Поверхностная плотность заряда: формула и расчёт

Поверхностная плотность заряда показывает, сколько заряда приходится на единицу площади заряженной поверхности. Это одна из базовых величин электростатики: через неё считают поле плоского конденсатора, заряженной пластины, сферы и проводника, а в задачах она связывает «макроскопический» заряд тела с напряжённостью поля у его поверхности. Ниже разберём, что означает формула $\sigma = q/S$, в каких единицах измеряется плотность, как вычислить площадь для пластины, сферы и цилиндра, как от плотности перейти к полю и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь заряда, площади и поля, покрути калькулятор ниже: он считает $\sigma$ для трёх форм тела и показывает, как плотность падает с ростом площади.

Что такое поверхностная плотность заряда

Когда заряд распределён не в одной точке, а по поверхности тела (по пластине, по оболочке сферы, по стенке цилиндра), описывать его одним числом $q$ неудобно: важно, насколько «густо» заряд лежит на поверхности. Эту густоту и задаёт поверхностная плотность заряда $\sigma$ (греческая «сигма») - заряд, приходящийся на единицу площади. Если заряд распределён равномерно, плотность одинакова в каждой точке и считается простым делением полного заряда на всю площадь.

Рассчитать для своей задачи

Формально для равномерно заряженной поверхности

$\sigma = \frac{q}{S},$

где $q$ - заряд на поверхности, $S$ - её площадь. Если заряд распределён неравномерно, плотность определяют локально как предел отношения малого заряда $dq$ к малой площадке $dS$:

$\sigma = \frac{dq}{dS}, \qquad q = \int_S \sigma \, dS.$

В большинстве учебных задач распределение однородное, и работает простая формула $\sigma = q/S$. Знак $\sigma$ совпадает со знаком заряда: положительный заряд даёт $\sigma > 0$, отрицательный - $\sigma < 0$.

Единицы измерения и формула

В системе СИ заряд измеряется в кулонах (Кл), площадь - в квадратных метрах (м²), поэтому единица поверхностной плотности заряда:

$[\sigma] = \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2}.$

Кулон на квадратный метр - очень большая величина, поэтому в задачах чаще встречаются дольные единицы: микрокулон на квадратный метр ($1\ \text{мкКл/м}^2 = 10^{-6}\ \text{Кл/м}^2$) и нанокулон на квадратный метр. Перевод между ними - обычные степени десятки, главное не путать приставки.

Рассчитать для своей задачи

Чтобы посчитать $\sigma$, нужно знать площадь поверхности, а она зависит от формы тела. Для прямоугольной пластины со сторонами $a$ и $b$ площадь $S = a\,b$. Для сферы радиуса $R$ заряд лежит на всей оболочке, и площадь $S = 4\pi R^2$, откуда $\sigma = q/(4\pi R^2)$. Для боковой поверхности цилиндра радиуса $R$ и высоты $h$ площадь $S = 2\pi R h$. Калькулятор выше переключается между этими тремя случаями и сам подставляет нужную формулу площади.

Как найти поверхностную плотность заряда: пример

Разберём типовую задачу. Заряд $q = 20$ нКл равномерно распределён по квадратной пластине со стороной $a = 20$ см. Нужно найти поверхностную плотность заряда.

Первым делом переводим всё в СИ: $q = 20 \cdot 10^{-9}$ Кл, сторона $a = 0{,}20$ м. Площадь квадрата:

$S = a^2 = 0{,}20^2 = 0{,}04\ \text{м}^2.$

Теперь применяем основную формулу поверхностной плотности заряда:

$\sigma = \frac{q}{S} = \frac{20 \cdot 10^{-9}}{0{,}04} = 5 \cdot 10^{-7}\ \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2} = 0{,}5\ \frac{\text{мкКл}}{\text{м}^2}.$

То есть на каждый квадратный метр пластины приходится по полмикрокулона заряда. Если бы пластину растянули вдвое по площади при том же заряде, плотность упала бы вдвое - это и видно на графике в калькуляторе: при фиксированном $q$ зависимость $\sigma(S)$ убывает как $1/S$.

Связь плотности заряда с напряжённостью поля

Поверхностная плотность важна не сама по себе, а потому что через неё считают электрическое поле. Поле бесконечной равномерно заряженной плоскости находят по теореме Гаусса: оно однородно, направлено перпендикулярно плоскости и равно

$E = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0 \varepsilon},$

где $\varepsilon_0 = 8{,}85 \cdot 10^{-12}$ Ф/м - электрическая постоянная, а $\varepsilon$ - диэлектрическая проницаемость среды. Двойка в знаменателе появляется потому, что плоскость создаёт поле по обе стороны от себя.

