Парадокс шеста и сарая: разбор и расчёт скорости

Парадокс шеста и сарая (в англоязычной литературе ladder paradox) - классический мысленный эксперимент специальной теории относительности. Шест в покое заведомо длиннее сарая, но если он влетает в сарай очень быстро, лоренцево сокращение укорачивает его так, что обе двери на миг закрываются, поймав шест целиком внутри. Кажущееся противоречие - в системе отсчёта шеста уже сам сарай становится короче, и шест не должен влезать - снимается относительностью одновременности. Покрутите калькулятор ниже: задайте длину шеста, длину сарая и скорость и посмотрите, при какой скорости шест помещается.

В чём суть парадокса шеста и сарая

Возьмём шест собственной длины $L_0 = 5$ м и сарай с открытыми насквозь воротами длиной $D = 4$ м. В покое шест длиннее, и поместить его внутрь, закрыв обе двери, нельзя. Теперь разгоним шест вдоль его оси до скорости, близкой к скорости света, и пустим сквозь сарай.

С точки зрения наблюдателя, стоящего в сарае, летящий шест испытывает лоренцево сокращение: его длина становится меньше собственной. При достаточной скорости она падает ниже $D$, и наступает момент, когда шест целиком оказывается между дверьми. В этот миг можно мгновенно захлопнуть обе двери - шест внутри. Парадокс возникает, когда мы пересаживаемся в систему отсчёта шеста: там сокращается уже сарай, он становится ещё короче, и длинный шест в него заведомо не влезает. Кто же прав?

Лоренцево сокращение: формула длины

Движущийся объект имеет в направлении движения меньшую длину, чем в покое. Если собственная длина (в системе, где объект неподвижен) равна $L_0$, то в системе, относительно которой он движется со скоростью $v$, длина равна

$L = \frac{L_0}{\gamma}, \qquad \gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \beta^2}}, \qquad \beta = \frac{v}{c},$

где $\gamma$ - фактор Лоренца, $c$ - скорость света. Чем ближе $\beta$ к единице, тем больше $\gamma$ и тем сильнее сжимается шест. Эта же зависимость лежит в основе замедления времени и парадокса близнецов, только там сокращается не длина, а ход времени.

Рассчитать для своей задачи

Шест влезает в сарай, когда $L \le D$, то есть $L_0/\gamma \le D$. Подставив выражение для $\gamma$ и разрешив относительно скорости, получаем порог:

$\beta_\text{ф} = \sqrt{1 - \left(\frac{D}{L_0}\right)^2}.$

Для $L_0 = 5$ м и $D = 4$ м отношение $D/L_0 = 0{,}8$, поэтому $\beta_\text{ф} = \sqrt{1 - 0{,}64} = 0{,}6$. То есть шест начинает помещаться, разогнавшись до 60% скорости света - при этом $\gamma = 1{,}25$ и сокращённая длина ровно $L = 5/1{,}25 = 4$ м, как раз размер сарая.

Разрешение: относительность одновременности

Ключ к парадоксу - слова «обе двери закрылись одновременно». Одновременность не абсолютна: события, происходящие в один момент в одной системе отсчёта, в другой системе разделены во времени. Это и есть относительность одновременности - самая контринтуитивная часть СТО.

В системе сарая всё просто: шест сжат до 4 м, целиком внутри, и обе двери щёлкают в один и тот же момент. А вот в системе шеста картина другая. Здесь сарай сокращён и короче шеста, но двери закрываются не одновременно: задняя (дальняя по ходу) дверь захлопывается и снова открывается раньше, чем шест до неё долетел, а передняя дверь закрывается уже после того, как задний конец шеста въехал внутрь. Шест ни в один момент не заперт целиком - он проходит сквозь сарай, и каждая дверь закрывается ровно тогда, когда соответствующий конец шеста оказывается на её уровне.

Рассчитать для своей задачи

Величину рассинхрона дают преобразования Лоренца. Два события, одновременных в системе сарая ($\Delta t = 0$) и разнесённых на длину сарая ($\Delta x = D$), в системе шеста разделены интервалом

$\Delta t' = \gamma \frac{\beta D}{c}.$

Для нашего примера ($\beta = 0{,}6$, $D = 4$ м, $\gamma = 1{,}25$) это $\Delta t' = 1{,}25 \cdot 0{,}6 \cdot 4 / (3 \cdot 10^8) = 10^{-8}$ с, то есть около 10 нс. За эти 10 наносекунд задняя дверь успевает открыться обратно, и шест беспрепятственно проходит. Оба наблюдателя правы: шест и заперт (в системе сарая), и проходит насквозь (в системе шеста) - потому что «одновременно» у них означает разное.

