Последовательное соединение резисторов: задачи

Последовательное соединение резисторов - первая схема, с которой студент встречается в задачах по электричеству, и почти все типовые ошибки в ней сводятся к одному: путанице между тем, что одинаково на всех резисторах, и тем, что складывается. При последовательном соединении одинаков ток, а складываются сопротивления и напряжения. Ниже разберём формулу общего сопротивления, как находить ток в цепи по закону Ома, как делится напряжение между резисторами, как считать мощность и проверять решение по правилу Кирхгофа. Чтобы сразу увидеть, как меняются ответы при разных сопротивлениях, покрути калькулятор ниже: он пересчитывает общее сопротивление, ток и напряжения на резисторах мгновенно и показывает, как распределяется напряжение по цепи.

Что одинаково, а что складывается

Резисторы соединены последовательно, если они идут друг за другом одной цепочкой: выход первого соединён со входом второго, выход второго - со входом третьего, и так далее. Разветвлений нет, поэтому через все резисторы течёт один и тот же ток:

$I_1 = I_2 = I_3 = I.$

Это главное свойство последовательного соединения и отправная точка любой задачи. Заряд не может никуда деться или накопиться в цепочке без узлов, поэтому ток везде одинаков. А вот напряжение источника делится между резисторами: на каждом падает своя часть, и сумма этих частей равна полному напряжению. Чем больше сопротивление резистора, тем большая доля напряжения приходится на него.

Рассчитать для своей задачи

Запомнить логику проще через противопоставление с параллельным соединением: там к каждому резистору приложено одно и то же напряжение, а складываются проводимости и токи. В последовательном соединении всё наоборот - общим становится ток, а складываются напряжения и сопротивления.

Формула общего сопротивления

При последовательном соединении сопротивления просто складываются. Для трёх резисторов:

$R = R_1 + R_2 + R_3.$

Главный вывод из этой формулы: общее сопротивление последовательной цепочки всегда больше любого из резисторов. Добавляя ещё одно звено, мы удлиняем путь тока и увеличиваем суммарное сопротивление. Возьмём набор из калькулятора: $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 20$ Ом, $R_3 = 30$ Ом. Тогда

$R = 10 + 20 + 30 = 60 \text{ Ом},$

и это действительно больше самого крупного сопротивления 30 Ом. Для $n$ одинаковых резисторов по $R_0$ ответ совсем простой: $R = n R_0$.

Чтобы не запутаться в порядке действий, держите в голове короткий алгоритм решения задачи на последовательное соединение. Сначала выписывают данные и убеждаются, что резисторы действительно идут одной цепочкой без разветвлений (один и тот же ток). Затем складывают сопротивления и находят общее $R$. После этого по закону Ома считают ток в цепи $I = U/R$ и напряжения на каждом резисторе $U_i = I R_i$. Завершают проверкой по правилу Кирхгофа: сумма напряжений на резисторах должна совпасть с напряжением источника. Если в задаче спрашивают мощность, её добавляют последним шагом через $P = U^2/R$. Этот порядок одинаково работает и для двух резисторов, и для длинной цепочки.

Ток в цепи и закон Ома

Когда общее сопротивление найдено, ток в цепи считается по закону Ома через полное напряжение и общее сопротивление:

$I = \frac{U}{R}.$

Этот ток один и тот же во всех резисторах - в этом весь смысл последовательного соединения. Для нашего примера при $U = 12$ В получаем

$I = \frac{12}{60} = 0{,}2 \text{ А}.$

Через каждый из трёх резисторов течёт ровно $0{,}2$ А, независимо от их сопротивления. Это удобно для проверки: если в решении ток на разных резисторах получился разным, значит где-то закралась ошибка - в последовательной цепи такого быть не может.

Делитель напряжения

Напряжение на каждом резисторе считается по закону Ома для этого резистора, через общий ток:

$U_i = I R_i.$

Поскольку ток общий, напряжения относятся как сопротивления: на большем сопротивлении падает большее напряжение. Сумма всех падений равна напряжению источника - это второе правило Кирхгофа для контура:

$U = U_1 + U_2 + U_3.$

Для нашего примера $U_1 = 0{,}2 \cdot 10 = 2$ В, $U_2 = 0{,}2 \cdot 20 = 4$ В, $U_3 = 0{,}2 \cdot 30 = 6$ В. Их сумма $2 + 4 + 6 = 12$ В - ровно напряжение источника. Совпадение служит лучшей самопроверкой решения.