Рассчитать для своей задачи

У поверхности проводника (и у одной обкладки плоского конденсатора) поле вдвое сильнее, потому что заряд держится только с одной стороны, а всё поле уходит наружу:

$E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 \varepsilon}.$

Для нашего примера с $\sigma = 5 \cdot 10^{-7}\ \text{Кл/м}^2$ в вакууме ($\varepsilon = 1$) поле плоскости получается $E = \sigma/(2\varepsilon_0) \approx 2{,}82 \cdot 10^4$ В/м, а у поверхности проводника вдвое больше: $\approx 5{,}65 \cdot 10^4$ В/м. Калькулятор показывает оба значения и наглядно сравнивает их столбиками. Эта же связь работает в обратную сторону: по известному полю у проводника находят плотность заряда на нём как $\sigma = \varepsilon_0 \varepsilon E$.

Если поле создаётся не плоскостью, а заряженной нитью или другим распределением, нужны другие формулы; например, поле тонкой заряженной нити спадает с расстоянием и разбирается в материале про поле равномерно заряженной бесконечной нити.

Поверхностная плотность на сфере и цилиндре

Для тел сложнее пластины меняется только формула площади, а определение $\sigma = q/S$ остаётся прежним. Возьмём металлическую сферу радиусом $R = 5$ см с зарядом $q = 10$ нКл. Площадь её поверхности:

$S = 4\pi R^2 = 4\pi \cdot 0{,}05^2 \approx 0{,}0314\ \text{м}^2,$

а поверхностная плотность:

$\sigma = \frac{q}{4\pi R^2} = \frac{10 \cdot 10^{-9}}{0{,}0314} \approx 3{,}18 \cdot 10^{-7}\ \frac{\text{Кл}}{\text{м}^2} \approx 0{,}32\ \frac{\text{мкКл}}{\text{м}^2}.$

На проводящей сфере заряд всегда распределён равномерно, поэтому такая плотность одинакова в каждой точке. У проводников неправильной формы это уже не так: плотность выше там, где поверхность сильнее искривлена (на остриях), но это случай вне базовой формулы. Для цилиндра, заряженного по боковой поверхности, площадь $S = 2\pi R h$, и плотность считается тем же делением. В калькуляторе переключатель формы как раз сравнивает, как одна и та же величина заряда даёт разную плотность на пластине, сфере и цилиндре.

Частые ошибки

• Площадь не переведена в СИ. Если оставить сторону в сантиметрах, плотность будет завышена в $10^4$ раз. Переводите длины в метры до возведения в квадрат: $20\ \text{см} = 0{,}2\ \text{м}$, а $S = 0{,}04\ \text{м}^2$, а не $400$.
• Путаница поверхностной и объёмной плотности. $\sigma = q/S$ измеряется в Кл/м², а объёмная плотность $\rho = q/V$ - в Кл/м³. Не подставляйте объём вместо площади.
• Площадь сферы вместо площади круга. Для сферы берут полную площадь оболочки $4\pi R^2$, а не площадь сечения $\pi R^2$. Это разные величины, отличающиеся вчетверо.
• Лишний или потерянный множитель в поле. Для бесконечной плоскости поле $E = \sigma/(2\varepsilon_0\varepsilon)$, а у поверхности проводника $E = \sigma/(\varepsilon_0\varepsilon)$. Двойка не «лишняя» и не «забытая» - она зависит от того, плоскость это или проводник.
• Игнорирование диэлектрика. В среде с проницаемостью $\varepsilon$ поле слабее в $\varepsilon$ раз. Если задача про керосин или масло, $\varepsilon \ne 1$, и его нельзя опускать.

FAQ

Что такое поверхностная плотность заряда простыми словами? Это количество заряда на единицу площади поверхности. Если заряд $q$ равномерно «размазан» по площади $S$, то на каждый квадратный метр приходится $\sigma = q/S$ кулонов. Чем больше площадь при том же заряде, тем меньше плотность.

В каких единицах измеряется поверхностная плотность заряда? В системе СИ - в кулонах на квадратный метр (Кл/м²). На практике величины малы, поэтому чаще используют микрокулоны и нанокулоны на квадратный метр: $1\ \text{мкКл/м}^2 = 10^{-6}\ \text{Кл/м}^2$.

Как связаны поверхностная плотность заряда и напряжённость поля? Для бесконечной заряженной плоскости поле однородно и равно $E = \sigma/(2\varepsilon_0\varepsilon)$. У поверхности проводника оно вдвое больше: $E = \sigma/(\varepsilon_0\varepsilon)$. Зная поле, можно найти плотность обратно: $\sigma = \varepsilon_0 \varepsilon E$.

Коротко

Поверхностная плотность заряда - это заряд на единицу площади, $\sigma = q/S$, измеряется в Кл/м² (на практике в мкКл/м²). Чтобы её найти, переводят величины в СИ, считают площадь по форме тела ($S = a\,b$ для пластины, $4\pi R^2$ для сферы, $2\pi R h$ для цилиндра) и делят заряд на площадь. Через плотность находят поле: у бесконечной плоскости $E = \sigma/(2\varepsilon_0\varepsilon)$, у поверхности проводника вдвое больше. Главные ошибки - забытый перевод единиц, путаница площади сферы с площадью круга и лишняя или потерянная двойка в формуле поля.