Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей: метод расчёта

Пока в цепи один источник и резисторы соединены последовательно или параллельно, её сворачивают до одного сопротивления и считают по закону Ома. Но стоит появиться второму источнику или ветви, которая идёт «наискосок», как простое сворачивание перестаёт работать: токи в ветвях уже не равны и не делятся очевидным образом. Здесь и нужны правила Кирхгофа для разветвлённых цепей - два закона сохранения, которые превращают любую схему в систему линейных уравнений. Ниже разберём оба правила, метод составления уравнений и доведём расчёт до чисел; калькулятор под текстом решает систему за вас и показывает токи всех ветвей.

Что такое разветвлённая цепь

Разветвлённая цепь - это схема, которую нельзя свести к одному эквивалентному сопротивлению чередованием «последовательно» и «параллельно». В ней есть узлы (точки, где сходятся три и более проводника) и ветви (участки между двумя соседними узлами с собственным током). Контур - это любой замкнутый путь по ветвям. Классический пример - два источника $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$, каждый со своим сопротивлением, питающие общую нагрузку $R_3$: токи в трёх ветвях $I_1$, $I_2$, $I_3$ заранее неизвестны, и угадать их деление нельзя.

Идея метода проста: неизвестных токов столько, сколько ветвей, и для каждого нужно своё уравнение. Правила Кирхгофа дают ровно столько независимых уравнений, сколько требуется, - по одному из закона сохранения заряда и по одному из закона сохранения энергии на контур.

Первое правило Кирхгофа: закон узлов

Первое правило (правило узлов) - это закон сохранения заряда: заряд не накапливается в узле, поэтому сколько тока втекает, столько и вытекает.

$\sum_{k} I_k = 0$

Токи, входящие в узел, берут со знаком плюс, выходящие - со знаком минус (или наоборот, важна лишь согласованность). Для узла A нашей цепи, куда втекают $I_1$ и $I_2$, а вытекает $I_3$:

$I_1 + I_2 = I_3$

Рассчитать для своей задачи

На анимации видно главное: какие бы значения ни принимали входящие токи, выходящий повторяет их сумму. Это и есть смысл $\sum I = 0$ - узел не «копит» заряд. Физически это прямое следствие непрерывности тока: заряд не возникает и не исчезает в точке соединения проводников, иначе там бы бесконечно рос потенциал. Если в схеме $n$ узлов, независимых уравнений узлов будет $n - 1$: последнее получается сложением остальных и нового знания не несёт. Поэтому первым делом подсчитывают узлы - это сразу говорит, сколько уравнений первого типа войдёт в систему.

Второе правило Кирхгофа: закон контуров

Второе правило (правило контуров) - это закон сохранения энергии: при обходе любого замкнутого контура сумма падений напряжения на сопротивлениях равна алгебраической сумме ЭДС.

$\sum_{k} I_k R_k = \sum_{m} \varepsilon_m$

Чтобы расставить знаки, выбирают направление обхода контура (например, по часовой стрелке). Падение $I R$ берут со знаком плюс, если ток в ветви совпадает с направлением обхода, и со знаком минус - если против. ЭДС берут со знаком плюс, если внутри источника обход идёт от минуса к плюсу (по направлению действия сторонних сил).

Рассчитать для своей задачи

На схеме баланс показан столбиками: левая колонка - это сумма падений $I_1 R_1$ и $I_3 R_3$ по контуру, правая - ЭДС источника $\varepsilon_1$. Их высоты совпадают: энергия, которую источник отдаёт заряду, целиком тратится на сопротивлениях. Если перенести всё в одну часть, получится привычная форма $\varepsilon_1 - I_1 R_1 - I_3 R_3 = 0$ - алгебраическая сумма всех изменений потенциала вдоль замкнутого пути равна нулю, ведь потенциал в исходной точке после полного обхода обязан вернуться к самому себе. Число независимых контуров равно числу «окон» схемы - столько раз и применяют второе правило.

Метод расчёта: как составить и решить систему

Алгоритм одинаков для любой разветвлённой цепи:

1. Расставьте токи в каждой ветви и задайте им произвольные направления стрелками. Угадывать правильное направление не нужно - знак в ответе сам всё исправит.
2. Запишите уравнения узлов по первому правилу: для $n$ узлов берите $n - 1$ уравнение.
3. Выберите независимые контуры и для каждого запишите второе правило, аккуратно расставляя знаки по выбранному направлению обхода.
4. Решите систему линейных уравнений относительно токов.

