Тензор Эйнштейна: формула, свойства и роль в ОТО

Тензор Эйнштейна - это геометрический объект, который стоит в левой части уравнений поля общей теории относительности и описывает кривизну пространства-времени. Он собирается из тензора Риччи и скалярной кривизны так, чтобы его ковариантная дивергенция была тождественно равна нулю, и именно это свойство связывает геометрию с законом сохранения энергии-импульса. Ниже разберём, как он определяется, почему имеет ровно такой вид, какие у него свойства и как он работает в реальных решениях. Если нужно проверить собственный вывод компонент или подставить конкретную метрику, удобнее сразу собрать запрос в калькуляторе ниже.

Что такое тензор Эйнштейна

Тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu}$ определяется как комбинация тензора Риччи $R_{\mu\nu}$ и скалярной кривизны $R$:

$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R.$

Здесь $g_{\mu\nu}$ - метрический тензор, $R_{\mu\nu}$ - свёртка тензора кривизны Римана по первому и третьему индексам, а $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$ - скалярная кривизна (полная свёртка Риччи с обратной метрикой). Все три объекта строятся из одной и той же метрики, поэтому $G_{\mu\nu}$ не несёт никакой новой информации сверх той, что уже заложена в кривизне - он лишь упаковывает её в особенно удобную форму.

Удобство в том, что эта конкретная линейная комбинация Риччи и скалярной кривизны обладает уникальным свойством: её ковариантная дивергенция тождественно равна нулю. Никакая другая «естественная» комбинация (например, просто $R_{\mu\nu}$) этим не обладает, и именно поэтому Эйнштейн пришёл к такому виду левой части уравнений поля.

Рассчитать для своей задачи

Почему именно такая комбинация

Сначала Эйнштейн пробовал приравнять тензор энергии-импульса прямо к тензору Риччи: $R_{\mu\nu} = \kappa T_{\mu\nu}$. Но это приводило к противоречию. Тензор энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ удовлетворяет локальному закону сохранения - его ковариантная дивергенция обращается в нуль:

$\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0.$

Значит, и левая часть уравнения обязана иметь нулевую дивергенцию. Но $\nabla^\mu R_{\mu\nu} \ne 0$ в общем случае. Спасают так называемые свёрнутые тождества Бианки, которые следуют из дифференциальных тождеств Бианки для тензора Римана:

$\nabla^\mu \left( R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R \right) = 0.$

То есть именно комбинация $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R$, а не сам тензор Риччи, имеет тождественно нулевую дивергенцию. Поэтому она и берётся за левую часть: согласованность с сохранением энергии-импульса встроена в геометрию автоматически, без дополнительных постулатов.

Уравнения поля общей теории относительности

С тензором Эйнштейна уравнения поля записываются предельно компактно:

$G_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\, T_{\mu\nu},$

где $G$ - гравитационная постоянная, $c$ - скорость света, а $T_{\mu\nu}$ - тензор энергии-импульса материи и полей. Левая часть - чистая геометрия (кривизна), правая - содержание (материя, энергия, давление). Уравнение читается так: материя говорит пространству-времени, как искривляться, а кривизна говорит материи, как двигаться.

В развёрнутом виде, подставив определение $G_{\mu\nu}$, получаем:

$R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R = \frac{8\pi G}{c^4}\, T_{\mu\nu}.$

Иногда к левой части добавляют космологический член $\Lambda g_{\mu\nu}$ - он тоже имеет нулевую дивергенцию (потому что $\nabla^\mu g_{\mu\nu} = 0$), поэтому не нарушает согласованности. О его роли в космологии - в разборе метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера.

Рассчитать для своей задачи

Свойства тензора Эйнштейна

У $G_{\mu\nu}$ несколько ключевых свойств, которые стоит держать в голове при решении задач.

Симметрия. Тензор Эйнштейна симметричен: $G_{\mu\nu} = G_{\nu\mu}$. Это наследуется от симметрии тензора Риччи и метрики. Поэтому в четырёх измерениях у него независимых компонент не 16, а 10.

Нулевая дивергенция. Главное свойство: $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ выполняется тождественно, для любой метрики, без всяких уравнений движения. Это геометрическое тождество, а не закон сохранения сам по себе; но именно оно гарантирует, что в уравнениях поля правая часть тоже сохраняется.

След. Свёртка $G_{\mu\nu}$ с обратной метрикой даёт след:

$G = g^{\mu\nu} G_{\mu\nu} = R - \tfrac{1}{2} \cdot 4 \cdot R = -R,$

в четырёхмерном пространстве-времени ($g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 4$). Отсюда удобный приём: взяв след всего уравнения поля, можно выразить $R$ через след тензора энергии-импульса $T = g^{\mu\nu} T_{\mu\nu}$ и переписать уравнения в «обращённой по следу» форме $R_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}(T_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} T)$.

Размерность имеет значение. В двух измерениях тензор Эйнштейна тождественно равен нулю - геометрия двумерной поверхности слишком «бедна», чтобы он что-то нёс. В трёх измерениях он полностью определяет кривизну (тензор Вейля исчезает). Содержательная динамика гравитации появляется только начиная с четырёх измерений.

