Как составить баланс мощностей: пример расчёта

Дано: ветвь с $E_1 = 100$ В и $R_1 = 2$ Ом, ветвь с $E_2 = 50$ В и $R_2 = 5$ Ом и резистивная ветвь $R_3 = 10$ Ом включены параллельно между двумя узлами. Найти: токи ветвей и баланс мощностей.

Токи ищем методом двух узлов, затем считаем мощность каждого источника как $E I$ с учётом знака тока и тепловую мощность каждого резистора как $I^2 R$. Ответ: $\sum P_{\text{ист}} = \sum P_{\text{потр}} = 1000$ Вт, баланс сходится, относительная погрешность 0 %; при этом второй источник энергию не отдаёт, а принимает: $P_2 = -250$ Вт. Калькулятор сверху пересчитывает баланс под любые ЭДС и сопротивления и показывает, как расхождение появляется из округлённых токов.

Решение по шагам

Дано.

Обе ЭДС направлены к верхнему узлу $a$, положительные направления токов $I_1$ и $I_2$ выбраны туда же, ток $I_3$ течёт от узла $a$ через $R_3$ обратно к нижнему узлу $b$.

Шаг 1. Напряжение между узлами. В схеме всего два узла, поэтому вместо системы уравнений хватает одной формулы межузлового напряжения:

$$U_{ab} = \frac{E_1 G_1 + E_2 G_2}{G_1 + G_2 + G_3}, \qquad G_k = \frac{1}{R_k}.$$

Проводимости ветвей: $G_1 = 0{,}5$ См, $G_2 = 0{,}2$ См, $G_3 = 0{,}1$ См. Подставляем:

$$U_{ab} = \frac{100 \cdot 0{,}5 + 50 \cdot 0{,}2}{0{,}5 + 0{,}2 + 0{,}1} = \frac{60}{0{,}8} = 75 \ \text{В}.$$

Шаг 2. Токи ветвей. Ток ветви с источником равен разности ЭДС и межузлового напряжения, делённой на сопротивление ветви:

$$\begin{aligned} I_1 &= (E_1 - U_{ab}) G_1 = (100 - 75) \cdot 0{,}5 = 12{,}5 \ \text{А}, \\ I_2 &= (E_2 - U_{ab}) G_2 = (50 - 75) \cdot 0{,}2 = -5 \ \text{А}, \\ I_3 &= U_{ab} G_3 = 75 \cdot 0{,}1 = 7{,}5 \ \text{А}. \end{aligned}$$

Проверяем первый закон Кирхгофа в узле $a$: $12{,}5 + (-5) = 7{,}5$ А. Сходится, токи найдены верно. Если ты решал цепь другим способом, числа обязаны получиться те же: методы разные, а токи в схеме одни. Разбор самих методов есть в статьях про метод узловых потенциалов и метод контурных токов, здесь мы их не повторяем.

Шаг 3. Мощности источников. Мощность источника равна произведению его ЭДС на ток его собственной ветви, взятый со своим знаком:

$$\begin{aligned} P_1 &= E_1 I_1 = 100 \cdot 12{,}5 = 1250 \ \text{Вт}, \\ P_2 &= E_2 I_2 = 50 \cdot (-5) = -250 \ \text{Вт}, \\ \sum P_{\text{ист}} &= 1250 - 250 = 1000 \ \text{Вт}. \end{aligned}$$

Шаг 4. Мощности потребителей. Здесь знак тока роли не играет: ток входит в квадрате, и тепло выделяется при любом его направлении.

$$\begin{aligned} P_{R_1} &= I_1^2 R_1 = 12{,}5^2 \cdot 2 = 312{,}5 \ \text{Вт}, \\ P_{R_2} &= I_2^2 R_2 = 5^2 \cdot 5 = 125 \ \text{Вт}, \\ P_{R_3} &= I_3^2 R_3 = 7{,}5^2 \cdot 10 = 562{,}5 \ \text{Вт}, \\ \sum P_{\text{потр}} &= 312{,}5 + 125 + 562{,}5 = 1000 \ \text{Вт}. \end{aligned}$$

Шаг 5. Сводка и погрешность. Сводим всё в одну ведомость, её и сдают как готовый баланс:

$$\delta = \frac{\left|\sum P_{\text{ист}} - \sum P_{\text{потр}}\right|}{\sum P_{\text{ист}}} \cdot 100\% = \frac{|1000 - 1000|}{1000} \cdot 100\% = 0\%.$$

Ответ. Токи ветвей $I_1 = 12{,}5$ А, $I_2 = -5$ А, $I_3 = 7{,}5$ А; $\sum P_{\text{ист}} = \sum P_{\text{потр}} = 1000$ Вт, погрешность баланса $\delta = 0\%$, расчёт цепи верен. Второй источник работает в режиме потребителя.