Рассчитать для своей задачи

Обратите внимание на пропорции: напряжения относятся как $10 : 20 : 30 = 1 : 2 : 3$, то есть прямо пропорциональны сопротивлениям. Это и есть принцип делителя напряжения: цепочка резисторов делит напряжение источника на части в отношении их сопротивлений. Удобная формула для доли напряжения на $i$-м резисторе:

$U_i = U \cdot \frac{R_i}{R}.$

Мощность в последовательной цепи

Мощность, выделяемая на каждом резисторе, считается через общий ток:

$P_i = I^2 R_i = U_i I.$

Полная мощность цепи равна сумме мощностей резисторов или, что то же самое, квадрату напряжения, делённому на общее сопротивление:

$P = I^2 R = \frac{U^2}{R} = P_1 + P_2 + P_3.$

Здесь логика прямая: на резисторе с большим сопротивлением выделяется большая мощность, потому что на нём падает большее напряжение при том же токе. Для нашего примера $P = 12^2 / 60 = 2{,}4$ Вт. Можно проверить по резисторам: $P_1 = 0{,}2^2 \cdot 10 = 0{,}4$ Вт, $P_2 = 0{,}2^2 \cdot 20 = 0{,}8$ Вт, $P_3 = 0{,}2^2 \cdot 30 = 1{,}2$ Вт, в сумме снова $2{,}4$ Вт.

Последовательно или параллельно: в чём разница

Самый показательный способ закрепить тему - взять один и тот же набор резисторов и сравнить два способа соединения. Последовательно сопротивления складываются: $R = R_1 + R_2 + R_3$, и для набора $10$, $20$, $30$ Ом это $60$ Ом. Параллельно те же резисторы дают всего около $5{,}5$ Ом - в одиннадцать раз меньше. Нижний график в калькуляторе как раз сопоставляет эти два значения для текущих ползунков, чтобы разница была наглядной.

Отсюда удобное правило для смешанных схем: последовательный участок всегда «тяжелее» для тока, чем тот же набор резисторов параллельно. В сложных цепях сначала сворачивают параллельные блоки в эквивалентное сопротивление, потом складывают последовательные участки - и так шаг за шагом до полного сопротивления цепи.

Разберём ещё один типовой пример как делитель напряжения. Пусть $R_1 = 4$ Ом и $R_2 = 6$ Ом соединены последовательно и подключены к источнику $U = 20$ В. Общее сопротивление $R = 4 + 6 = 10$ Ом. Ток в цепи $I = U/R = 20/10 = 2$ А. Напряжения: $U_1 = I R_1 = 2 \cdot 4 = 8$ В и $U_2 = I R_2 = 2 \cdot 6 = 12$ В, их сумма $8 + 12 = 20$ В - совпадает с напряжением источника, значит расчёт верен. Мощность цепи $P = U^2/R = 400 / 10 = 40$ Вт. Тот же ответ получается, если подставить любой набор в калькулятор выше: ползунки и диаграмма мгновенно покажут и напряжения на резисторах, и их доли в общем напряжении.

Частые ошибки

• Складывают обратные сопротивления. Запись $1/R = 1/R_1 + 1/R_2 + 1/R_3$ - это параллельное соединение. При последовательном складываются сами сопротивления: $R = R_1 + R_2 + R_3$.
• Считают, что напряжение одинаково на всех резисторах. Одинаков ток, а напряжения разные и прямо пропорциональны сопротивлениям.
• Берут ток на резисторе меньше общего. В последовательной цепи через все резисторы течёт один и тот же ток, делить его не нужно.
• Прикладывают полное напряжение источника к одному резистору. Напряжение источника делится между всеми резисторами; на каждом падает только своя часть $U_i = I R_i$.
• Не проверяют по Кирхгофу. Сумма напряжений на резисторах обязана совпасть с напряжением источника. Если не сошлось - ошибка в общем сопротивлении или токе.

FAQ

Почему общее сопротивление при последовательном соединении больше любого резистора? Каждый следующий резистор удлиняет путь тока и добавляет своё сопротивление к общему. Сопротивления складываются напрямую, поэтому сумма всегда больше любого отдельного слагаемого.

Как делится напряжение между резисторами? Пропорционально их сопротивлениям: $U_i = U \cdot R_i/R$. На большем сопротивлении падает большее напряжение, потому что ток через все резисторы одинаков. Сумма всех падений равна напряжению источника.

Чему равен ток в каждом резисторе? Он одинаков для всех и равен общему току цепи $I = U/R$, где $R$ - сумма всех сопротивлений. Разного тока на резисторах в последовательной цепи быть не может - это признак ошибки.

Коротко

При последовательном соединении резисторов одинаков ток во всех резисторах, а складываются сопротивления и напряжения: $R = R_1 + R_2 + R_3$, поэтому общее сопротивление больше любого резистора. Ток в цепи находят по закону Ома $I = U/R$, напряжение на каждом резисторе равно $U_i = I R_i$ и делится пропорционально сопротивлениям, а мощность - $P = U^2/R$. Главная проверка любой задачи: сумма напряжений на резисторах должна совпасть с напряжением источника по правилу Кирхгофа.