Петля гистерезиса ферромагнетика: Br, Hc и потери

Петля гистерезиса ферромагнетика - это замкнутая кривая зависимости магнитной индукции $B$ от напряжённости внешнего поля $H$, которую вещество описывает при полном цикле перемагничивания. Само слово «гистерезис» означает отставание: индукция в ферромагнетике зависит не только от текущего значения поля, но и от того, каким путём это поле менялось раньше. Из-за этого отставания при $H = 0$ материал остаётся намагниченным, а чтобы его размагнитить, нужно приложить поле обратного знака. Ниже разберём, как строится петля из начальной кривой намагничивания, что такое остаточная индукция и коэрцитивная сила, почему площадь петли равна потерям энергии за цикл и чем магнитомягкие материалы отличаются от магнитотвёрдых. Чтобы сразу почувствовать связь параметров, покрутите калькулятор ниже: он перестраивает петлю и пересчитывает её ключевые точки в реальном времени.

Как строится петля гистерезиса

Возьмём ферромагнетик в полностью размагниченном состоянии и начнём плавно увеличивать внешнее поле $H$. Индукция $B$ растёт сначала медленно, потом быстро, а затем выходит на насыщение: домены вещества выстраиваются вдоль поля, и расти дальше намагниченности уже некуда. Эта первая дуга называется начальной (или основной) кривой намагничивания.

Рассчитать для своей задачи

Если теперь уменьшать поле, индукция падает не по той же кривой, а выше неё - вот оно, отставание. При $H = 0$ остаётся ненулевая индукция: это остаточная индукция $B_r$. Чтобы свести индукцию к нулю, поле приходится разворачивать в обратную сторону до значения $-H_c$. Продолжая цикл в минус и снова в плюс, мы замыкаем кривую - получается симметричная петля. Главное на этом этапе: восходящая и нисходящая ветви не совпадают, и именно зазор между ними кодирует всю «память» материала.

Остаточная индукция и коэрцитивная сила

Две точки пересечения петли с осями - это её паспорт. Остаточная индукция $B_r$ - значение $B$ при $H = 0$: насколько сильно вещество остаётся намагниченным, когда внешнее поле убрали. Коэрцитивная сила $H_c$ - то обратное поле, при котором индукция снова обращается в нуль:

$B(0) = B_r, \qquad B(-H_c) = 0.$

В аналитической модели, которую считает калькулятор, обе ветви - это сдвинутые на $H_c$ кривые насыщения:

$B_{\downarrow}(H) = B_s \tanh\!\big(k(H + H_c)\big), \qquad B_{\uparrow}(H) = B_s \tanh\!\big(k(H - H_c)\big),$

где $B_s$ - индукция насыщения, а крутизна $k$ задаёт прямоугольность петли. Остаточная индукция тогда выражается явно: $B_r = B_s \tanh(k H_c)$. Чем «квадратнее» петля (больше $k$), тем ближе $B_r$ к $B_s$ - материал почти полностью удерживает намагниченность.

Рассчитать для своей задачи

Эти два числа определяют назначение материала. Большие $B_r$ и $H_c$ - материал хорошо хранит намагниченность; малые - легко перемагничивается. Двигая в калькуляторе коэрцитивную силу и прямоугольность, можно увидеть, как петля из тонкой и пологой превращается в широкую и почти прямоугольную.

Почему площадь петли - это потери

За один полный цикл перемагничивания ферромагнетик нагревается: часть энергии поля необратимо тратится на перестройку доменной структуры. Работа поля за цикл на единицу объёма равна интегралу по замкнутому контуру:

$w = \oint H \, dB.$

Геометрически этот интеграл - площадь, охваченная петлёй на диаграмме $B$-$H$. Чем шире и выше петля, тем больше потерянная за цикл энергия. Если материал перемагничивают с частотой $f$, удельная мощность потерь на гистерезис равна

$P = w \, f \, V,$

где $V$ - объём, а $w$ - площадь петли в Дж/м³. Поэтому для сердечников трансформаторов, которые перемагничиваются 50 раз в секунду, узкая петля - вопрос экономии: лишняя площадь превращается в бесполезный нагрев. Калькулятор показывает площадь петли (потери за цикл) прямо под графиком, так что влияние коэрцитивной силы на потери видно сразу.

Мягкие и твёрдые магнитные материалы

По форме петли все ферромагнетики делят на две группы.

