Намагниченность магнетика: формула M, связь с полем и B

Намагниченность магнетика - это векторная величина $M$, которая показывает, насколько сильно вещество само становится источником магнитного поля, когда его помещают во внешнее поле. По определению $M$ равна магнитному моменту единицы объёма: складываем элементарные моменты всех атомов в малом объёме и делим на этот объём. Именно намагниченность отвечает за то, усиливает вещество внешнее поле или ослабляет его, и насколько. Ниже разберём, как $M$ связана с напряжённостью поля $H$ и восприимчивостью $\chi$, как через намагниченность выразить индукцию $B$, чем принципиально различаются диа-, пара- и ферромагнетики и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь между $H$, $M$ и $B$, покрути калькулятор ниже: выбери класс вещества и подвигай поле, а дальше мы разберём каждую формулу строго.

Что такое намагниченность и вектор M

Любое вещество состоит из атомов, у каждого из которых есть собственный магнитный момент - из-за орбитального движения и спина электронов. В отсутствие внешнего поля эти моменты направлены хаотично и в сумме дают ноль: вещество не намагничено. Когда появляется внешнее поле, моменты частично выстраиваются, и в каждом малом объёме возникает ненулевой суммарный момент. Намагниченность определяют как этот суммарный момент на единицу объёма:

$\vec{M} = \frac{1}{V}\sum_i \vec{p}_{m,i},$

где $\vec{p}_{m,i}$ - магнитные моменты отдельных атомов, а $V$ - объём, по которому идёт усреднение. Размерность намагниченности в системе СИ - ампер на метр (А/м), та же, что и у напряжённости поля $H$. Это не случайно: обе величины описывают «плотность» магнитных источников, только $H$ задаётся внешними токами, а $M$ - собственным откликом вещества.

Связь намагниченности с полем: формула M = χH

Для большинства веществ в не слишком сильных полях намагниченность прямо пропорциональна напряжённости поля:

$\vec{M} = \chi \vec{H},$

где $\chi$ - безразмерная объёмная магнитная восприимчивость. Знак и величина $\chi$ полностью определяют поведение магнетика. Восприимчивость - это «коэффициент отклика»: во сколько раз намагниченность отстаёт от поля или, для ферромагнетиков, во сколько раз превосходит его. Подробный разбор самой восприимчивости и её температурной зависимости вынесен в отдельный материал про магнитную восприимчивость вещества, здесь же она нужна как мостик между $H$ и $M$.

Рассчитать для своей задачи

Из формулы $M = \chi H$ сразу видно главное. У диамагнетиков $\chi < 0$, поэтому наведённая намагниченность направлена против поля - вещество слабо выталкивается из поля. У парамагнетиков $\chi > 0$, но очень мала, и $M$ направлена вдоль поля. У ферромагнетиков $\chi$ огромна (тысячи и десятки тысяч), и линейное приближение работает только при слабых полях.

Как через намагниченность найти индукцию B

Полное магнитное поле внутри вещества складывается из двух вкладов: внешнего поля, заданного токами, и поля, которое создаёт сама намагниченность. В системе СИ это записывают через индукцию $B$:

$\vec{B} = \mu_0\left(\vec{H} + \vec{M}\right),$

где $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ Тл·м/А - магнитная постоянная. Это ключевое соотношение всей темы: индукция $B$ - это суммарный отклик, а $H$ и $M$ - его две составляющие. Подставив $M = \chi H$, получаем удобную форму через проницаемость:

$\vec{B} = \mu_0(1 + \chi)\vec{H} = \mu_0\mu_r\vec{H}, \qquad \mu_r = 1 + \chi,$

где $\mu_r$ - относительная магнитная проницаемость. Для парамагнетика $\mu_r$ чуть больше единицы, для диамагнетика - чуть меньше, для ферромагнетика - тысячи. Здесь есть важная оговорка: формула $\mu_r = 1 + \chi$ строго верна только в линейном режиме, где $M = \chi H$ - то есть для диа- и парамагнетиков и для ферромагнетика лишь в слабых полях. У ферромагнетика при росте $H$ намагниченность выходит на насыщение, и эффективная проницаемость $\mu_{r,\text{эфф}} = (H + M)/H$ заметно падает (от тысяч в слабом поле до единиц-десятков при насыщении). Поэтому говорить, что сердечник усиливает поле «в $\mu_r$ раз», корректно лишь для слабых полей; в калькуляторе для ферромагнетика показана именно эффективная $\mu_{r,\text{эфф}}$, согласованная с $B = \mu_0(H + M)$.

Рассчитать для своей задачи

Калькулятор выше показывает это разложение наглядно: нижняя полоса - вклад внешнего поля $\mu_0 H$, к нему пристраивается вклад вещества $\mu_0 M$. У пара- и ферромагнетика добавка удлиняет полосу (поле усиливается), у диамагнетика - укорачивает (поле ослабляется).