Уравнение баланса и откуда оно берётся

Баланс мощностей - это закон сохранения энергии, записанный для электрической цепи. Источники за секунду отдают в цепь ровно столько энергии, сколько за ту же секунду превращается в тепло на сопротивлениях, поэтому суммы обязаны совпасть:

$$\sum_{k} E_k I_k = \sum_{m} I_m^2 R_m.$$

Левая часть - алгебраическая: в неё каждая ЭДС входит со знаком, который определяет ток её ветви. Правая часть - арифметическая: слагаемые в ней всегда положительны, потому что ток стоит в квадрате, а сопротивление неотрицательно.

Если в схеме есть источники тока, в левую часть добавляется слагаемое $U_J J$, где $J$ - ток источника, а $U_J$ - напряжение на его зажимах, взятое по направлению тока. Внутреннее сопротивление реального источника в правую часть входит наравне с обычным резистором: потери внутри батареи такое же тепло, как и на нагрузке.

Важно, что баланс не даёт новой информации о цепи: он не помогает найти токи, а только подтверждает уже найденные, и подгонять под него ток нельзя. Вся ценность проверки в её независимости: токи получены из уравнений Кирхгофа, а сравниваются энергии, и случайно сойтись при неверных токах они практически не могут.

Знак мощности источника: когда ЭДС работает потребителем

Самое непривычное место разбора - отрицательные $250$ Вт у второго источника. Никакой ошибки здесь нет. Ток $I_2$ получился со знаком минус, то есть реально он течёт навстречу ЭДС: более мощный первый источник продавливает ток через второй в обратном направлении. Физически это режим заряда: второй источник не отдаёт энергию, а забирает её из цепи и запасает.

Правило простое. Если ток ветви совпадает по направлению с ЭДС (внутри источника течёт от минуса к плюсу), мощность $P = EI$ положительна и источник работает генератором. Если ток направлен встречно, произведение отрицательно, и источник становится потребителем. В балансе такую мощность оставляют в левой части со знаком минус, а не переносят направо: правая часть собирает только тепловые потери $I^2R$.

Проверим энергетику на числах. Первый источник отдаёт $1250$ Вт. Из них $250$ Вт уходит во второй источник, а $750$ Вт рассеивается теплом: $312{,}5$ Вт на $R_1$, $125$ Вт на $R_2$ и $562{,}5$ Вт на $R_3$. Обрати внимание, что $R_2$ греется, хотя его источник заряжается: сопротивление ветви рассеивает тепло независимо от того, куда течёт ток. Именно поэтому второй источник забирает из цепи $250$ Вт, а полная мощность, «потраченная» на его ветвь, равна $250 + 125 = 375$ Вт.

Погрешность баланса: какая допустима и откуда берётся

В идеальном расчёте обе суммы совпадают точно, как в нашем примере. На практике токи почти всегда получаются дробными, их округляют, и баланс расходится. Меру расхождения дают относительной погрешностью:

$$\delta = \frac{\left|\sum P_{\text{ист}} - \sum P_{\text{потр}}\right|}{\sum P_{\text{ист}}} \cdot 100\%.$$

Допустимым в лабораторных и расчётно-графических работах считают $\delta$ до $1{-}2\%$. Посмотрим, откуда берётся такая величина. Возьмём ту же схему, но с $R_3 = 8$ Ом. Тогда $U_{ab} \approx 72{,}73$ В, токи $I_1 \approx 13{,}64$ А, $I_2 \approx -4{,}55$ А, $I_3 \approx 9{,}09$ А. С округлёнными до сотых токами получаем $\sum P_{\text{ист}} = 1136{,}50$ Вт и $\sum P_{\text{потр}} = 1136{,}64$ Вт, то есть $\delta \approx 0{,}012\%$. Округление до двух знаков после запятой практически не портит баланс.

А теперь огрубим токи исходной задачи до целых ампер: $I_1 = 13$ А, $I_2 = -5$ А, $I_3 = 8$ А. Суммы разъезжаются до $1050$ и $1103$ Вт, погрешность подскакивает до $5{,}0\%$. Баланс перестал быть проверкой: по такому расхождению уже не отличить округление от настоящей ошибки в расчёте. Отсюда практическое правило: токи для баланса берут с тем же числом знаков, с каким их получили, и округляют только итоговый ответ. Попробуй переключить чипы округления в калькуляторе сверху, чтобы увидеть обе ситуации на графике.

