Уравнения Максвелла в среде: материальные уравнения и поля D, H

Уравнения Максвелла в вакууме описывают поля через две величины - напряжённость электрического поля $\mathbf{E}$ и магнитную индукцию $\mathbf{B}$. Но как только поле попадает в вещество, картина усложняется: атомы поляризуются, токи и спины создают собственное магнитное поле, и считать всё это «руками» через микроскопические заряды невозможно. Чтобы описать поле в диэлектрике, проводнике или магнетике, вводят вспомогательные векторы $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$ и систему материальных уравнений, которые связывают их с $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ через свойства среды. Ниже разбираем, зачем нужны материальные уравнения, откуда берутся электрическая индукция и напряжённость магнитного поля, и как считать конкретные задачи.

Зачем нужны материальные уравнения

В среде полное электрическое поле создаётся не только свободными (сторонними) зарядами, но и связанными зарядами поляризованных молекул. Аналогично магнитное поле определяется как свободными токами проводимости, так и связанными токами намагничивания. Уравнения Максвелла в дифференциальной форме для среды записывают через четыре вектора:

$\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{своб}}, \qquad \nabla \cdot \mathbf{B} = 0,$

$\nabla \times \mathbf{E} = -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}, \qquad \nabla \times \mathbf{H} = \mathbf{j}_{\text{своб}} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}.$

Здесь в правых частях фигурируют только свободные заряды $\rho_{\text{своб}}$ и токи $\mathbf{j}_{\text{своб}}$ - те, которыми мы реально управляем. Связанные заряды и токи «спрятаны» в определении $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$. Но этих четырёх уравнений недостаточно: на четыре векторных поля приходится слишком много неизвестных. Замыкают систему именно материальные уравнения, описывающие отклик конкретного вещества.

Прежде чем считать конкретную среду, полезно прогнать связи между $\mathbf{D}$, $\mathbf{H}$, $\mathbf{E}$ и $\mathbf{B}$ для нужного класса материала. Удобно собрать параметры (тип среды, проницаемости) и сразу получить разбор с формулами.

Электрическая индукция D и поляризация

Вектор электрической индукции (электрического смещения) определяется как

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P},$

где $\mathbf{P}$ - вектор поляризации, дипольный момент единицы объёма. Поляризация описывает, как связанные заряды смещаются под действием поля. Для линейного изотропного диэлектрика поляризация пропорциональна полю:

$\mathbf{P} = \varepsilon_0 \chi_e \mathbf{E},$

где $\chi_e$ - диэлектрическая восприимчивость. Подставляя, получаем первое материальное уравнение:

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 (1 + \chi_e)\,\mathbf{E} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E},$

где $\varepsilon = 1 + \chi_e$ - относительная диэлектрическая проницаемость. Дивергенция связанного заряда при этом равна $\rho_{\text{связ}} = -\nabla \cdot \mathbf{P}$, и именно поэтому в уравнение для $\mathbf{D}$ входят только свободные заряды.

Напряжённость магнитного поля H и намагниченность

Симметрично для магнетиков вводят вектор намагниченности $\mathbf{M}$ - магнитный момент единицы объёма. Напряжённость магнитного поля определяется как

$\mathbf{H} = \frac{\mathbf{B}}{\mu_0} - \mathbf{M}.$

Для линейного изотропного магнетика намагниченность пропорциональна полю $\mathbf{M} = \chi_m \mathbf{H}$, где $\chi_m$ - магнитная восприимчивость. Тогда второе материальное уравнение:

$\mathbf{B} = \mu_0 (1 + \chi_m)\,\mathbf{H} = \mu_0 \mu \mathbf{H},$

где $\mu = 1 + \chi_m$ - относительная магнитная проницаемость. Связанный ток намагничивания при этом равен $\mathbf{j}_{\text{связ}} = \nabla \times \mathbf{M}$, и он автоматически учтён в определении $\mathbf{H}$.

Полный набор материальных уравнений

Для большинства учебных задач замыкающую тройку материальных уравнений записывают так:

$\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E}, \qquad \mathbf{B} = \mu_0 \mu \mathbf{H}, \qquad \mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}.$

Последнее - закон Ома в дифференциальной форме, где $\sigma$ - удельная проводимость; оно нужно, когда в среде текут токи проводимости. Эти три соотношения и есть материальные уравнения: они несут информацию о веществе, тогда как сами уравнения Максвелла универсальны для любой среды. Восприимчивости связаны с проницаемостями просто: $\chi_e = \varepsilon - 1$, $\chi_m = \mu - 1$.

Стоит помнить, что линейная запись $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E}$ - это приближение. В общем случае $\varepsilon$ и $\mu$ могут быть тензорами (анизотропная среда), зависеть от частоты (дисперсия), от самого поля (нелинейная оптика) или от координат (неоднородная среда). Тогда скалярная пропорциональность заменяется более сложной связью, но логика «уравнения Максвелла + материальные уравнения» сохраняется.