Чем различаются диа-, пара- и ферромагнетики

Три класса магнетиков отличаются не только знаком $\chi$, но и характером зависимости $M(H)$:

• Диамагнетики (висмут, медь, вода): $\chi \approx -10^{-5}$, намагниченность мала и направлена против поля. Зависимость $M(H)$ строго линейна, насыщения нет. Диамагнетизм есть у всех веществ, но обычно маскируется более сильными эффектами.
• Парамагнетики (алюминий, платина, кислород): $\chi \approx 10^{-5}\ldots10^{-3}$, намагниченность вдоль поля, но всё ещё линейна в обычных полях. С нагревом восприимчивость падает по закону Кюри.
• Ферромагнетики (железо, никель, кобальт): $\chi$ от сотен до десятков тысяч, намагниченность нелинейна. При росте поля магнитные домены выстраиваются вдоль него, и $M$ выходит на насыщение $M_s$ - дальше расти уже нечему.

Именно нелинейность ферромагнетика хорошо видна на кривой намагничивания в калькуляторе: для железа $M(H)$ круто растёт и загибается к горизонтали насыщения, тогда как для алюминия и висмута это почти неразличимая прямая. Сложное поведение ферромагнетика с остаточной намагниченностью описывается уже петлёй гистерезиса ферромагнетика.

Пример решения типовой задачи

Разберём стандартную формулировку: парамагнетик с восприимчивостью $\chi = 2{,}2\cdot10^{-5}$ помещён в магнитное поле напряжённостью $H = 10000$ А/м. Нужно найти намагниченность $M$, относительную проницаемость $\mu_r$ и индукцию $B$ внутри вещества.

Сначала находим намагниченность по основной формуле:

$M = \chi H = 2{,}2\cdot10^{-5}\cdot10000 = 0{,}22\ \text{А/м}.$

Видно, что у парамагнетика намагниченность ничтожно мала по сравнению с самим полем $H$. Теперь относительная проницаемость:

$\mu_r = 1 + \chi = 1 + 2{,}2\cdot10^{-5} \approx 1{,}000022.$

Наконец, индукция внутри вещества по определению через сумму вкладов:

$B = \mu_0(H + M) = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot(10000 + 0{,}22) \approx 1{,}257\cdot10^{-2}\ \text{Тл}.$

Проверка согласованности: то же значение даёт форма через проницаемость $B = \mu_0\mu_r H = 4\pi\cdot10^{-7}\cdot1{,}000022\cdot10000$, и оно совпадает с точностью до пятого знака. Если ваши числа этой проверки не проходят, значит, где-то закралась ошибка в порядке величины $\chi$ или в единицах. Калькулятор выше собирает именно такую цепочку рассуждений автоматически, оставляя вам контроль над формулами и единицами.

Частые ошибки

• Путаница M и H. Намагниченность $M$ - это отклик вещества, напряжённость $H$ - внешняя причина. У них одинаковая размерность (А/м), но разный физический смысл, и в формуле $B = \mu_0(H + M)$ они стоят рядом как разные вклады.
• Подстановка χ в неверном порядке величины. Восприимчивость парамагнетиков и диамагнетиков порядка $10^{-5}$. Если в расчёте $\chi$ оказался порядка единицы, намагниченность получится абсурдно большой.
• Линейная формула для ферромагнетика в сильном поле. Соотношение $M = \chi H$ работает только в слабых полях. При приближении к насыщению $M$ растёт всё медленнее, и постоянного $\chi$ уже нет.
• Забытая магнитная постоянная. В системе СИ индукция $B = \mu_0(H + M)$ обязательно содержит множитель $\mu_0$. Без него вместо тесла получится ампер на метр.
• Неверный знак у диамагнетика. У диамагнетика $\chi < 0$ и $M$ направлена против поля, поэтому $\mu_r < 1$. Записывать намагниченность диамагнетика со знаком «плюс» - типичная ошибка.

FAQ

В чём разница между намагниченностью M и напряжённостью поля H? Напряжённость $H$ задаётся внешними токами и не зависит от вещества, а намагниченность $M$ - это собственный отклик магнетика, магнитный момент единицы его объёма. Связаны они через восприимчивость: $M = \chi H$. Индукция $B = \mu_0(H + M)$ объединяет оба вклада.

Как найти индукцию B, если известна намагниченность? Используйте определение $B = \mu_0(H + M)$: сложите напряжённость внешнего поля и намагниченность, а сумму умножьте на магнитную постоянную $\mu_0 = 4\pi\cdot10^{-7}$ Тл·м/А. Если вместо $H$ задана проницаемость, удобнее форма $B = \mu_0\mu_r H$.

Почему намагниченность ферромагнетика выходит на насыщение? В ферромагнетике есть домены - области с уже выстроенными моментами. Внешнее поле разворачивает домены вдоль себя, и когда все они сориентированы, добавлять уже нечего: намагниченность достигает предела $M_s$ и перестаёт расти с увеличением поля.

Коротко

Намагниченность магнетика $M$ - это магнитный момент единицы объёма, собственный отклик вещества на внешнее поле. В линейном приближении она равна $M = \chi H$, где знак и величина восприимчивости $\chi$ делят вещества на диа-, пара- и ферромагнетики. Полное поле внутри вещества задаётся индукцией $B = \mu_0(H + M) = \mu_0\mu_r H$, где $\mu_r = 1 + \chi$. У ферромагнетиков зависимость $M(H)$ нелинейна и выходит на насыщение $M_s$, когда все магнитные домены выстроены вдоль поля.