Принцип эквивалентности Эйнштейна: ускорение и гравитация

Принцип эквивалентности Эйнштейна - та самая идея, с которой началась общая теория относительности. Эйнштейн назвал её самой счастливой мыслью своей жизни: человек в свободном падении не чувствует своего веса. Из этого простого наблюдения вырастает целый аппарат искривлённого пространства-времени, потому что локально гравитацию невозможно отличить от ускорения. Ниже калькулятор «лифта Эйнштейна»: задайте ускорение кабины и её высоту и посмотрите, какое красное смещение света и какой кажущийся вес возникают внутри - ровно те же, что и в настоящем гравитационном поле.

В чём суть принципа эквивалентности

Принцип эквивалентности утверждает, что эффекты гравитации и эффекты ускорения локально неразличимы. Если запереть наблюдателя в кабине без окон, он не сможет никаким экспериментом понять, стоит ли кабина на поверхности планеты с ускорением свободного падения $g$ или разгоняется в пустом космосе с тем же ускорением $a = g$. Брошенный мяч в обоих случаях падает на пол одинаково, весы под ногами показывают одну и ту же цифру, маятник качается с тем же периодом.

Ключевое слово здесь - локально. В небольшой кабине за короткое время отличить ускорение от тяготения нельзя. Но если кабина велика или наблюдение длится долго, проявляются приливные эффекты: в реальном поле планеты линии тяготения сходятся к центру, и два мяча, отпущенные по краям кабины, чуть-чуть сближаются. Чистое ускорение даёт строго параллельные «линии падения». Именно эта оговорка про локальность отделяет принцип эквивалентности от наивного «гравитация это просто ускорение».

Слабый и сильный принцип эквивалентности

У принципа есть несколько уровней строгости, и их полезно различать.

Слабый принцип эквивалентности (его же называют принципом универсальности свободного падения) говорит: все тела в гравитационном поле падают с одинаковым ускорением независимо от массы и состава. Перо и молоток в вакууме достигают пола одновременно - этот опыт астронавты буквально провели на Луне. Формально слабый принцип означает равенство инертной массы $m_и$ (мера сопротивления ускорению во втором законе Ньютона) и гравитационной массы $m_г$ (мера «гравитационного заряда»):

$$m_и \, a = m_г \, g \quad\Rightarrow\quad a = \frac{m_г}{m_и}\, g.$$

Если отношение $m_г / m_и$ одинаково для всех тел, ускорение свободного падения от тела не зависит. Эксперименты Этвёша и современные спутниковые проверки (MICROSCOPE) подтверждают это равенство с точностью лучше чем $10^{-15}$.

Сильный принцип эквивалентности идёт дальше: в свободно падающей системе отсчёта любые законы физики - не только механика, но и электродинамика, и сама гравитация - принимают тот же вид, что и в инерциальной системе без поля. Это уже глобальное утверждение об устройстве природы, и именно сильная форма выделяет общую теорию относительности среди других теорий гравитации.

Рассчитать для своей задачи

Мысленный опыт с лифтом Эйнштейна

Самый известный образ принципа - закрытый лифт. Рассмотрим две пары ситуаций.

Первая пара: лифт стоит на Земле против лифта, который в космосе разгоняется вверх с $a = g$. Наблюдатель внутри чувствует вес, мяч падает к полу - в обоих случаях одинаково. Отличить тяготение от ускорения изнутри нельзя.

Вторая пара: лифт свободно падает в поле Земли против лифта, который покоится в пустом космосе вдали от масс. В обоих случаях наблюдатель невесом, предметы плавают, ничто не «тянет» к полу. Свободное падение локально «выключает» гравитацию - это та самая счастливая мысль Эйнштейна. Падая, вы становитесь инерциальным наблюдателем, и поле тяготения для вас исчезает.

Из этого опыта следует и искривление траектории света. Пустим луч поперёк ускоряющегося лифта: пока свет летит к противоположной стене, пол успевает уйти вверх, и луч приходит ниже точки старта - наблюдателю кажется, что свет изогнулся. По принципу эквивалентности то же самое обязано происходить и в гравитационном поле: тяготение отклоняет свет. Это предсказание подтвердилось в 1919 году на наблюдении затмения - звёзды у края Солнца сместились ровно так, как требует теория.

