Закон Кулона: задачи на взаимодействие зарядов

Закон Кулона описывает силу взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов: чем больше заряды и чем ближе они друг к другу, тем сильнее притяжение или отталкивание. Это первая количественная формула электростатики, и почти все задачи на взаимодействие зарядов сводятся к ней или к её векторному обобщению. Ниже разберём саму формулу, как правильно переводить единицы, что меняет среда между зарядами и как решать типовые задачи, не путаясь в порядках величин. Чтобы сразу почувствовать, как сила зависит от зарядов, расстояния и среды, покрути калькулятор ниже: он считает силу, показывает притяжение или отталкивание на схеме и строит график F(r), а дальше мы разберём каждый шаг строго.

Формула закона Кулона

Сила взаимодействия двух точечных зарядов прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними:

$F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{r^2},$

где $q_1$ и $q_2$ - заряды в кулонах, $r$ - расстояние между ними в метрах, а $k$ - коэффициент пропорциональности:

$k = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \approx 8{,}99\cdot10^9\ \frac{\text{Н}\cdot\text{м}^2}{\text{Кл}^2}.$

Здесь $\varepsilon_0 = 8{,}85\cdot10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная. Сила направлена вдоль прямой, соединяющей заряды. Если знаки зарядов одинаковы, заряды отталкиваются; если разные - притягиваются. Поэтому в формулу подставляют модули зарядов, а направление определяют отдельно по знакам.

Рассчитать для своей задачи

Закон Кулона по форме похож на закон всемирного тяготения: та же обратная квадратичная зависимость от расстояния. Разница в том, что гравитация всегда притягивает, а кулоновская сила может и притягивать, и отталкивать в зависимости от знаков зарядов.

Перевод единиц: где теряются множители

Главная техническая трудность в задачах на закон Кулона - единицы. Заряды в условии почти всегда даны в микрокулонах ($1$ мкКл $= 10^{-6}$ Кл) или нанокулонах ($1$ нКл $= 10^{-9}$ Кл), а расстояние - в сантиметрах или миллиметрах. Прежде чем подставлять числа в формулу, переведите всё в систему СИ: заряды в кулоны, расстояние в метры.

Возьмём базовый пример: заряды $q_1 = 5$ нКл и $q_2 = 3$ нКл в вакууме на расстоянии $r = 10$ см. Переводим:

$q_1 = 5\cdot10^{-9}\ \text{Кл}, \qquad q_2 = 3\cdot10^{-9}\ \text{Кл}, \qquad r = 0{,}1\ \text{м}.$

Подставляем в формулу:

$F = 8{,}99\cdot10^9 \cdot \frac{5\cdot10^{-9} \cdot 3\cdot10^{-9}}{(0{,}1)^2} \approx 1{,}35\cdot10^{-5}\ \text{Н} = 13{,}5\ \text{мкН}.$

Если бы расстояние оставили в сантиметрах, ответ ошибся бы в $10^4$ раз. Именно перевод единиц - самый частый источник неверных ответов, поэтому калькулятор выше принимает заряды в нанокулонах и расстояние в сантиметрах, а пересчёт в СИ делает сам.

Рассчитать для своей задачи

Как среда меняет силу

Все формулы выше записаны для вакуума. Если заряды погружены в среду (масло, вода, диэлектрик), сила взаимодействия ослабевает. Это учитывают относительной диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$:

$F = k\,\frac{|q_1 q_2|}{\varepsilon r^2}.$

Для вакуума $\varepsilon = 1$, для воздуха практически тоже единица. А вот у воды $\varepsilon \approx 81$ - это значит, что в воде сила между теми же зарядами на том же расстоянии будет в 81 раз меньше, чем в вакууме. Среда экранирует поле: молекулы диэлектрика поляризуются и частично компенсируют поле зарядов.

В задачах это работает так: посчитайте силу как для вакуума, а потом разделите на $\varepsilon$. Передвиньте ползунок среды в калькуляторе от вакуума ($\varepsilon = 1$) к воде ($\varepsilon = 81$) и увидите, как сила падает почти на два порядка при неизменных зарядах и расстоянии.