Если же $\delta$ измеряется десятками процентов, дело не в округлении. Типичные причины: потерянная ветвь в сумме, перепутанный знак тока у источника, сопротивление, учтённое дважды, или ошибка в самом решении системы. Полезно начать с проверки токов по правилам Кирхгофа, а затем пересчитать общее сопротивление цепи как независимый контроль.

Баланс мощностей в цепи переменного тока

В синусоидальной цепи баланс составляют отдельно по активной и отдельно по реактивной мощности, а не по полной. Активные мощности источников равны сумме тепловых потерь $I^2 R$ на всех активных сопротивлениях. Реактивные мощности источников равны алгебраической сумме $I^2 X_L - I^2 X_C$: индуктивности реактивную мощность потребляют, ёмкости отдают, и знаки обязаны учитываться.

Полные мощности складывать нельзя - модули комплексных величин не суммируются арифметически. Правильная запись баланса идёт через комплексную мощность $\tilde{S} = \sum \dot{E} \overset{*}{I}$, у которой вещественная часть даёт активный баланс, а мнимая - реактивный. Как устроены эти три мощности и как они связаны, разобрано в статье про треугольник мощностей, а расчёт самой реактивной составляющей с числами - в разборе как найти реактивную мощность.

Частые ошибки

• Мощность источника считают по модулю тока. Знак теряется, отрицательные $250$ Вт становятся положительными, и левая часть вырастает на $500$ Вт. Баланс не сходится, хотя токи найдены правильно.
• Мощность источника считают как $I^2 R_{\text{вн}}$. Это потери внутри источника, они идут в правую часть. В левую часть входит именно $E I$, то есть вся отдаваемая мощность.
• Забывают сопротивление ветви с заряжающимся источником. Резистор $R_2$ греется на $125$ Вт независимо от того, что его источник работает потребителем. Пропуск этого слагаемого сразу даёт расхождение.
• Берут напряжение на зажимах вместо ЭДС. Напряжение на зажимах источника меньше ЭДС на падение $I R_{\text{вн}}$; если подставить его, в левой части окажется мощность, отданная во внешнюю цепь, а правая часть останется полной.
• Считают токи по одной схеме, а мощности по другой. После перерисовки схемы направления токов меняются, и старые знаки перестают соответствовать новым стрелкам. Баланс составляют строго по той схеме, на которой расставлены положительные направления.
• Погрешность делят не на ту базу. Стандартно делят на сумму мощностей источников. Деление на разность или на мощность одного источника даёт бессмысленные проценты.

FAQ

Обязательно ли составлять баланс мощностей, если токи уже проверены по Кирхгофу? В типовой расчётной работе да: это отдельный пункт задания и независимая проверка. Уравнения Кирхгофа проверяют сами себя, а баланс сверяет энергетику, поэтому ловит ошибки другого сорта, например перепутанное сопротивление ветви.

Что делать, если сумма мощностей источников получилась отрицательной? Искать ошибку в знаках. В пассивной цепи с резисторами правая часть строго положительна, значит и левая обязана быть положительной. Отрицательная сумма означает, что у всех или почти у всех токов перепутано направление относительно ЭДС.

Может ли мощность резистора быть отрицательной? Нет. В формулу входит квадрат тока, поэтому знак направления исчезает. Отрицательная тепловая мощность означала бы, что резистор охлаждается и отдаёт энергию, чего не бывает.

Какая погрешность баланса считается нормой? До одного, максимум двух процентов, и то только за счёт округления токов. Если токи взяты с тремя значащими цифрами, обычная погрешность измеряется сотыми долями процента, как в примере с $R_3 = 8$ Ом.

Коротко

1. Найди токи всех ветвей любым методом и обязательно сохрани их знаки относительно выбранных положительных направлений.
2. Сложи мощности источников алгебраически: $P_k = E_k I_k$, ток со своим знаком. Отрицательное слагаемое означает источник в режиме потребителя.
3. Сложи тепловые мощности всех сопротивлений, включая внутренние: $P_m = I_m^2 R_m$, все слагаемые положительны.
4. Сравни суммы и посчитай $\delta = |\sum P_{\text{ист}} - \sum P_{\text{потр}}| / \sum P_{\text{ист}} \cdot 100\%$; норма до $1{-}2\%$.
5. Для примера из условия: $I_1 = 12{,}5$ А, $I_2 = -5$ А, $I_3 = 7{,}5$ А, обе суммы равны $1000$ Вт, $\delta = 0\%$, расчёт верен.