Уравнения Фридмана: вывод и физический смысл

Уравнения Фридмана - это два дифференциальных уравнения, которые описывают, как со временем меняется размер однородной и изотропной Вселенной. Из них следует, что пространство не может быть статичным: оно либо расширяется, либо сжимается, а конкретный сценарий определяют плотность вещества, кривизна и космологическая постоянная. Ниже разберём оба вывода - строгий, из общей теории относительности и метрики ФЛРУ, и наглядный, из обычной ньютоновской механики, - а затем посмотрим, какую судьбу Вселенной предсказывает каждое сочетание параметров. Чтобы проверить себя на конкретных числах, ниже есть интерактивный калькулятор.

Что описывают уравнения Фридмана

В основе космологии лежит космологический принцип: на больших масштабах Вселенная однородна (одинакова в каждой точке) и изотропна (одинакова во всех направлениях). Это сильное упрощение, но наблюдения реликтового излучения его подтверждают с точностью до тысячных долей процента.

Из этого принципа следует, что вся геометрия пространства-времени сводится к одной функции времени - масштабному фактору $a(t)$. Он показывает, во сколько раз растянулись расстояния между галактиками по сравнению с некоторым опорным моментом. Если в момент $t_1$ расстояние было $r_1$, то в момент $t_2$ оно станет $r_2 = r_1 \cdot a(t_2)/a(t_1)$.

Скорость роста масштабного фактора задаёт параметр Хаббла:

$$H(t) = \frac{\dot a}{a},$$

где точка означает производную по времени. Именно $H$ связывает расстояние до галактики с её скоростью удаления (закон Хаббла $v = H r$). Уравнения Фридмана говорят, как $a(t)$ и $H(t)$ зависят от содержимого Вселенной.

Вывод из метрики ФЛРУ

Строгий путь идёт через общую теорию относительности. Однородное изотропное пространство-время описывается метрикой Фридмана - Леметра - Робертсона - Уокера:

$$ds^2 = -c^2\, dt^2 + a^2(t)\left[\frac{dr^2}{1 - k r^2} + r^2\, d\Omega^2\right],$$

где $k$ - параметр кривизны (он равен $+1$, $0$ или $-1$ для замкнутой, плоской и открытой Вселенной соответственно), а $d\Omega^2$ - угловая часть.

Эту метрику подставляют в уравнения Эйнштейна:

$$G_{\mu\nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4}\, T_{\mu\nu},$$

где $G_{\mu\nu}$ - тензор Эйнштейна, $\Lambda$ - космологическая постоянная, а $T_{\mu\nu}$ - тензор энергии-импульса идеальной жидкости с плотностью энергии $\rho c^2$ и давлением $p$.

Временная компонента ($00$-компонента) даёт первое уравнение Фридмана:

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k c^2}{a^2} + \frac{\Lambda c^2}{3}.$$

Пространственные компоненты вместе с первым уравнением дают второе уравнение Фридмана (уравнение ускорения):

$$\frac{\ddot a}{a} = -\frac{4\pi G}{3}\left(\rho + \frac{3p}{c^2}\right) + \frac{\Lambda c^2}{3}.$$

Эти два уравнения и есть искомый результат. Первое связывает скорость расширения с плотностью и кривизной, второе - ускорение с плотностью и давлением.

Наглядный вывод из ньютоновской механики

Удивительно, но первое уравнение Фридмана почти полностью получается без всякой ОТО - из школьного закона сохранения энергии. Этот вывод придумал Милн, и он отлично подходит для понимания смысла.

Рассчитать для своей задачи

Выделим однородный шар вещества радиуса $R = a(t)\, r_0$ с плотностью $\rho$. По теореме Ньютона о слоях на пробную массу $m$ на поверхности действует только вещество внутри шара, масса которого $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$. Запишем полную механическую энергию этой массы:

$$E = \frac{1}{2}m\dot R^2 - \frac{G M m}{R} = \frac{1}{2}m\dot R^2 - \frac{4\pi G}{3}\rho R^2 m.$$

Энергия сохраняется, поэтому разделим всё на $\frac{1}{2}m R^2$ и подставим $\dot R / R = \dot a / a$:

$$\left(\frac{\dot a}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho + \frac{2E}{m R^2}.$$

Последнее слагаемое играет роль кривизны: положительная полная энергия отвечает открытой Вселенной, отрицательная - замкнутой, нулевая - плоской. Сравнивая с точным результатом, видим, что $2E/(m r_0^2) = -k c^2$. Так из энергии простого шара получается то же уравнение, что и из тензора Эйнштейна - без космологической постоянной, которую ньютоновская картина «не знает».

Параметр плотности и критическая плотность

Перепишем первое уравнение через критическую плотность - ту, при которой Вселенная плоская ($k = 0$, $\Lambda = 0$):

$$\rho_{\text{кр}} = \frac{3 H^2}{8\pi G}.$$

Удобно ввести безразмерные параметры плотности $\Omega_i = \rho_i / \rho_{\text{кр}}$ для каждого компонента: вещества $\Omega_m$, излучения $\Omega_r$, тёмной энергии $\Omega_\Lambda$ и кривизны $\Omega_k = -k c^2 / (a^2 H^2)$. Тогда первое уравнение Фридмана превращается в условие нормировки:

$$\Omega_m + \Omega_r + \Omega_\Lambda + \Omega_k = 1.$$

Это очень практичная форма: сумма всех вкладов всегда равна единице, а знак $\Omega_k$ прямо говорит о кривизне. Если суммарная плотность вещества и энергии равна критической, то $\Omega_k = 0$ и пространство плоское - именно эту тонкую настройку объясняет инфляционная модель Вселенной.