Закон обратных квадратов в задачах

Зависимость $F \sim 1/r^2$ - ключевая идея почти всех расчётных задач. Если расстояние между зарядами увеличить в $n$ раз, сила уменьшится в $n^2$ раз; если сблизить вдвое - сила вырастет в четыре раза. Это позволяет решать задачи без полного пересчёта: достаточно сравнить отношения.

Рассчитать для своей задачи

Например, если при $r = 10$ см сила равна $F_0$, то при $r = 20$ см она станет $F_0/4$, а при $r = 5$ см вырастет до $4F_0$. График F(r) в калькуляторе наглядно показывает эту крутизну: вблизи зарядов сила огромна, а с расстоянием быстро сходит почти к нулю.

Векторное сложение: несколько зарядов

Когда на пробный заряд действуют несколько зарядов, применяют принцип суперпозиции: полная сила равна векторной сумме сил от каждого заряда по отдельности. Каждую силу считают по закону Кулона, а потом складывают как векторы - по правилу параллелограмма или по проекциям на оси.

Типичная задача такого типа - найти положение равновесия. Например, два одинаковых заряда закреплены, и нужно найти точку, где третий заряд не будет испытывать результирующей силы. В этой точке силы от двух зарядов равны по модулю и противоположны по направлению. Для одинаковых закреплённых зарядов точка равновесия лежит ровно посередине между ними. Такие задачи решаются приравниванием модулей сил и обычно сводятся к простому квадратному уравнению относительно расстояния.

Частые ошибки

• Расстояние не переведено в метры. Формула работает только в СИ. Сантиметры или миллиметры в знаменателе дают ошибку в сотни и тысячи раз. Всегда переводите $r$ в метры до подстановки.
• Забыли про среду. Если заряды в воде или масле, сила делится на $\varepsilon$. Пропуск этого множителя завышает ответ в десятки раз.
• Подставили заряды со знаком. В формулу идут модули зарядов. Знаки определяют только направление силы (притяжение или отталкивание), но не её величину.
• Складывают силы как числа, а не как векторы. Когда зарядов больше двух, силы складывают векторно. Простое сложение модулей верно только для зарядов на одной прямой и с учётом направлений.
• Путаница нано- и микрокулон. $1$ мкКл $= 1000$ нКл. Перепутанная приставка меняет ответ на три порядка.

FAQ

Чему равна сила между двумя зарядами по 1 мкКл на расстоянии 1 м в вакууме? Подставляем в формулу: $F = 8{,}99\cdot10^9 \cdot (10^{-6})^2 / 1^2 = 8{,}99\cdot10^{-3}$ Н, то есть около 9 мН. Заряды одного знака отталкиваются.

Как определить, притягиваются заряды или отталкиваются? По знакам. Если знаки одинаковы (оба плюс или оба минус) - заряды отталкиваются. Если знаки разные - притягиваются. В саму формулу при этом подставляют модули зарядов, а направление силы определяют отдельно.

Во сколько раз меняется сила, если расстояние увеличить втрое? Сила обратно пропорциональна квадрату расстояния, поэтому при увеличении $r$ в 3 раза сила уменьшится в $3^2 = 9$ раз. При сближении втрое сила, наоборот, вырастет в 9 раз.

Коротко

Закон Кулона задаёт силу взаимодействия точечных зарядов формулой $F = k\,|q_1 q_2|/(\varepsilon r^2)$, где $k \approx 8{,}99\cdot10^9$ Н·м²/Кл². Главное в задачах - перевести заряды в кулоны и расстояние в метры, не забыть разделить на диэлектрическую проницаемость среды и подставлять модули зарядов, определяя направление силы по знакам. Зависимость $F \sim 1/r^2$ позволяет быстро сравнивать силы при разных расстояниях, а для нескольких зарядов силы складывают векторно по принципу суперпозиции.