Что было бы, если шест не остановить

Часто спрашивают: а если шест врежется в закрытую заднюю дверь и резко затормозит? Тогда задача перестаёт быть чисто кинематической. При торможении шест перестаёт быть жёстким в релятивистском смысле: сигнал об остановке переднего конца распространяется по шесту не мгновенно, а со скоростью не выше $c$. Задний конец продолжает лететь вперёд, пока до него не дойдёт «волна торможения», и шест успевает сжаться (или, в иных постановках, сломаться). В жёстком приближении ньютоновской механики это противоречие, в СТО - нет: абсолютно жёстких тел не существует, и деформация снимает парадокс.

Поэтому стандартная «чистая» формулировка парадокса предполагает, что двери лишь на миг закрываются и тут же открываются, не останавливая шест. Именно в ней работает разбор через относительность одновременности, а сам пролёт остаётся симметричным: ни одна система отсчёта не привилегирована.

Как решать задачи на парадокс шеста и сарая

План решения короткий. Сначала выписывают собственную длину шеста $L_0$ и длину сарая $D$ - обе как длины покоя в своих системах. Затем по заданной скорости считают фактор Лоренца $\gamma = 1/\sqrt{1 - \beta^2}$ и сокращённую длину $L = L_0/\gamma$ в системе сарая. Сравнение $L$ с $D$ сразу отвечает на вопрос «влезает ли».

Если спрашивают, при какой скорости шест помещается, решают неравенство $L_0/\gamma \le D$ и получают порог $\beta_\text{ф} = \sqrt{1 - (D/L_0)^2}$. Если речь о рассинхроне дверей или о картине в системе шеста, применяют преобразования Лоренца: разрыв одновременности равен $\Delta t' = \gamma \beta D/c$. Главное - с самого начала зафиксировать, в какой системе отсчёта рассматривается каждая длина, и не смешивать собственные длины с сокращёнными.

Частые ошибки

• Сравнивать собственную длину шеста с собственной длиной сарая. Влезает не $L_0$, а сокращённая длина $L = L_0/\gamma$ в системе сарая. Сравнивать надо именно её с $D$.
• Считать одновременность абсолютной. Если «обе двери закрылись одновременно» переносить из системы сарая в систему шеста без поправки, парадокс кажется неразрешимым. Двери одновременны только в одной системе.
• Забывать про множитель гамма в рассинхроне. Разрыв одновременности это $\gamma \beta D/c$, а не просто $\beta D/c$ - фактор Лоренца обязателен.
• Путать сокращение с искажением видимого образа. Лоренцево сокращение это реальная длина в данной системе отсчёта, а не оптическая иллюзия от конечной скорости света (последнее называют эффектом Терелла и считают отдельно).
• Применять абсолютно жёсткое тело. При реальной остановке шеста о дверь нельзя считать его недеформируемым: сигнал не распространяется быстрее света, и тело сжимается.

FAQ

Как длинный шест помещается в короткий сарай? За счёт лоренцева сокращения. Движущийся шест в системе сарая короче собственной длины: $L = L_0/\gamma$. При $\beta \ge \sqrt{1 - (D/L_0)^2}$ сокращённая длина становится не больше длины сарая, и обе двери на миг закрываются, поймав шест внутри.

Почему в системе шеста он всё равно не влезает, но парадокса нет? Потому что одновременность относительна. В системе шеста сарай короче, но двери закрываются не одновременно: задняя раньше, передняя позже, с разрывом $\Delta t' = \gamma \beta D/c$. Ни в один момент шест не заперт целиком, он проходит насквозь. Оба описания согласованы.

При какой скорости шест влезает в сарай? Решая $L_0/\gamma \le D$, получаем порог $\beta_\text{ф} = \sqrt{1 - (D/L_0)^2}$. Например, для шеста 5 м и сарая 4 м это $\beta = 0{,}6$, то есть 60% скорости света; тогда $\gamma = 1{,}25$ и шест сжимается ровно до 4 м.

Коротко

Парадокс шеста и сарая показывает, что длинный шест помещается в короткий сарай за счёт лоренцева сокращения: в системе сарая его длина равна $L = L_0/\gamma$ и при $\beta \ge \sqrt{1 - (D/L_0)^2}$ не превышает $D$. Кажущееся противоречие - в системе шеста сарай ещё короче - снимается относительностью одновременности: события закрытия дверей одновременны в системе сарая, но в системе шеста разделены интервалом $\Delta t' = \gamma \beta D/c$, поэтому шест проходит насквозь, ни разу не оказавшись запертым. Оба наблюдателя правы, а противоречие исчезает, как только перестают считать одновременность абсолютной.