_1 - \varphi_2)$ в общем случае. При $\alpha = 90°$ работа нула, при $\alpha > 90°$ - отрицательная. Знак заряда входит в формулу напрямую: для электрона работа меняет знак. Результат не зависит от формы пути - только от начальной и конечной точек.