Метод узловых потенциалов: расчёт цепи по шагам

Метод узловых потенциалов - это способ рассчитать электрическую цепь, в котором неизвестными выступают не токи ветвей, а потенциалы узлов. Идея проста: если знать потенциал каждого узла, то ток любой ветви находится одним делением по закону Ома. Метод особенно выгоден, когда узлов в схеме мало, а ветвей много: число уравнений равно числу узлов минус один, а это часто заметно меньше, чем при расчёте через токи ветвей или контурные токи. Ниже разберём, как выбрать базисный узел, составить узловое уравнение через проводимости, найти потенциалы и токи и где студенты чаще всего ошибаются. Чтобы сразу почувствовать связь ЭДС, сопротивлений и токов, покрути калькулятор ниже: он собирает узловое уравнение и пересчитывает потенциал узла и токи всех ветвей мгновенно.

В чём суть метода узловых потенциалов

В любой схеме есть узлы - точки, где сходятся три и более ветвей. Метод узловых потенциалов назначает один узел базисным (опорным) и условно принимает его потенциал равным нулю. Потенциалы всех остальных узлов отсчитываются относительно этого базиса. Если в схеме $У$ узлов, то независимых узлов будет $У - 1$, и ровно столько уравнений нужно составить.

Почему это работает. По первому закону Кирхгофа алгебраическая сумма токов в любом узле равна нулю. Ток каждой ветви выражается через потенциалы её концов и параметры ветви по закону Ома. Подставив эти выражения в уравнение узла, мы получаем уравнение, где неизвестные - только потенциалы. Решив систему, находим потенциалы, а затем - токи ветвей.

Рассчитать для своей задачи

Узловое уравнение через проводимости

Удобнее всего записывать узловое уравнение через проводимости ветвей $G = 1/R$, а не через сопротивления: тогда коэффициенты складываются, а не образуют дроби. Рассмотрим базовый случай с одним независимым узлом A, от которого к базисному узлу идут три ветви. В каждой ветви источник ЭДС $E_i$ включён последовательно с резистором $R_i$.

Ток ветви, втекающий в узел A, по закону Ома равен:

$I_i = \frac{E_i - \varphi_A}{R_i} = (E_i - \varphi_A)\,G_i.$

Первый закон Кирхгофа для узла A требует, чтобы сумма всех таких токов была равна нулю:

$\sum_i (E_i - \varphi_A)\,G_i = 0.$

Раскрыв скобки и собрав $\varphi_A$, получаем узловое уравнение:

$\varphi_A \left( G_1 + G_2 + G_3 \right) = E_1 G_1 + E_2 G_2 + E_3 G_3.$

Отсюда узловой потенциал находится одной дробью - это форма теоремы Миллмана:

$\varphi_A = \frac{E_1 G_1 + E_2 G_2 + E_3 G_3}{G_1 + G_2 + G_3} = \frac{\dfrac{E_1}{R_1} + \dfrac{E_2}{R_2} + \dfrac{E_3}{R_3}}{\dfrac{1}{R_1} + \dfrac{1}{R_2} + \dfrac{1}{R_3}}.$

В знаменателе стоит сумма всех проводимостей, сходящихся в узле - это собственная проводимость узла. В числителе - сумма произведений ЭДС на проводимость своей ветви, то есть узловой ток. Эта структура сохраняется и в схемах с несколькими узлами, только там уравнения объединяются в систему.

Рассчитать для своей задачи

Система узловых уравнений для нескольких узлов

Когда независимых узлов несколько, для каждого записывается своё уравнение, и они образуют систему. В матричной форме её записывают как $G \varphi = J$, где $G$ - матрица узловых проводимостей, $\varphi$ - вектор узловых потенциалов, $J$ - вектор узловых токов от источников.

Матрица $G$ строится по простому правилу. Диагональный элемент $G_{kk}$ - это сумма проводимостей всех ветвей, подключённых к узлу $k$ (собственная проводимость узла, всегда положительна). Недиагональный элемент $G_{km}$ - взятая со знаком минус сумма проводимостей ветвей, соединяющих узлы $k$ и $m$ напрямую (взаимная проводимость). Если узлы не связаны общей ветвью, элемент равен нулю. Правая часть $J_k$ - алгебраическая сумма узловых токов: для каждой ветви с ЭДС это $E_i G_i$ со знаком, зависящим от того, направлена ли ЭДС к узлу, а для источников тока - само значение тока с учётом направления.

Такую систему решают любым стандартным способом: подстановкой, правилом Крамера через определители или методом Гаусса. После того как найдены потенциалы узлов, токи ветвей восстанавливаются по закону Ома через разность потенциалов их концов.

Рассчитать для своей задачи

Пример решения типовой задачи

Разберём схему из калькулятора: один независимый узел A и базис. Три ветви идут от узла A к базису. В первой ветви $E_1 = 12$ В и $R_1 = 2$ Ом, во второй $E_2 = 6$ В и $R_2 = 3$ Ом, третья ветвь - чистая нагрузка без источника, $E_3 = 0$ и $R_3 = 6$ Ом. Нужно найти потенциал узла A и токи всех ветвей.

