Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера: краткий разбор

Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (сокращённо FLRW) - основной геометрический каркас современной космологии. Она описывает однородную и изотропную Вселенную в общей теории относительности и приводит к уравнениям Фридмана, на которых построена модель ΛCDM. Ниже - как метрика устроена, какие у неё типы кривизны, что говорят уравнения Фридмана и как численно посчитать ключевые величины для своей задачи.

Исторический контекст: Фридман, Леметр, Робертсон, Уокер

Александр Фридман в 1922 и 1924 годах вывел из уравнений Эйнштейна, что Вселенная может быть нестационарной - расширяться или сжиматься. Это было контр-интуитивно: сам Эйнштейн вводил космологическую постоянную $\Lambda$, чтобы Вселенная оставалась статической. Жорж Леметр в 1927 году независимо получил решения с расширением и связал их с наблюдаемым красным смещением далёких галактик. Позже Леметр выдвинул идею «первоатома» - раннюю версию модели Большого Взрыва. В 1935-37 годах Говард Робертсон и Артур Уокер строго доказали, что любая однородная и изотропная пространственно-временная геометрия записывается в той же форме - отсюда и аббревиатура FLRW.

Космологический принцип и форма метрики

В основе FLRW лежит космологический принцип: на больших масштабах (более 100 Мпк) Вселенная однородна и изотропна. Это сразу резко ограничивает класс возможных метрик. Самая распространённая запись интервала:

$ds^2 = -dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2\, d\Omega^2\right]$

где $t$ - космическое время, $a(t)$ - масштабный фактор, $r$ - сопутствующая радиальная координата, $d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\, d\varphi^2$ - телесный элемент сферы. Параметр $k$ задаёт пространственную кривизну. Масштабный фактор $a(t)$ - единственная динамическая переменная: она показывает, во сколько раз расстояние между сопутствующими точками увеличилось по сравнению с моментом, когда $a = 1$ (обычно - сегодня).

Три типа кривизны: $k = +1, 0, -1$

Параметр $k$ принимает только три значения (после нормировки $a$):

• $k = +1$ - пространство замкнуто, имеет геометрию 3-сферы $S^3$. Объём конечен; «обходишь Вселенную по кругу» - возвращаешься в исходную точку.
• $k = 0$ - пространство плоское, евклидово. Сумма углов треугольника равна $180°$ на любом масштабе.
• $k = -1$ - пространство открытое, гиперболическое. Параллельные линии расходятся, объём бесконечен.

По данным Planck-2018 наблюдаемая Вселенная плоская с точностью до $|\Omega_k| < 0{,}001$. То есть $k = 0$ - рабочая модель, а $k \neq 0$ - это поправки, на которые есть только верхний предел.

Уравнения Фридмана

Подставляя метрику FLRW в уравнения Эйнштейна $G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = 8\pi G\, T_{\mu\nu}$ с тензором энергии-импульса идеальной жидкости, получаем два независимых уравнения. Первое - уравнение Хаббла:

$H^2 \equiv \left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2} + \frac{\Lambda}{3}$

Второе - уравнение ускорения:

$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p) + \frac{\Lambda}{3}$

Здесь $\rho$ - плотность энергии всех компонент (барионы, тёмная материя, излучение, нейтрино), $p$ - давление, $\Lambda$ - космологическая постоянная. Третье уравнение - закон сохранения $\dot\rho + 3H(\rho + p) = 0$ - следует из первых двух автоматически. Удобно вводить безразмерные параметры плотности $\Omega_i = \rho_i / \rho_{\text{cr}}$, где $\rho_{\text{cr}} = 3H^2 / (8\pi G)$. Сумма $\Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda + \Omega_k = 1$ - это просто уравнение Хаббла, переписанное в безразмерных единицах.

Эпохи расширения и поведение $a(t)$

В зависимости от того, какая компонента доминирует, уравнение Фридмана даёт характерное поведение масштабного фактора:

• Эпоха излучения (первые $\sim 50$ тыс. лет). Уравнение состояния $p = \rho/3$, плотность падает как $\rho \propto a^{-4}$. Решение: $a(t) \propto t^{1/2}$.
• Эпоха материи (примерно от $50$ тыс. до $9$ млрд лет). Пыль: $p = 0$, $\rho \propto a^{-3}$. Решение: $a(t) \propto t^{2/3}$.
• Эпоха тёмной энергии (с $z \approx 0{,}4$, то есть с $\sim 5$ млрд лет назад). При $\Lambda > 0$ плотность не разбавляется, и $a(t) \propto e^{H t}$ - экспоненциальное ускоренное расширение де Ситтера.

Современная Вселенная - переходная: $\Omega_m \approx 0{,}315$, $\Omega_\Lambda \approx 0{,}685$, $\Omega_r \approx 9 \cdot 10^{-5}$. Это значит, что мы уже в фазе ускоренного расширения, но материя ещё вносит заметный вклад.

Расширение, красное смещение и Большой Взрыв

Из метрики FLRW сразу следует, что длина волны фотона, излучённого в момент с масштабным фактором $a_e$ и принятого при $a_0$, растёт как $\lambda_0 / \lambda_e = a_0 / a_e \equiv 1 + z$. Это даёт прямую связь между красным смещением $z$ и эпохой излучения. На малых $z$ закон Хаббла $v = H_0 d$ - это первый член разложения. На больших - нужна полная зависимость $H(z) = H_0 \sqrt{\Omega_m (1+z)^3 + \Omega_r (1+z)^4 + \Omega_\Lambda + \Omega_k (1+z)^2}$. Экстраполяция $a(t) \to 0$ назад даёт сингулярность - это и есть Большой Взрыв в смысле классической ОТО. Возраст Вселенной в ΛCDM-модели - $t_0 \approx 13{,}8$ млрд лет.

