Эффект Лензе-Тирринга: увлечение систем отсчёта

Эффект Лензе-Тирринга - это предсказанное общей теорией относительности увлечение инерциальных систем отсчёта вращающимся массивным телом: крутящаяся масса «тащит» за собой пространство-время вокруг себя, и гироскоп на орбите начинает медленно прецессировать. По-английски это называют frame-dragging - «затягивание систем отсчёта». Эффект ничтожно мал у Земли и колоссален у быстро вращающейся чёрной дыры, но формула у него одна. Ниже - калькулятор, который покажет, как скорость прецессии зависит от тела и радиуса орбиты, а затем строгий разбор физики.

Что такое эффект Лензе-Тирринга

В ньютоновской гравитации важна только масса: чем тяжелее тело, тем сильнее притяжение, а вращается оно или нет - на движение спутника не влияет. Общая теория относительности это меняет. Источником гравитации в ней служит не просто масса, а полный тензор энергии-импульса, и поток массы (то есть её вращение) тоже искривляет пространство-время. Вращающееся тело создаёт особую компоненту поля, аналогичную магнитному полю движущегося заряда, - поэтому всё семейство таких явлений называют гравитомагнетизмом.

Результат: вокруг вращающейся массы пространство-время само приходит в медленное вращение. Свободный гироскоп, который по идее должен «держать» направление в абсолютном пространстве, на деле увлекается этим вращением и поворачивает свою ось. Локально наблюдатель не может отличить такое увлечение от настоящего вращения - в этом и состоит увлечение систем отсчёта.

Рассчитать для своей задачи

Йозеф Лензе и Ханс Тирринг получили этот результат в 1918 году, решив линеаризованные уравнения Эйнштейна для слабого поля вращающегося шара. Долгое время эффект оставался чисто теоретическим: измерить его было нечем.

Формула прецессии и её смысл

Для гироскопа на круговой экваториальной орбите вокруг тела с собственным моментом импульса $J$ скорость прецессии Лензе-Тирринга в приближении слабого поля равна:

$$\Omega_{LT} = \frac{2GJ}{c^2 r^3}$$

Здесь $G$ - гравитационная постоянная, $c$ - скорость света, $r$ - радиус орбиты. Разберём, что говорит эта формула.

Во-первых, прецессия пропорциональна моменту импульса $J$, а не просто массе. Неподвижное тело ($J = 0$) увлечения систем отсчёта не создаёт вовсе - эффект существует только у вращающихся источников.

Во-вторых, зависимость от расстояния очень крутая: $\Omega_{LT} \propto 1/r^3$. Отодвиньте орбиту вдвое - прецессия упадёт в восемь раз. Именно поэтому эффект имеет смысл искать у самой поверхности тела, на низких орбитах, а не где-то далеко.

В-третьих, в знаменателе стоит $c^2$ - это типичный признак релятивистской поправки. Скорость света огромна, поэтому для обычных тел вроде Земли величина выходит микроскопической, в районе долей миллисекунды дуги в год. У чёрной дыры или нейтронной звезды, где $J$ велик, а $r$ можно взять близким к гравитационному радиусу, эффект становится определяющим в динамике вещества вокруг.

Чем эффект отличается от прецессии де Ситтера

На орбите вокруг массивного тела гироскоп испытывает сразу две релятивистские прецессии, и их важно не путать.

Геодезическая прецессия, или эффект де Ситтера, возникает из-за самой кривизны пространства-времени, создаваемой массой. Она есть даже у невращающегося тела: гироскоп, который параллельно переносится вдоль замкнутой орбиты в искривлённом пространстве, возвращается с повёрнутой осью. Этот эффект зависит от массы $M$ и скорости движения по орбите.

Эффект Лензе-Тирринга - это добавка именно от вращения источника. Он зависит от момента импульса $J$ и существует, даже если бы гироскоп просто висел неподвижно над вращающимся телом. Физически это разные вещи: де Ситтер - про искривление пространства массой, Лензе-Тирринг - про его «закручивание» вращением.

Для околоземного гироскопа геодезическая прецессия примерно в 170 раз больше гравитомагнитной - около 6600 миллисекунд дуги в год против примерно 39. Поэтому главная трудность измерения эффекта Лензе-Тирринга - выделить его слабый сигнал на фоне гораздо более крупного эффекта де Ситтера. Похожая логика «слабого релятивистского сигнала поверх классического» работает и в гравитационном замедлении времени, где поправку приходится ловить на фоне обычного хода часов.

Рассчитать для своей задачи

Как эффект измерили: Gravity Probe B и LAGEOS

К началу XXI века появились два независимых пути проверить предсказание.