Тензор Эйнштейна в вакууме

В пустом пространстве (вакуум, $T_{\mu\nu} = 0$) уравнения поля сводятся к $G_{\mu\nu} = 0$. Взяв след, получаем $-R = 0$, значит $R = 0$, и тогда из $R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R = 0$ следует $R_{\mu\nu} = 0$.

Это важный вывод: в вакууме тензор Риччи обнуляется, но тензор Римана - нет. Кривизна остаётся (иначе не было бы гравитации вокруг звезды), но она целиком сидит в тензоре Вейля - той части кривизны, которая описывает приливные силы и распространение гравитационных волн. Решением вакуумного уравнения $R_{\mu\nu} = 0$ является, например, метрика Шварцшильда чёрной дыры, описывающая поле вне сферически-симметричной массы.

Рассчитать для своей задачи

Как считать компоненты на практике

Прямой путь вычисления $G_{\mu\nu}$ для заданной метрики - длинная, но механическая цепочка.

1. Записать метрику $g_{\mu\nu}$ и найти обратную $g^{\mu\nu}$.
2. Посчитать символы Кристоффеля $\Gamma^\lambda_{\mu\nu} = \tfrac{1}{2} g^{\lambda\sigma}(\partial_\mu g_{\sigma\nu} + \partial_\nu g_{\sigma\mu} - \partial_\sigma g_{\mu\nu})$.
3. Собрать тензор Риччи $R_{\mu\nu} = \partial_\lambda \Gamma^\lambda_{\mu\nu} - \partial_\nu \Gamma^\lambda_{\mu\lambda} + \Gamma^\lambda_{\lambda\sigma}\Gamma^\sigma_{\mu\nu} - \Gamma^\lambda_{\nu\sigma}\Gamma^\sigma_{\mu\lambda}$.
4. Свернуть скалярную кривизну $R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$.
5. Подставить в $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R$.

Для диагональных метрик (Шварцшильд, ФЛРУ) большинство недиагональных компонент обнуляются, и счёт сильно упрощается симметриями. Для проверки ручного вывода удобно собрать запрос в калькуляторе вверху статьи: модель распишет цепочку для конкретной метрики и подскажет, где обычно теряется множитель или знак.

Частые ошибки

• Путают $G_{\mu\nu}$ и $g_{\mu\nu}$. Заглавная $G$ - тензор Эйнштейна (кривизна), строчная $g$ - метрический тензор. Это разные объекты, хотя $g_{\mu\nu}$ входит в определение $G_{\mu\nu}$.
• Считают, что в вакууме кривизна нулевая. В вакууме обнуляется только тензор Риччи $R_{\mu\nu}$, а полная кривизна (тензор Римана, тензор Вейля) сохраняется - иначе не было бы гравитации вокруг звёзд.
• Берут коэффициент $1/2$ как подгоночный. Множитель $\tfrac{1}{2}$ не свободный параметр: только при нём дивергенция обращается в нуль по тождествам Бианки. Любое другое значение сломало бы сохранение энергии-импульса.
• Забывают про размерность при взятии следа. В четырёх измерениях $g^{\mu\nu} g_{\mu\nu} = 4$, поэтому $G = -R$; в других размерностях коэффициент другой.
• Смешивают сигнатуру и знаки. Знак в $8\pi G/c^4$ и определении Риччи зависит от выбранной сигнатуры метрики и соглашения о свёртке - перед счётом надо зафиксировать конвенцию и держать её до конца.

FAQ

Чем тензор Эйнштейна отличается от тензора Риччи? Тензор Риччи $R_{\mu\nu}$ - это свёртка тензора Римана, а тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R$ - поправленная версия Риччи. Ключевое отличие: у тензора Эйнштейна ковариантная дивергенция тождественно равна нулю, а у самого Риччи - нет. Именно поэтому в уравнениях поля стоит $G_{\mu\nu}$, а не $R_{\mu\nu}$.

Почему дивергенция тензора Эйнштейна равна нулю? Это следствие свёрнутых тождеств Бианки - дифференциальных тождеств для тензора Римана, которые после свёртки дают $\nabla^\mu G_{\mu\nu} = 0$ для любой метрики. Свойство геометрическое и выполняется тождественно, независимо от уравнений движения, поэтому оно автоматически согласует левую часть уравнений поля с законом сохранения $\nabla^\mu T_{\mu\nu} = 0$.

Чему равен тензор Эйнштейна в вакууме? В вакууме $G_{\mu\nu} = 0$, откуда $R = 0$ и $R_{\mu\nu} = 0$. Но это не значит, что пространство плоское: тензор Римана и тензор Вейля остаются ненулевыми, описывая кривизну вокруг массы. Пример вакуумного решения - метрика Шварцшильда.

Коротко

Тензор Эйнштейна $G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \tfrac{1}{2} g_{\mu\nu} R$ - это компактная упаковка кривизны пространства-времени, собранная так, чтобы её ковариантная дивергенция была тождественно нулевой. Это свойство, вытекающее из тождеств Бианки, делает его естественной левой частью уравнений поля $G_{\mu\nu} = \tfrac{8\pi G}{c^4} T_{\mu\nu}$ и автоматически согласует геометрию с сохранением энергии-импульса. Он симметричен, имеет след $-R$ в четырёх измерениях, обнуляется в вакууме (вместе с Риччи, но не с полной кривизной) и тривиален в размерностях ниже четырёх.