Наблюдательная проверка: СМБ, сверхновые Ia, BAO

Метрика FLRW - не просто математический объект. Она проверена тремя независимыми способами.

• Космический микроволновой фон (СМБ). Реликтовое излучение с температурой $2{,}725$ К - это эпоха рекомбинации при $z \approx 1100$. Карты анизотропии (COBE, WMAP, Planck) дают угловой спектр мощности с пиками, чьи положения фиксируют $\Omega_m$, $\Omega_b$, $\Omega_\Lambda$, $H_0$ с точностью лучше процента.
• Сверхновые типа Ia. «Стандартные свечи» - наблюдаемая зависимость яркости от $z$ показала в 1998 году (Perlmutter, Riess, Schmidt - Нобелевская премия 2011), что расширение ускоряется. Это прямое свидетельство $\Lambda > 0$.
• Барионные акустические осцилляции (BAO). Звуковой горизонт в эпоху рекомбинации $\approx 150$ Мпк виден в распределении галактик (SDSS, DES, гарвардский каталог 2dF). Это «стандартная линейка», независимо подтверждающая параметры ΛCDM.

Все три метода независимо сходятся к одной точке в пространстве $(\Omega_m, \Omega_\Lambda)$ - это и есть «конкорданс-модель» ΛCDM.

Современная модель ΛCDM

Стандартная космологическая модель состоит из метрики FLRW с $k = 0$ и набора компонент: $\sim 5\%$ обычной материи, $\sim 26\%$ холодной тёмной материи (CDM), $\sim 69\%$ тёмной энергии в виде $\Lambda$, плюс малая доля излучения и нейтрино. У модели всего шесть свободных параметров, и она описывает с одинаковой точностью спектр СМБ, крупномасштабную структуру и hubble-диаграмму сверхновых. Известная нерешённая проблема - «Hubble tension»: значения $H_0$ из СМБ ($67{,}4 \pm 0{,}5$) и из локальных измерений SH0ES ($73{,}0 \pm 1{,}0$) расходятся на $4\sigma$. Это может быть указанием на новую физику за пределами ΛCDM, но может и упираться в систематику.

Частые ошибки

• Путать «галактики разлетаются» и «галактики движутся в пустом пространстве». В FLRW галактики покоятся в сопутствующей системе - растягивается само пространство, а не их скорости.
• Считать, что Большой Взрыв - это «точка в пространстве». Сингулярность $a \to 0$ возникает везде одновременно: ранняя Вселенная - это не маленький объект в большом пустом мире.
• Использовать ньютоновский закон Хаббла $v = H d$ на $z \gtrsim 0{,}1$. На больших $z$ скорости становятся «сверхсветовыми» в наивной интерпретации, но это лишь означает, что простая интерпретация неприменима - нужно работать с $H(z)$.
• Смешивать космологическое и доплеровское красное смещение. Первое - растяжение пространства, второе - собственная скорость. Для далёких объектов вклад собственной скорости пренебрежимо мал.
• Считать, что $\Lambda$ - это «энергия вакуума» в смысле квантовой теории поля. Наблюдаемое значение в $10^{120}$ раз меньше наивной оценки КТП - это и есть «проблема космологической постоянной».

FAQ

Чем отличается метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера от метрики Шварцшильда? Метрика Шварцшильда описывает поле точечной массы - она статична и сферически симметрична вокруг одной точки. FLRW описывает Вселенную целиком: она однородна (нет выделенной точки) и нестационарна (есть зависимость $a(t)$). Это разные пределы ОТО для разных физических ситуаций.

Что значит «Вселенная расширяется», если $k = 0$? Кривизна $k$ описывает пространственную геометрию в фиксированный момент, а расширение - изменение масштабного фактора $a(t)$ со временем. Плоское пространство ($k = 0$) может прекрасно расширяться: координаты сопутствующих наблюдателей не меняются, но физические расстояния $d_{\text{phys}} = a(t)\, r$ растут.

Почему все формулы выводятся именно для идеальной жидкости? Идеальная жидкость - самое общее, что совместимо с однородностью и изотропией: тензор энергии-импульса в каждой точке задаётся только скаляром плотности $\rho$ и скаляром давления $p$. Анизотропные напряжения и вязкость в однородной модели исчезают по симметрии. Это математически вынуждено, а не подгонка.

Коротко

Метрика Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера - самое общее решение уравнений Эйнштейна для однородной и изотропной Вселенной. Она задаётся масштабным фактором $a(t)$ и параметром кривизны $k \in \{+1, 0, -1\}$, и приводит к двум уравнениям Фридмана. В эпохе излучения $a \propto t^{1/2}$, в эпохе материи $a \propto t^{2/3}$, в эпохе тёмной энергии $a \propto e^{H t}$. Наблюдения СМБ, сверхновых Ia и BAO независимо подтверждают модель ΛCDM с плоской геометрией и доминированием $\Lambda$ - но открытая проблема «Hubble tension» оставляет место для новой физики.