От чего зависит расширение: уравнение состояния

Чтобы решить уравнения, нужно знать, как плотность меняется с расширением. Это задаёт уравнение состояния $p = w \rho c^2$, где безразмерный коэффициент $w$ свой для каждого компонента:

• Пыль (нерелятивистское вещество): $w = 0$, давление пренебрежимо. Плотность падает как $\rho \propto a^{-3}$ - просто за счёт роста объёма.
• Излучение: $w = 1/3$. Плотность падает быстрее, $\rho \propto a^{-4}$, потому что добавляется красное смещение каждого фотона.
• Тёмная энергия (космологическая постоянная): $w = -1$, отрицательное давление. Плотность не меняется при расширении, $\rho = \text{const}$.

Из закона сохранения энергии $\dot\rho + 3H(\rho + p/c^2) = 0$ (он же следует из двух уравнений Фридмана) и получаются эти степени. Подставив зависимости $\rho(a)$ в первое уравнение, получают историю расширения $H(a)$, по которой численно восстанавливают $a(t)$.

Судьба Вселенной по уравнениям Фридмана

Второе уравнение показывает: обычное вещество и излучение тормозят расширение (член со знаком минус), а тёмная энергия его разгоняет. Какой сценарий реализуется, зависит от соотношения параметров плотности.

Рассчитать для своей задачи

• Замкнутая ($\Omega_k < 0$, плотности больше критической, без $\Lambda$): расширение сменяется сжатием, Вселенная коллапсирует в Большое сжатие.
• Плоская ($\Omega_k = 0$): расширяется вечно, но скорость стремится к нулю.
• Открытая ($\Omega_k > 0$): расширяется неограниченно с конечной скоростью.

Современные данные дают совсем другую картину: Вселенная почти плоская ($\Omega_k \approx 0$), но в ней доминирует тёмная энергия ($\Omega_\Lambda \approx 0{,}7$). Поэтому расширение не замедляется, а ускоряется - это открытие 1998 года по сверхновым типа Ia принесло Нобелевскую премию. Так уравнения Фридмана из чисто теоретической конструкции стали инструментом, который проверяется наблюдениями.

Частые ошибки

• Путают $a(t)$ с физическим размером Вселенной. Масштабный фактор безразмерен и показывает только относительное растяжение расстояний; абсолютный размер он не задаёт (а для бесконечной плоской Вселенной его и нет).
• Считают, что галактики «летят» сквозь пространство. В картине Фридмана растягивается само пространство между галактиками, а не они движутся в неподвижном пространстве. Поэтому скорости дальних галактик могут превышать $c$ - это не нарушает теорию относительности.
• Забывают про давление во втором уравнении. В член ускорения входит $\rho + 3p/c^2$, а не одна плотность. Для излучения давление удваивает тормозящий эффект, для тёмной энергии отрицательное давление меняет знак.
• Считают $\Lambda$ обязательной частью вывода. Космологическая постоянная вводится отдельно - ньютоновский вывод её не даёт. В исходных работах Фридмана 1922 года расширение получалось и без неё.
• Смешивают параметр Хаббла $H(t)$ и постоянную Хаббла $H_0$. $H_0$ - это значение $H(t)$ именно сегодня; в прошлом и будущем параметр Хаббла другой.

FAQ

Кто и когда вывел уравнения Фридмана? Александр Фридман опубликовал их в 1922 и 1924 годах, исходя из уравнений Эйнштейна. Тогда идею расширяющейся Вселенной не приняли - даже сам Эйнштейн сначала считал её ошибкой. Независимо к ним пришёл Жорж Леметр в 1927 году, связав с наблюдаемым разбеганием галактик.

В чём разница между первым и вторым уравнением Фридмана? Первое - это уравнение энергии: оно связывает скорость расширения $\dot a / a$ с плотностью и кривизной. Второе - уравнение ускорения: оно показывает, как $\ddot a$ зависит от плотности и давления. Второе можно получить из первого дифференцированием с учётом сохранения энергии, поэтому независимых уравнений по сути два из трёх.

Почему расширение Вселенной ускоряется, если гравитация притягивает? Притяжение вещества действительно замедляет расширение, но тёмная энергия с отрицательным давлением во втором уравнении даёт положительный вклад в $\ddot a$. Когда плотность вещества падает с расширением, а плотность тёмной энергии остаётся постоянной, последняя начинает доминировать - и расширение разгоняется.

Коротко

Уравнения Фридмана выводятся из метрики ФЛРУ и уравнений Эйнштейна (а первое - ещё и из ньютоновского закона сохранения энергии для шара вещества). Первое связывает квадрат параметра Хаббла с плотностью и кривизной, второе - ускорение с плотностью и давлением. Через параметры плотности $\Omega_m, \Omega_r, \Omega_\Lambda, \Omega_k$ они сводятся к условию нормировки, сумма которого равна единице, и предсказывают судьбу Вселенной: замкнутая сжимается, плоская и открытая расширяются вечно, а доминирование тёмной энергии делает расширение ускоренным.