Первый - спутник Gravity Probe B (запуск 2004 года). На борту были четыре сверхточных кварцевых гироскопа, охлаждённых жидким гелием, - самые сферичные предметы, когда-либо изготовленные человеком. Спутник летал по полярной орбите, и за время эксперимента геодезическая прецессия составила около 6600 mas/год, а эффект Лензе-Тирринга - около 37 mas/год. После долгой борьбы с систематическими помехами команда подтвердила гравитомагнитную прецессию с точностью порядка 20 %, в согласии с ОТО.

Второй путь - лазерная локация спутников LAGEOS и LAGEOS 2, а позже LARES. Это пассивные тяжёлые шары, усыпанные уголковыми отражателями; их положение отслеживают лазером с Земли с точностью до миллиметров. Вращение Земли заставляет плоскости их орбит медленно поворачиваться (прецессия восходящего узла) на несколько десятков миллисекунд дуги в год. Анализ многолетних данных дал согласие с предсказанием Лензе-Тирринга на уровне нескольких процентов.

Где эффект становится главным

У Земли эффект Лензе-Тирринга - это деликатная поправка на грани измеримого. Но в сильных полях он выходит на первый план.

Вокруг вращающейся чёрной дыры (решение Керра) увлечение систем отсчёта настолько велико, что вблизи горизонта появляется эргосфера - область, где никакое тело не может оставаться неподвижным относительно далёких звёзд: пространство-время утаскивает его во вращение принудительно. Это прямое продолжение того же эффекта, что у Земли даёт доли миллисекунды дуги. Геометрию таких объектов задаёт уже не метрика Шварцшильда чёрной дыры (она для невращающегося тела), а метрика Керра с явным членом вращения.

Гравитомагнитное увлечение определяет и поведение аккреционных дисков: ось вращения чёрной дыры заставляет внутренние части наклонённого диска прецессировать (эффект Бардина-Петтерсона), что, возможно, связано с квазипериодическими колебаниями яркости в рентгеновских двойных системах.

Частые ошибки

• Путать с прецессией де Ситтера. Де Ситтер - от массы и кривизны, есть даже у невращающегося тела; Лензе-Тирринг - строго от вращения источника, пропорционален $J$. Для Земли первый эффект почти в 170 раз больше.
• Думать, что эффект зависит от массы. В формулу входит момент импульса $J$, а не масса $M$. Неподвижное тело никакого увлечения систем отсчёта не создаёт.
• Считать зависимость от расстояния слабой. Прецессия падает как $1/r^3$, а не как $1/r^2$, - на удвоенном радиусе эффект меньше в восемь раз.
• Считать эффект чисто теоретическим. Он измерен: Gravity Probe B и лазерная локация LAGEOS/LARES независимо подтвердили предсказание.
• Игнорировать сжатие Земли. Классическая прецессия узла от несферичности Земли на много порядков больше - без точной модели геопотенциала гравитомагнитный сигнал не выделить.

FAQ

Кто и когда открыл эффект Лензе-Тирринга? Йозеф Лензе и Ханс Тирринг рассчитали его в 1918 году, решив линеаризованные уравнения Эйнштейна для слабого поля вращающегося тела. Идею увлечения систем отсчёта вращением ранее обсуждал Эйнштейн, поэтому эффект иногда называют эффектом Лензе-Тирринга-Эйнштейна.

Чему равна прецессия Лензе-Тирринга у Земли? Для гироскопа на низкой околоземной орбите она составляет порядка нескольких десятков миллисекунд дуги в год (около 37–39 mas/год у Gravity Probe B). Это примерно один полный оборот за десятки миллионов лет - отсюда и сложность измерения.

Связан ли эффект с эргосферой чёрной дыры? Да, напрямую. Эргосфера у вращающейся (керровской) чёрной дыры - это область, где увлечение систем отсчёта настолько сильное, что тело не может покоиться относительно далёких звёзд. Это предельный случай того же гравитомагнитного эффекта, что даёт слабую прецессию у Земли.

Коротко

Эффект Лензе-Тирринга - это релятивистское увлечение инерциальных систем отсчёта вращающимся массивным телом: вращение «закручивает» пространство-время и заставляет гироскоп на орбите прецессировать со скоростью $\Omega_{LT} = 2GJ/(c^2 r^3)$. Эффект пропорционален моменту импульса источника и убывает как куб расстояния, поэтому у Земли он составляет лишь десятки миллисекунд дуги в год, но у вращающихся чёрных дыр становится определяющим. Предсказанный в 1918 году, он подтверждён экспериментами Gravity Probe B и лазерной локацией спутников LAGEOS.