• Магнитомягкие - узкая петля, малая коэрцитивная сила ($H_c$ от долей до единиц А/м у пермаллоя и электротехнической стали). Легко перемагничиваются, потери малы. Применяют там, где поле постоянно меняется: сердечники трансформаторов, дросселей, электромагнитов, статоры двигателей.
• Магнитотвёрдые - широкая, почти прямоугольная петля, большая коэрцитивная сила (десятки и сотни кА/м у сплавов на основе неодима и самария). Удерживают намагниченность, их трудно размагнитить. Из них делают постоянные магниты и носители магнитной записи.

Рассчитать для своей задачи

Граница между группами условна, но физический смысл прост: малая площадь петли - материал для переменного поля, большая площадь и высокая коэрцитивность - материал, который должен помнить своё состояние. Промежуточный случай - материалы для магнитной записи, где петля достаточно прямоугольная, чтобы хранить бит, но не настолько твёрдая, чтобы её нельзя было перезаписать.

Точка Кюри и исчезновение гистерезиса

Гистерезис существует не при любой температуре. При нагреве выше точки Кюри $T_C$ тепловое движение разрушает упорядоченную доменную структуру, и вещество теряет ферромагнитные свойства, становясь парамагнетиком. Петля при этом схлопывается: $B_r$ и $H_c$ обращаются в нуль, зависимость $B(H)$ становится однозначной линией без отставания. Поэтому у каждого ферромагнетика гистерезис наблюдается только ниже своей $T_C$ (для железа это около 770 °C). При охлаждении обратно ниже точки Кюри домены восстанавливаются, и петля появляется снова.

Частые ошибки

• Путают индукцию $B$ и напряжённость $H$. По вертикальной оси петли откладывают индукцию (или намагниченность), по горизонтальной - внешнее поле $H$. Остаточная индукция $B_r$ лежит на оси $B$, коэрцитивная сила $H_c$ - на оси $H$.
• Считают, что при $H = 0$ намагниченности нет. Наоборот: именно ненулевое $B_r$ при $H = 0$ и есть суть гистерезиса. Чтобы обнулить индукцию, нужно встречное поле $-H_c$.
• Забывают про начальную кривую. Из размагниченного состояния материал идёт по начальной кривой намагничивания, которая лежит внутри петли, а не по её ветви.
• Путают потери с площадью под кривой. Потери за цикл равны площади, охваченной всей петлёй (замкнутый интеграл $\oint H\,dB$), а не площадью под одной ветвью.
• Игнорируют температуру. Выше точки Кюри гистерезиса нет вообще - петля исчезает, поэтому все расчёты $B_r$ и $H_c$ имеют смысл только ниже $T_C$.

FAQ

Что показывает площадь петли гистерезиса? Площадь, охваченная петлёй на диаграмме $B$-$H$, численно равна работе поля за один цикл перемагничивания на единицу объёма, то есть энергии, которая необратимо переходит в тепло. Чем шире петля, тем больше потери на гистерезис и сильнее нагрев материала.

Чем отличается остаточная индукция от коэрцитивной силы? Остаточная индукция $B_r$ - это индукция, оставшаяся при выключенном поле ($H = 0$); она характеризует, насколько хорошо материал хранит намагниченность. Коэрцитивная сила $H_c$ - встречное поле, нужное, чтобы свести индукцию к нулю; она показывает, насколько трудно материал размагнитить.

Почему у магнитомягких материалов петля узкая? У них малая коэрцитивная сила: доменные стенки легко смещаются, и материал почти без сопротивления следует за полем. Ветви петли идут близко друг к другу, площадь мала, потери на перемагничивание невелики - поэтому такие материалы и ставят в сердечники, работающие на переменном токе.

Коротко

Петля гистерезиса ферромагнетика - замкнутая кривая $B(H)$, отражающая отставание индукции от поля. Её паспорт - остаточная индукция $B_r$ при $H = 0$ и коэрцитивная сила $H_c$, обнуляющая индукцию. Площадь петли равна работе $\oint H\,dB$ за цикл и численно совпадает с потерями энергии на перемагничивание. По ширине петли материалы делят на магнитомягкие (узкая петля, малые потери, сердечники) и магнитотвёрдые (широкая петля, постоянные магниты), а выше точки Кюри гистерезис исчезает совсем.