Для нашей цепи с двумя источниками система выглядит так:

$$\begin{aligned} I_1 + I_2 &= I_3 \\ \varepsilon_1 &= I_1 R_1 + I_3 R_3 \\ \varepsilon_2 &= I_2 R_2 + I_3 R_3 \end{aligned}$$

Три уравнения, три неизвестных. Подставим числа $\varepsilon_1 = 12$ В, $\varepsilon_2 = 6$ В, $R_1 = 2$ Ом, $R_2 = 3$ Ом, $R_3 = 4$ Ом. Удобно сразу исключить $I_3$, подставив $I_3 = I_1 + I_2$ в оба контурных уравнения, - останется система из двух уравнений с двумя неизвестными $I_1$ и $I_2$. Её решают подстановкой, методом Крамера или матрично; для трёх и более ветвей быстрее всего матричная запись $A \cdot I = b$. Решение даёт $I_1 \approx 2{,}31$ А, $I_2 \approx -0{,}46$ А, $I_3 \approx 1{,}85$ А. Проверка узла: $2{,}31 + (-0{,}46) = 1{,}85$ - сходится; подстановка в любое контурное уравнение тоже даёт тождество. Калькулятор выше решает ту же систему методом Крамера для любых значений ползунков, так что можно сразу сверить свой ручной расчёт с готовым ответом.

Что значит отрицательный ток

Отрицательный $I_2$ в примере - не ошибка, а ценная подсказка. Он означает, что реальное направление тока противоположно тому, которое мы нарисовали стрелкой. Источник $\varepsilon_2$ оказался слабее, поэтому ток в его ветви течёт «навстречу» выбранному направлению, и второй источник фактически подзаряжается. Именно поэтому угадывать направления заранее не нужно: правила Кирхгофа самосогласованы, и знак автоматически восстанавливает истинную картину. В ответе достаточно записать модуль и указать действительное направление словами.

Где правила Кирхгофа незаменимы

Сворачивание «последовательно-параллельно» бессильно там, где есть несколько ЭДС или перемычка между ветвями. Типичные случаи:

• Мост Уитстона - пять резисторов и источник; ток через диагональ ищут только правилами Кирхгофа.
• Цепи с несколькими батареями, например параллельное соединение источников с разными ЭДС.
• Схемы с зависимыми ветвями, где ток одной влияет на падение в другой.
• Цепи с конденсаторами в установившемся режиме: через полностью заряженный конденсатор ток не идёт, его ветвь исключают из узловых уравнений, а напряжение на нём находят как падение по контуру.

Преимущество метода в его универсальности: он не требует «увидеть» удачное упрощение схемы и работает одинаково для двух ветвей и для двадцати. Платой за это становится система уравнений, которую при большом числе ветвей удобнее решать матрично или численно. На практике для типовых учебных задач хватает двух-трёх уравнений, и весь расчёт умещается в несколько строк.

Расчёт токов - первый шаг; дальше по найденным токам легко считают мощности и работу тока на каждом элементе. Если нужно довести задачу до энергетики, посмотрите разбор в статье про работу и мощность электрического тока - там те же токи превращаются в выделяемое тепло.

Частые ошибки

• Путают направление обхода и направление тока. Это две независимые вещи: обход выбирают для контура, ток - для ветви. Знак $IR$ определяется их взаимной ориентацией.
• Берут лишние уравнения узлов. Для $n$ узлов независимы только $n - 1$; добавление последнего делает систему вырожденной.
• Пугаются отрицательного ответа и «исправляют» знак вручную. Отрицательный ток - это корректный результат: модуль и обратное направление.
• Забывают знак ЭДС. Источник, который обходится от плюса к минусу, входит в сумму со знаком минус.
• Считают, что параллельные источники делят ток поровну. Деление зависит от ЭДС и сопротивлений - только система это покажет.

FAQ

Сколько уравнений нужно составить? Ровно столько, сколько неизвестных токов (ветвей). Из них $n - 1$ уравнений узлов для $n$ узлов, остальные - уравнения независимых контуров (по числу «окон» схемы).

Как выбрать независимые контуры? Берите контуры так, чтобы каждый содержал хотя бы одну ветвь, не вошедшую в предыдущие. Удобный приём - брать все элементарные «ячейки» планарной схемы.

Можно ли применять правила Кирхгофа к цепям переменного тока? Да, в комплексной форме: сопротивления заменяют на импедансы, а токи и напряжения - на комплексные амплитуды. Подробнее про импеданс - в материале о полном сопротивлении RLC-цепи.

Коротко

Правила Кирхгофа для разветвлённых цепей - это два закона сохранения: первое правило (узлов) $\sum I = 0$ выражает сохранение заряда, второе правило (контуров) $\sum I R = \sum \varepsilon$ - сохранение энергии. Метод расчёта: расставить токи, записать $n - 1$ уравнение узлов и уравнения независимых контуров, решить систему. Отрицательный ток означает обратное реальное направление и не требует ручной правки. Этот аппарат рассчитывает любую схему, которую нельзя свернуть последовательно-параллельно.