Гравитационное красное смещение из принципа

Принцип эквивалентности позволяет вывести ещё один эффект, не зная всей общей теории относительности. Пусть в ускоряющемся вверх лифте источник света стоит на полу, а приёмник - на потолке на высоте $h$. Пока свет летит вверх, приёмник успевает разогнаться, удаляясь от источника, и по эффекту Доплера ловит свет с пониженной частотой. Относительный сдвиг частоты выходит

$$\frac{\Delta f}{f} = -\frac{a\,h}{c^2} = -\frac{g\,h}{c^2}.$$

Раз ускорение неотличимо от тяготения, тот же сдвиг обязан возникать и в гравитационном поле: свет, поднимаясь из «гравитационной ямы», краснеет. Это гравитационное красное смещение, и оно напрямую связано с тем, что часы ниже в потенциале идут медленнее - подробный разбор есть в статье про гравитационное замедление времени. Опыт Паунда и Ребки в 1959 году измерил этот ничтожный сдвиг на башне высотой 22,5 метра и подтвердил формулу.

Рассчитать для своей задачи

Почему отсюда следует искривление пространства-времени

Если в свободно падающей кабине гравитация исчезает, напрашивается мысль: гравитация - не сила в привычном смысле, а свойство геометрии. Свободно падающие тела движутся «прямо» - по геодезическим линиям, а искривляет эти линии не сила, а сама форма пространства-времени, которую задаёт распределение масс. То, что мы воспринимаем как притяжение, - это движение по кратчайшим путям в искривлённом мире.

Приливные эффекты, которые остаются даже в свободном падении, как раз и есть проявление кривизны: их нельзя убрать выбором системы отсчёта. Локально (в малой кабине) поле всегда можно «занулить» переходом в свободное падение - это и есть математическое содержание принципа эквивалентности. А вот глобально, на больших масштабах, кривизна никуда не девается. Так принцип эквивалентности становится мостом от ньютоновской гравитации к геометрической картине Эйнштейна, где уравнения связывают кривизну с плотностью энергии и импульса.

Частые ошибки

• Путают «локально» и «глобально». Принцип работает только в малой области и за короткое время. На больших масштабах приливные силы выдают настоящую гравитацию - ускорение их не воспроизводит.
• Считают, что гравитация это буквально ускорение. Эквивалентны их локальные эффекты, а не сами явления: реальное поле имеет источник-массу и кривизну, чистое ускорение - нет.
• Смешивают слабую и сильную формы. Слабая - только про равенство ускорений падения (равенство масс). Сильная - про все законы физики в свободно падающей системе.
• Думают, что в свободном падении нет гравитации вообще. Она «выключена» лишь локально; приливные растяжения остаются и в падающем лифте.
• Забывают про равенство $m_и = m_г$. Именно оно делает ускорение падения независимым от массы тела - без него слабый принцип не выполнялся бы.

FAQ

Чем слабый принцип эквивалентности отличается от сильного? Слабый принцип утверждает только равенство инертной и гравитационной массы, то есть универсальность свободного падения: все тела падают одинаково. Сильный принцип распространяет неотличимость ускорения и гравитации на все законы физики в локальной свободно падающей системе отсчёта, включая электромагнетизм и саму гравитацию. Сильная форма строго выполняется именно в общей теории относительности.

Почему свободное падение «отменяет» гравитацию? Потому что все тела падают с одинаковым ускорением. Если кабина и всё внутри неё ускоряются одинаково, относительно кабины ничто не «тянет» к полу - предметы плавают. Наблюдатель в свободном падении локально неотличим от инерциального наблюдателя в пустом космосе. Это и есть «самая счастливая мысль» Эйнштейна.

Как принцип эквивалентности предсказывает отклонение света гравитацией? В ускоряющемся лифте поперечный луч света приходит к противоположной стенке ниже точки старта, потому что лифт за время полёта сместился. Это выглядит как искривление луча. Раз ускорение неотличимо от тяготения, гравитация обязана так же отклонять свет. Предсказание подтвердилось на затмении 1919 года по смещению звёзд у края Солнца.

Коротко

Принцип эквивалентности Эйнштейна говорит, что локально эффекты гравитации и ускорения неразличимы: в закрытой кабине нельзя отличить покой в поле тяготения от разгона в пустом космосе, а свободное падение «выключает» гравитацию. Слабая форма - это равенство инертной и гравитационной массы и универсальность свободного падения, сильная - неотличимость для всех законов физики. Из принципа без полной теории выводятся искривление света тяготением и гравитационное красное смещение $\Delta f/f = -gh/c^2$, а его глубинный смысл - в том, что гравитация есть кривизна пространства-времени.