Сначала считаем проводимости ветвей:

$G_1 = \frac{1}{2} = 0{,}5 \text{ См}, \quad G_2 = \frac{1}{3} \approx 0{,}333 \text{ См}, \quad G_3 = \frac{1}{6} \approx 0{,}167 \text{ См}.$

Собственная проводимость узла - их сумма:

$G_1 + G_2 + G_3 = 0{,}5 + 0{,}333 + 0{,}167 = 1{,}0 \text{ См}.$

Узловой ток - сумма произведений ЭДС на проводимость:

$E_1 G_1 + E_2 G_2 + E_3 G_3 = 12 \cdot 0{,}5 + 6 \cdot 0{,}333 + 0 = 6 + 2 = 8 \text{ А}.$

Теперь узловой потенциал по формуле Миллмана:

$\varphi_A = \frac{8}{1{,}0} = 8 \text{ В}.$

Зная потенциал узла, находим токи ветвей по закону Ома:

$I_1 = \frac{E_1 - \varphi_A}{R_1} = \frac{12 - 8}{2} = 2 \text{ А},$

$I_2 = \frac{E_2 - \varphi_A}{R_2} = \frac{6 - 8}{3} \approx -0{,}67 \text{ А},$

$I_3 = \frac{E_3 - \varphi_A}{R_3} = \frac{0 - 8}{6} \approx -1{,}33 \text{ А}.$

Знак минус у $I_2$ и $I_3$ означает, что реальный ток в этих ветвях течёт из узла A к источнику, а не в узел, как мы предположили при записи. Это нормально: метод сам расставляет знаки, не нужно угадывать направления заранее. Проверка по первому закону Кирхгофа: $I_1 + I_2 + I_3 = 2 - 0{,}67 - 1{,}33 = 0$. Сумма равна нулю, значит, расчёт согласован. Калькулятор выше повторяет ровно эту цепочку: подвигай ЭДС и сопротивления и проследи, как потенциал и знаки токов меняются.

Когда метод узловых потенциалов выгоднее других

Метод узловых потенциалов и метод контурных токов - два основных способа расчёта сложных цепей, и они дуальны друг другу. Выбор между ними диктует геометрия схемы. Если узлов мало, а контуров много (например, много параллельных ветвей между двумя шинами), узловой метод даёт меньше уравнений и считается быстрее. Если же узлов много, а независимых контуров мало, выигрывает метод контурных токов. Частный случай схемы всего с двумя узлами решается узловым методом буквально в одну формулу Миллмана - это самый быстрый путь для параллельного соединения источников.

Ещё одно преимущество узлового метода - естественная работа с источниками тока: ток источника просто добавляется в правую часть уравнения соответствующего узла, без преобразований. А источники напряжения, наоборот, иногда требуют дополнительного приёма (суперузел), когда идеальная ЭДС включена прямо между двумя узлами без последовательного резистора.

Частые ошибки

• Не выбран базисный узел. Пока один узел не принят за опорный с нулевым потенциалом, система уравнений недоопределена. Базисом удобно брать узел, к которому сходится больше всего ветвей.
• Путаница знаков в числителе. Слагаемое $E_i G_i$ берётся со знаком плюс, если ЭДС гонит ток в рассматриваемый узел, и со знаком минус - если из узла. Неверный знак ЭДС сразу искажает потенциал.
• Сложение сопротивлений вместо проводимостей. В диагональ матрицы и в знаменатель формулы Миллмана входят проводимости $G = 1/R$, а не сами сопротивления. Складывать $R_i$ напрямую нельзя.
• Идеальная ЭДС между узлами без резистора. Если источник напряжения включён прямо между двумя узлами, обычное узловое уравнение для них не записать - нужен приём суперузла.
• Игнорирование знака тока. Отрицательный ток ветви не ошибка: он лишь означает, что реальное направление противоположно выбранному. Менять формулу из-за этого не надо.

FAQ

Сколько уравнений нужно в методе узловых потенциалов? Число уравнений равно числу узлов минус один: один узел всегда назначается базисным с потенциалом ноль. Для схемы с тремя узлами составляют два уравнения, с двумя узлами - одно.

Чем метод узловых потенциалов отличается от метода контурных токов? В узловом методе неизвестные - потенциалы узлов, и уравнения пишут по первому закону Кирхгофа. В контурном неизвестные - контурные токи, и уравнения пишут по второму закону Кирхгофа. Методы дуальны: для схем с малым числом узлов быстрее узловой, с малым числом контуров - контурный.

Что такое суперузел? Это приём для случая, когда идеальный источник напряжения включён прямо между двумя узлами без последовательного резистора. Тогда два узла объединяют в суперузел, для него пишут общее уравнение токов, а связь их потенциалов задаёт сама ЭДС источника.

Коротко

Метод узловых потенциалов сводит расчёт цепи к поиску потенциалов узлов: один узел берут базисным, для остальных пишут узловые уравнения по первому закону Кирхгофа через проводимости. В базовом случае потенциал узла находится формулой Миллмана $\varphi_A = \sum E_i G_i / \sum G_i$, а токи ветвей - по закону Ома $I_i = (E_i - \varphi_A)/R_i$. Метод выгоден, когда узлов мало, и легко принимает источники тока, поэтому в схемотехнике он один из самых ходовых.