Граничные условия на разделе сред

На границе двух сред нормальные и тангенциальные компоненты полей ведут себя по-разному. Из интегральной формы уравнений следуют четыре условия:

$D_{2n} - D_{1n} = \sigma_{\text{своб}}, \qquad B_{2n} = B_{1n},$

$E_{2\tau} = E_{1\tau}, \qquad H_{2\tau} - H_{1\tau} = i_{\text{своб}}.$

То есть нормальная компонента $\mathbf{D}$ скачет на величину поверхностной плотности свободного заряда $\sigma_{\text{своб}}$, нормальная компонента $\mathbf{B}$ непрерывна, тангенциальная компонента $\mathbf{E}$ непрерывна, а тангенциальная $\mathbf{H}$ скачет на поверхностный свободный ток $i_{\text{своб}}$. При отсутствии свободных зарядов и токов на границе $D_{n}$ и $B_{n}$, $E_{\tau}$ и $H_{\tau}$ непрерывны - отсюда выводят закон преломления силовых линий. Эти условия - прямое следствие того, какие именно векторы входят в дивергентные и роторные уравнения, и тесно связаны с разбором эффекта Фарадея и других задач электродинамики сред.

Электромагнитные волны в среде

В однородной непроводящей среде ($\mathbf{j} = 0$, $\rho = 0$) из уравнений Максвелла с материальными уравнениями выводят волновое уравнение, и фазовая скорость волны оказывается

$v = \frac{c}{\sqrt{\varepsilon \mu}} = \frac{c}{n},$

где $n = \sqrt{\varepsilon \mu}$ - показатель преломления. Для большинства оптических сред $\mu \approx 1$, поэтому $n \approx \sqrt{\varepsilon}$ (соотношение Максвелла). Именно через материальные уравнения проницаемости вещества входят в оптику: дисперсия $n(\omega)$ есть прямое следствие зависимости $\varepsilon(\omega)$. Так система «уравнения Максвелла в среде + материальные уравнения» связывает электродинамику, оптику и физику твёрдого тела.

Частые ошибки

• Путают $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ (или $\mathbf{B}$ и $\mathbf{H}$) как «одно и то же с точностью до константы». В анизотропной среде $\mathbf{D}$ и $\mathbf{E}$ даже не параллельны.
• Забывают, что в правой части $\nabla \cdot \mathbf{D} = \rho_{\text{своб}}$ стоят только свободные заряды, и пытаются добавить туда связанные.
• Используют $\mathbf{B} = \mu_0 \mu \mathbf{H}$ для ферромагнетика, где связь нелинейна и есть гистерезис - линейная формула там неприменима.
• Пишут $\varepsilon = \chi_e$ вместо $\varepsilon = 1 + \chi_e$ (и аналогично для $\mu$), теряя единицу.
• Применяют скалярные проницаемости к среде с дисперсией без оговорки, что $\varepsilon$ и $\mu$ зависят от частоты.

FAQ

Чем материальные уравнения отличаются от самих уравнений Максвелла? Уравнения Максвелла универсальны и одинаковы для любой среды и вакуума. Материальные уравнения ($\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E}$, $\mathbf{B} = \mu_0 \mu \mathbf{H}$, $\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}$) описывают отклик конкретного вещества и замыкают систему.

Почему вводят именно векторы $\mathbf{D}$ и $\mathbf{H}$? Чтобы вынести связанные заряды и токи из правых частей и оставить там только управляемые свободные источники. Поток $\mathbf{D}$ задаётся свободным зарядом, а циркуляция $\mathbf{H}$ - свободным током.

Когда линейные материальные уравнения перестают работать? В сильных полях (нелинейная оптика), в ферромагнетиках (гистерезис), в анизотропных кристаллах ($\varepsilon$ - тензор) и при учёте дисперсии, где $\varepsilon$ и $\mu$ зависят от частоты.

Коротко

Уравнения Максвелла в среде записывают через четыре вектора $\mathbf{E}$, $\mathbf{B}$, $\mathbf{D}$, $\mathbf{H}$, причём в источниках стоят только свободные заряды и токи. Систему замыкают материальные уравнения $\mathbf{D} = \varepsilon_0 \varepsilon \mathbf{E}$, $\mathbf{B} = \mu_0 \mu \mathbf{H}$, $\mathbf{j} = \sigma \mathbf{E}$, которые несут информацию о веществе через проницаемости $\varepsilon$, $\mu$ и проводимость $\sigma$. Электрическая индукция учитывает поляризацию $\mathbf{P}$, напряжённость магнитного поля - намагниченность $\mathbf{M}$, а граничные условия и скорость волн в среде прямо следуют из того, какие векторы входят в дивергентные и роторные уравнения.